高中物理磁场部分难题专练-(非常好)

A．

B．

C．

D．

解答： 解：分三个阶段分析此题中A、B运动情况：

开始时A与B没有相对运动，因此一起匀加速运动．A所受洛伦兹力向上，随着速度的增加而增加，对A根据牛顿第二定律有：f=ma．即静摩擦力提供其加速度，随着向上洛伦兹力的增加，因此A与B之间的压力减小，最大静摩擦力减小，当A、B之间的最大静摩擦力都不能提供A的加速度时，此时AB将发生相对滑动．

当A、B发生发生相对滑动时，由于向上的洛伦兹力继续增加，因此A与B之间的滑动摩擦力减小，故A的加速度逐渐减小，B的加速度逐渐增大．

当A所受洛伦兹力等于其重力时，A与B恰好脱离，此时A将匀速运动，B将以更大的加速度匀加速运动．

综上分析结合v﹣t图象特点可知ABD错误，C正确．故选C．

3．如下图，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电量为+q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是哪一种〔 〕〔其中B0=项中曲线为半径是的圆〕

，A、C、D选项中曲线均为半径是L的圆弧，B选

A．

B．

C．

D．

解答： 解：由于带电粒子流的速度均相同，则当飞入A、B、C这三个选项中的磁场时，它们的轨迹对应的半径均

相同．唯有D选项因为磁场是2B0，它的半径是之前半径的2倍．然而当粒子射入B、C两选项时，均不可能汇聚于同一点．而D选项粒子是向上偏转，但仍不能汇聚一点．所以只有A选项，能汇聚于一点． 故选：A

4．如下图，匀强磁场的方向竖直向下．磁场中有光滑的水平桌面，在桌面上平放着内壁光滑、底部有带电小球的试管．试管在水平拉力F作用下向右匀速运动，带电小球能从管口处飞出．关于带电小球及其在离开试管前的运动，以下说法中正确的选项是〔 〕 A．小球带负电

B． 洛伦兹力对小球做正功

C． 小球运动的轨迹是一条抛物线 D． 维持试管匀速运动的拉力F应增大

解答： 解：A、小球能从管口处飞出，说明小球受到指向管口洛伦兹力，根据左手定则判断，小球带正电．故A

错误．

B、洛伦兹力总是与速度垂直，不做功．故B错误．

C、设管子运动速度为v1，小球垂直于管子向右的分运动是匀速直线运动．小球沿管子方向受到洛伦兹力的分力F1=qv1B，q、v1、B均不变，F1不变，则小球沿管子做匀加速直线运动．与平抛运动类似，小球运动的轨迹是一条抛物线．故C正确．

D、设小球沿管子的分速度大小为v2，则小球受到垂直管子向左的洛伦兹力的分力F2=qv2B，v2增大，则F2增大，而拉力F=F2，则F逐渐增大．故D正确．故选CD．

5．如下图，在第二象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第一、第四象限内分别存在如下图的匀强磁场，磁感应强度大小相等．有一个带电粒子以初速度v0垂直x轴，从x轴上的P点进入匀强电场，恰好与y轴成45°角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于x轴进入下面的磁场．已知OP之间的距离为d，则带电粒子〔 〕

A．在电场中运动的时间为

B．在磁场中做圆周运动的半径为

d

D．自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间为解答： 解：根据题意作出粒子的运动轨迹，如下图：

C．入磁场至第二次经过x轴所用时间为

A、粒子进入电场后做类平抛运动，从x轴上的P点进入匀强电场，恰好与y轴成45°角射出电场，

2

所以v==vx=v0tan45°=v0沿x轴方向有：x=所以

，故A正确；

OA=2OP=2d在垂直电场方向做匀速运动，所以在电场中运动的时间为：t1=B、如图，AO1为在磁场中运动的轨道半径，根据几何关系可知： AO1=

，故B错误；

C、粒子从A点进入磁场，先在第一象限运动次经过x轴，

所以自进入磁场至第二次经过x轴所用时间为t2=

个圆周而进入第四象限，后经过半个圆周，第二

，故C错误；

D、自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间为t=t1+t2=，故D正确．故选

AD

6．如图〔甲〕所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点〔3L，0〕为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v0沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角为30°．此时在圆形区域加如图〔乙〕所示周期性变化的磁场，以垂直于纸面向外为磁场正方向〕，最后电子运动一段时间后从N飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同〔与x轴夹角也为30°〕．求： 〔1〕电子进入圆形磁场区域时的速度大小； 〔2〕0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小；

