重大电磁场原理习题习题第2章

第二章习题答案

2-2 真空中有一长度为l的细直线，均匀带电，电荷线密度为。试计算P点的电场强度： （1）P点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点l远处； （2）P点位于细直线的延长线上，距离细直线中点l远处。 解：

（1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令z轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角无关，这样

z处取的元电荷

dq＝dz，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：

dzdEe 2R40R其两个分量：

z dzdEdE•ecos （1） 240Rdzl / 2 zRdzdEzdE•ezsin （2） 240R又

 P  l / 2 dEy

Rcos,z'tan

所以：

dz'sec2d （3）

图2-2长直线电荷周围的电场

式（3）分别代入式（1）（2）得：

dEsincosd d ； dEz4040‘E＝20'd＝sinsin' （4）

4020020cosl2l24l2 （5）

又 sin式（5）代入式（4）得：

E＝250250l

由于对称性，在z方向 Ez 分量互相抵消，故有Ez0

1

EEeEzez250le

-

（2）建立如图所示的坐标系

在x处取元电荷dqdx则它在P点产生的电场强度为

dxdEe

2R40R其在x方向的分量为：

y d x o x P x

R dEx又 Rlx

dx40R2

dExdx40R2dx40(l-x)2

Exl/2l/21 24lx3l40(l-x)00l/2dxl/2ExExexex 30l2-4 真空中的两电荷的量值以及它们的位置是已知的，如题图2-4所示，试写出电位（r,)和电

场E(r,)的表达式。

解：为子午面场，对称轴为极轴，因此选球坐标系，由点电荷产生的电位公式得：

(p)1222q140r1q240r212

r2

2212又 r1(rc2rccos) ， r2(rd2rdcos)

r1 r1rcrerccosercsinerccosercsine

r2rdrerdcoserdsinerdcoserdsine

(p)12q140r1q1q240r2q21题图2-4

140(r2c22rccos)240(r2c22rccos)2q1r1q2r2 E(p)3340r140r22

-

1q1(rccos)ercsineq2(rdcos)erdsine 3340222222(rc2rccos)(rd2rdcos)

1q1(rccos)q2(rdcos)3340222(r2d22rdcos)2(rc2rccos)1q1csinq2dsin3340222(r2c22rccos)2(rc2rccos)er

e2-6 半径为b的无限长圆柱中，有体密度为0的电荷，与它偏轴地放有一半径为a的无限长圆柱空洞，两者轴线平行且距离为d，如图2-6所示，求空洞内的电场强度。

y y y b  o x o 0  o 0 d  x (a)

(b)



图2-6

( c) 解：由于空洞存在，电荷分布不具有对称性，由此产生的场亦无对称性，因此不能用高斯定律求解。这是可把空洞看作也充满0，使圆柱体内无空洞，然后再令空洞中充满-，并单独作用，分

别求出两种场的分布后叠加即可。设空洞内的电场强度为E。

第一步 0 单独作用，如图（b）所示， 由体密度为0的电荷产生的电场强度为E1，由高斯定理

D•dS1＝q10E12l02l

S10 所以： E1e

203

-

第二步 0单独作用产生的电场强度为E2，如图（c）所示。

D•dS2＝q20E22l02l

S20E2e

20第三步 将0和0在空洞中产生的场进行叠加，即

0dE＝E1＋E2＝eeex 2020注：ddex

ker（k为常数）2-7半径为 a介电常数为ε的介质球内，已知极化强度 P(r)。 r试求：（1）极化电荷体密度p和面密度p ； （2）自由电荷体密度 ；

E （3）介质球内、外的电场强度。

kkke解：(1) p•P• ， P•epnrr2rr（2）

因为是