〔3〕写出圆形磁场区域磁感应强度B0的大小、磁场变化周期T各应满足的表达式．

解答：

解： 〔1〕电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，如图1所示．

由速度关系：

解得

〔2〕由速度关系得 在竖直方向解得

〔3〕在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，

粒子在x轴方向上的位移恰好等于R．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：2nR=2L 电子在磁场作圆周运动的轨道半径

解得

〔n=1、2、3…〕

3

假设粒子在磁场变化的半个周期恰好转过圆周，同时MN间运动时间是磁场变化周期的整数倍时， 可使粒子到达N点并且 速度满足题设要求．应满足的时间条件：

解得

T的表达式得：

〔n=1、2、3…〕

7．如下图为一种获得高能粒子的装置．环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调的匀强磁场．M、N为两块中心开有小孔的距离很近的极板，板间距离为d，每当带电粒子经过M、N板时，都会被加速，加速电压均为U；每当粒子飞离电场后，M、N板间的电势差立即变为零．粒子在电场中一次次被加速，动能不断增大，而绕行半径R不变．当t=0时，质量为m、电荷量为+q的粒子静止在M板小孔处．〔1〕求粒子绕行n圈回到M板时的速度大小vn； 〔2〕为使粒子始终保持在圆轨道上运动，磁场必须周期性递增，求粒子绕行第n圈时磁感应强度Bn的大小； 〔3〕求粒子绕行n圈所需总时间t总．

解答：

解：〔1〕粒子绕行一圈电场做功一次，由动能定理：即第n次回到M板时的速度为：

〔2〕绕行第n圈的过程中，由牛顿第二定律：得

〔3〕粒子在每一圈的运动过程中，包括在MN板间加速过程和在磁场中圆周运动过程． 在MN板间经历n次加速过程中，因为电场力大小相同，故有：即加速n次的总时间

，由于每一圈速度不同，所以每一圈所

而粒子在做半径为R的匀速圆周运动，每一圈所用时间为需时间也不同． 第1圈：

4

第2圈：…

第n圈：

故绕行n圈过程中在磁场里运动的时间综上：粒子绕行n圈所需总时间t总=

+

．

8．如下图，圆心为坐标原点、半径为R的圆将xoy平面分为两个区域，即圆内区域Ⅰ和圆外区域Ⅱ．区域Ⅰ内有方向垂直于xoy平面的匀强磁场B1．平行于x轴的荧光屏垂直于xoy平面，放置在坐标y=﹣2.2R的位置．一束质量为m电荷量为q动能为E0的带正电粒子从坐标为〔﹣R，0〕的A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，当区域Ⅱ内无磁场时，粒子全部打在荧光屏上坐标为〔0，﹣2.2R〕的M点，且此时，假设将荧光屏沿y轴负方向平移，粒子打在荧光屏上的位置不变．假设在区域Ⅱ内加上方向垂直于xoy平面的匀强磁场B2，上述粒子仍从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，则粒子全部打在荧光屏上坐标为〔0.4R，﹣2.2R〕的N点．求 〔1〕打在M点和N点的粒子运动速度v1、v2的大小．〔2〕在区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B1、B2的大小和方向． 〔3〕假设将区域Ⅱ中的磁场撤去，换成平行于x轴的匀强电场，仍从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ的粒子恰好也打在荧光屏上的N点，则电场的场强为多大？

解答： 解：〔1〕粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，打在M点和N点的粒子动能均为E0，速度v1、v2大小相

等，设为v，由

可得

〔2〕如下图，区域Ⅱ中无磁场时，粒子在区域Ⅰ中运动四分之一圆周后，从C点沿y轴负方向打在M点，

轨迹圆心是o1点，半径为r1=R区域Ⅱ有磁场时，粒子轨迹圆心是O2点，半径为r2， 由几何关系得r22=〔1.2R〕2+〔r2﹣0.4R〕2解得r2=2R由平面向外．

，方向垂直xoy平面向里．

得

故

，方向垂直xoy

〔3〕区域Ⅱ中换成匀强电场后，粒子从C点进入电场做类平抛运动，则有1.2R=vt，解得场

强 ．

5

9．如图甲所示，直角坐标系中直线AB与横轴x夹角∠BAO=30°，AO长为a．假设在点A处有一放射源可沿∠BAO所夹范围内的各个方向放射出质量为m、速度大小均为v、带电量为e的电子，电子重力忽略不计．在三角形ABO内有垂直纸面向里的匀强磁场，当电子从顶点A沿AB方向射入磁场时，电子恰好从O点射出．试求： ①从顶点A沿AB方向射入的电子在磁场中的运动时间t；

②磁场大小、方向保持不变，改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于三角形ABO内的左侧，要使放射出的电子穿过磁场后都垂直穿过y轴后向右运动，试求匀强磁场区域分布的最小面积S．

③磁场大小、方向保持不变，现改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于y轴与虚线之间，示意图见图乙所示，仍使放射出的电子最后都垂直穿过y轴后向右运动，试确定匀强磁场左侧边界虚线的曲线方

程．解答：

解：〔1〕根据题意，电子在磁场中的运动的轨道半径R=a，由evB=

得：B=

由T=

t==

〔2〕有界磁场的上边界：

以AB方向发射的电子在磁场中的运动轨迹与AO中垂线交点的左侧圆弧

有界磁场的上边界：以A点正上方、距A点的距离为a的点为圆心，以a为半径的圆弧． 故最小磁场区域面积为：

〔3〕设在坐标〔x，y〕的点进入磁场，由相似三角形得到：

圆的方程为：x2+〔y+b〕2=a2消去〔y+b〕，磁场边界的方程为：

6

10．如图，在直角坐标系xoy中，点M〔0，1〕处不断向+y方向发射出大量质量为m、带电量为﹣q的粒子，粒子的初速度大小广泛分布于零到v0之间．已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿+x方向经过b区域，都沿﹣y的方向通过点N〔3，0〕．〔1〕通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积；

〔2〕假设其中速度为k1v0和k2v0的两个粒子同时到达N点〔1＞k1＞k2＞0〕，求二者发射的时间差．

解答： 解

〔1〕在a区域，设任一速度为v的粒子偏转90°后从〔x，y〕离开磁场，由几何关系有x=R，

，

得，上式与R无关，说明磁场右边界是一条直线

左边界是速度为v0的粒子的轨迹：，得：

此后粒子均沿+x方向穿过b区域，进入c区域，由对称性知，其磁场区域如图． 磁场的面积

〔2〕如下图，速度为k1v0的粒子在a区域磁场的时间为

两个阶段的直线运动的时间共为在c区域磁场的时间为

所以这两个粒子的发射时间差只与t2有关速度为k2v0的粒子在直线运动阶段的时间为

7

11．隐身技术在军事领域应用很广．某研究小组的“电磁隐形技术”可等效为下面的模型，如下图，在y＞0的区域内有一束平行的α粒子流〔质量设为M，电荷量设为q〕，它们的速度均为v，沿x轴正向运动．在0≤x＜d的区间有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里；在d≤x＜3d的区间有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外；在3d≤x＜4d的区间有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里．要求α粒子流经过这些区域后仍能沿原直线运动，这样使第一象限某些区域α粒子不能到达，到达“屏蔽”α粒子的作用效果．则：〔1〕定性画出一个α粒子的运动轨迹；〔2〕求对α粒子起“屏蔽”作用区间的最大面积； 〔3〕假设v、M、q、B已知，则d应满足什么条件？

解答： 解：〔1〕轨迹如图．

〔2〕要使α粒子流经过这些区域后仍能沿直线运动，则每一小段小于等于四分之一圆弧，且四分之一圆弧

时“屏蔽”的面积最大．此时半径为d，如图．由几何关系可知最大面积Smax=4d2 〔3〕由

得

而要使α粒子可以继续向右运动，则要求R≥d即：

12．如下图，在xOy坐标系中分布着四个有界场区，在第三象限的AC左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B1=0.5T，AC是直线y=﹣x﹣0.425〔单位：m〕在第三象限的部分，另一沿y轴负向的匀强电场左下边界也为线段AC的一部分，右边界为y轴，上边界是满足y=﹣10x2﹣x﹣0.025〔单位：m〕的抛物线的一部分，电场强度E=2.5N/C．在第二象限有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度B2=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为D、F．在第一象限的整个空间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B3=1T．另有一厚度不

﹣

计的挡板PQ垂直纸面放置，其下端坐标P〔0.1m，0.1m〕，上端Q在y轴上，且∠PQF=30°．现有大量m=1×106kg，

﹣

q=﹣2×104C的粒子〔重力不计〕同时从A点沿x轴负向以v0射入，且v0取0＜v0＜20m/s之间的一系列连续值，并假设任一速度的粒子数占入射粒子总数的比例相同． 〔1〕求所有粒子从第三象限穿越x轴时的速度；〔2〕设从A点发出的粒子总数为N，求最终打在挡板PQ右侧的粒子数N′．

8

解答： 解：

〔1〕设某速度为v0的粒子从A点入射后到达AC上的G点，因v0与AC成45°角，其对应圆心角为90°，即恰好经过四分之一圆周，故到达G点时速度仍为v0，方向沿Y轴正向． 粒子在电场中沿Y轴正向加速运动，设G点坐标为G〔x，y〕，刚好穿出电场时坐标为〔x，y1〕，粒子穿出电场时速度为v1，在电场中运动的过程中，由动能定理得：

而y=﹣x﹣0.425又

代入数据解得v1=20m/s，可见粒子穿出电场时速度大小与x无关． 因v0＜20m/s，由

代入数据得：R＜0.2m

由数学知识可知，k点坐标为k〔﹣0.2m，﹣0.225m〕，故从A点射出的所有粒子均从AK之间以20m/s的速度沿Y轴正向射出电场，在到达X轴之前粒子作匀速直线运动，故所有粒子从第三象限穿越X轴时的速度大小均为20m/s的速度沿Y轴正向．

〔2〕因为r=0.1m，故离子束射入B2时，离子束宽度刚好与2r相等，设粒子在B2中运动轨道半径为R2，

，解得R2=r=0.1m

考察从任一点J进入B2的粒子，设从H穿出B2磁场，四边形JO2HO1为菱形，又因为JO2水平，而JO2∥HO1，故H应与F重合，即所有粒子经过B2后全部从F点离开B2进入B3磁场．

对v0趋于20m/s的粒子，圆心角∠JO2F→180°，故射入B3时速度趋于Y轴负向；对v0趋于0的粒子，圆心角∠JO2F→0°，故射入B3时速度趋于Y轴正向，即进入B3的所有粒子速度与Y轴正向夹角在0～180°角之间．

由于B3=B2，所以R3=R2，由几何关系知：

无限靠近Y轴负向射入的粒子轨迹如下图，最终打在PQ板的右侧O3； 与Y轴负向成60°角的粒子刚好经过P点到达Q点；

因此与Y轴正向在0～120°角之间从F点射出的粒子要么打在PQ板的左侧，要么打不到板上而穿越Y轴离开B3．由于是“大量”粒子，忽略打在P或Q的临界情况，所以最终打在挡板PQ右侧的粒子数

答：〔1〕所有粒子从第三象限穿越x轴时的速度为20m/s；〔2〕设从A点发出的粒子总数为N，最终打在挡板PQ右侧的粒子数N′为．

9

13．如下图，有界匀强磁场磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界，磁场中放置一半径为R的圆柱形金属圆筒，圆心O到MN的距离OO1=2R，圆筒轴线与磁场平行．圆筒用导线通过一个电阻r0接地，最初金属圆筒不带电．现有范围足够大的平行电子束以速度v0从很远处沿垂直于左边界MN向右射入磁场区，已知电子质量为m，电量为e． 〔1〕假设电子初速度满足

，则在最初圆筒上没有带电时，能够打到圆筒上的电子对应MN边界上O1两

侧的范围是多大？

〔2〕当圆筒上电量到达相对稳定时，测量得到通过电阻r0的电流恒为I，忽略运动电子间的相互作用，求此时金属圆筒的电势φ和电子到达圆筒时速度v〔取无穷远处或大地电势为零〕． 〔3〕在〔2〕的情况下，求金属圆筒的发热功率．

解答：

解：〔1〕如下图，设电子进入磁场盘旋轨道半径为r，则

解得 r=3R

大量电子从MN上不同点进入磁场轨迹如图，从O1上方P点射入的电子刚好擦过圆筒

同理可得到O1下Q点距离

．

〔2〕稳定时，圆柱体上电荷不再增加，与地面电势差恒为U，U=Ir0电势 φ=﹣Ir0 电子从很远处射到圆柱外表时速度为v，有

解得

．

〔3〕电流为I，单位时间到达圆筒的电子数 电子所具有总能量

消耗在电阻上的功率 Pr=I2r0所以圆筒发热功率 ．

14．图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小

﹣

B=2.0×103T，在x轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在y上安放接收器．现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，假设粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不计其重力．〔1〕求上述粒子的比荷；

10

〔2〕如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场； 〔3〕为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形．

解答： 解：〔1〕设粒子在磁场中的运动半径为r，依题意MP连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由

几何关系得

，由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得

，

联立解得：=4.9×107C/kg

〔2〕此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，qE=qvB，

代入数据得：E=70V/m．所加电场的场强方向沿x轴正方向． 设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t=T/8，而〔3〕该区域面积S=2r2=0.25m2，矩形如下图．

，解得t=7.9×106s

﹣

15．如下图，在 xOy 平面的第一、四象限内存在着方向垂直纸面向外，磁感应强度为 B 的匀强磁场，在第四象限内存在方向沿﹣y 方向、电场强度为 E 的匀强电场．从 y 轴上坐标为〔0，a〕的 P 点向磁场区发射速度大小不等的带正电同种粒子，速度方向范围是与+y 方向成30°﹣150°角，且在 xOy 平面内．结果所有粒子经过磁场偏转后都垂直打到 x 轴上，然后进入第四象限内的正交电磁场区．已知带电粒子电量为+q，质量为 m，粒子重力不计．

〔1〕所有通过第一象限磁场区的粒子中，求粒子经历的最短时间与最长时间的比值；〔2〕求粒子打到 x 轴上的范围； 〔3〕从 x 轴上 x=a 点射入第四象限的粒子穿过正交电磁场后从 y 轴上 y=﹣b 的 Q 点射出电磁场，求该粒子射出电磁场时的速度大小．

解答： 解：〔1〕、各种离子在第一象限内运动时，与y轴正方向成30°的粒子运动时间最长，时间为：

11

…①与y轴正方向成150°的粒子运动时间最短，时间为：…②

①②两式联立得：

〔2〕、设带电粒子射入方向与y轴夹角成150°时的轨道半径为R1，由几何关系有：带电粒子经过的最左边为：

设带电粒子射入方向与y轴夹角30°时的轨道半径为R2，由几何关系有：带电粒子经过的最右边为：

所以粒子打到 x 轴上的范围范围是：

〔3〕带电粒子在第一象限的磁场中有：由题意知：R=a

带电粒子在第四象限中运动过程中，电场力做功转化为带电粒子的动能，设经过Q点是的速度为v，由动能定理由：

解得：v=

16．如图〔甲〕所示，x≥0的区域内有如图乙所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场，磁场方向垂直纸面向外时为正方向．现有一质量为m、带电量为q的正电粒子，在t=0时刻从坐标原点O以速度v沿着与x轴正方向成75°角射入．粒子运动一段时间到达P点，P点坐标为〔a，a〕，此时粒子的速度方向与OP延长线的夹角为30°．粒子在这过程中只受磁场力的作用．

〔1〕假设B为已知量，试求粒子在磁场中运动时的轨道半径R及周期T的表达式．

〔2〕说明在OP间运动的时间跟所加磁场的变化周期T之间应有什么样的关系才能使粒子完成上述运动．

〔3〕假设B为未知量，那么所加磁场的变化周期T、磁感强度B0的大小各应满足什么条件，才能使粒子完成上述运动？〔写出T及B0各应满足条件的表达式〕

例4 如下图， 的区域内有如下图大小不变、方向随时间周期性变化的磁场，磁场方向垂直纸面向外时为正方向。现有一个质量为m、电量为q的带正电的粒子，在t=0时刻从坐标原点O以速度v沿着与x轴正方向成75º角射入。粒子运动一段时间后到达P点，P点的坐标为〔a,a〕，此时粒子的速度方向与OP延长线的夹角为30º。粒子只受磁场力作用。

〔1〕假设Bo=B1为已知量，试求带电粒子在磁场中运动的轨道半径R和周期To的表达式；

〔2〕说明粒子在OP间运动的时间跟所加磁场变化周期T之间应有什么样的关系才能使粒子完成上述运动；

〔3〕假设Bo为未知量，那么所加磁场的变化周期T、磁感应强度Bo的大小各应满足什么条件，才能使粒子完成上述运动？〔写出T、Bo应满足条件的表达式〕 解：〔1〕由牛顿第二定律可得： 粒子运动的周期为：

〔2〕根据粒子经过O点和P点的速度方向在磁场的方向可以判断：粒子由O点到P点运动过程可能在磁场变化的半个周期之内完成；当磁场方向改变时，粒子绕行方向也改变，磁场方向变化具有周期性，粒子绕行方向也具有周期性，因此粒子由O点到P点的运动过程也可能在磁场变化的半个周期的奇数倍时间完成。 〔3〕假设粒子由O点到P点的运动过程在磁场变化的半个周期之内完成，则磁场变化周期与粒子运动周期应满足： ，由图可知粒子运动的半径为：

12

y Pv又 O所以T、B分别满足：

75o假设粒子由O点到P点的运动过程在磁场变化的OaxBo的奇数倍时间完成，则磁场变化周期与粒子运动足：

由图可知： 又

所以T、B分别满足：

欣赏：带电粒子在磁场中周期性的运动像一条缓缓前行的波浪，浪花点点！

B30oaBoT2Tt半个周期周期应满

yavO75oax30oP17．如下图，在xoy平面上HyH的范围内有一片稀疏的电子，从x轴的负半轴的远处以相同的速率vo沿x轴正方向平行地向y轴射来。试设计一个磁场区域，使得：

〔1〕所有电子都能在磁场力作用下通过原点O；

〔2〕这一片电子最后扩展到2Hy2H范围内，继续沿x轴正方向平行地以相同的速率vo向远处射出。已知电子的电量为e、质量为m，不考虑电子间的相互作用。

解：根据题意，电子在O点先会聚再发散，因此电子在第I象限的运动情况可以依照例1来分析。即只有当磁场垂直纸面向里、沿y轴正方向射入的电子运动轨迹为磁场上边界〔如图中实线yvo1所示〕,沿其它方向射入第I象限磁场的电子均在实线2〔磁场下边界〕各对应点上才平行x轴射出磁场，这些点应满足x(y2H)(2H)。实线1、2的交集

2vomvo即为第I象限内的磁场区域。由evoB1m，得B1，方向垂直xoy平面

R2eH222Hvo2HHvoO2Hxvo向里。

显然，电子在第III象限的运动过程，可以看成是第I象限的逆过程。即只有

当磁场垂直纸面外，平行于x轴向右且距x轴为H的入射电子运动轨迹则为磁场下边界〔如图中实线3所示〕，沿与x轴平行方向入射的其他电子均在实线4〔磁场上边界〕各对应点发生偏转并会聚

y于O点，这些点应满足：x(yH)H.

2221Hvo2H2vomvo实线3、4的交集即为第III象限内的磁场区域。所以B3，方向垂直xoy

eH平面向外。

同理，可在第II、IV象限内画出分别与第I、III象限对称的磁场区域，其中

HvoO3x42HvoB2

mvomvo，方向垂直xoy平面向里；B4，方向垂直xoy平面向外。 eH2eH

36、〔18分〕如下图，有一质量为m=10-4 kg，带电量q=10-3 C的小球，从横截面为正方形的水平正长方体的D点沿DDˊ方向以v0=5m/s2速度飞入，恰好从Cˊ点飞出，正长方体空间的边长分别为L、L13

和5L．(取g=10m/s2)． 〔1〕求长方体底边L的大小

〔2〕如给长方体这一空间区域〔含边界在内〕加一竖直向上的匀强电场E，以保证小球沿DDˊ做匀速直线运动飞出，求E的大小

〔3〕如保留电场E，再给长方体这一空间区域〔含边界在内〕加竖直方向的磁场，使小球从空间Aˊ点飞出，求磁场的磁感应强度B

36、〔18分〕

L B C 5L 第36题图

O A D v0 Aˊ Dˊ

Bˊ Cˊ

解析: (1)小球从D点飞入，从Cˊ点飞出，小球只受重力，小球做平抛运动，由：

L12gt ①……〔22可知

分〕 5Lv0t ② ……〔2分〕 R 得 L=0.2m ……〔1分〕

(2)小球处于受力平衡状态，则有：Eqmg ③……〔3分〕

A mg10410得： E1N/C……〔1分〕 3q105L A′

D (3)如小球从D点飞入，从A′点飞出，小球在长方体上外表 ADD′A′D水平面内做匀速圆周运动，由分析可知，小球的运动轨迹如右图所示〔俯视图〕,由勾股定理得：

R2(RL)2(5L)2 ④……〔3分〕 得R2.6m ……〔1分〕

2v05由牛顿运动定律可知： Bqv0m ⑤……〔3分〕 得BT ……〔1分〕

R26由左手定则，磁感应强度B的方向为竖直向下 ……〔1分〕

14

25．〔17分〕在如下图的x-o-y坐标系中，y0的区域内存在着沿y轴正方向、场强为E的匀强电场，y0的区域内存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的P(0,h)点以沿x轴正方向的初速度射出，恰好能通过x轴上的D(d,0)点。己知带电粒子的质量为m，带电量为q。h、d、q均大于0。不计重力的影响。

(1)假设粒子只在电场作用下直接到D点，求粒子初速度大小(2)假设粒子在第二次经过x轴时到D点，求粒子初速度大小(3)假设粒子在从电场进入磁场时到D点，求粒子初速度大小

25. 〔1〕粒子只在电场作用下直接到达D点 设粒子在电场

子沿x方向做匀速直线运动，则xv0t ① 〔1分〕 沿y方向做初速度为0的匀加速直线运动，

则hv0； v0 v0；

中运动的时间为t，粒

12at ② 〔1分〕 2加速度aqE ③〔1分〕 m粒子只在电场作用下直接到达D点的条件为xd ④ 〔1分〕 解①②③④得 v0dqE 〔2分〕 2mh设粒子进入磁场的速度大小为v，v与x轴的夹

〔2〕粒子在第二次经过x轴时到达D点，其轨迹如下图。

角为，轨迹半径为R，则

v2vsinat ⑤ 〔1分〕 qvBm ⑥〔2分〕

R粒子第二次经过x轴时到达D点的条件为x2Rsind ⑦〔2分〕

解①②③⑤⑥⑦得 v0dqE2E 〔2分〕 2mhB〔3〕粒子在从电场进入磁场时到达D点，其轨迹如下图。

根据运动对称性可知QN2OM2x 〔1分〕

粒子在从电场进入磁场时到达D点的条件为xn(2x2Rsin)d ⑧〔1分〕

其中n为非负整数。 解①②③⑤⑥⑧得v0dqE2nE 〔2分〕

2n12mh2n1B15

22．如下图，磁感应强度为B的条形匀强磁场区域的宽度都是d1，相邻磁场区域的间距均为d2，x轴的正上方有一电场强度为E、方向与x轴和磁场均垂直的匀强电场区域。现将质量为m、带电荷量为+q的粒子(重力忽略不计)从x轴正上方高h处自由释放。

(1)求粒子在磁场区域做圆周运动的轨迹半径r。 (2)假设粒子只经过第1个和第2个磁场区域回到x轴，则粒子从释放到回到x轴所需要的时间t为多少? (3)假设粒子以初速度v0从高h处沿x轴正方向水平射出后，最远到达第k个磁场区域并回到x轴，则d1、d2如应该满足什么条件?

16

17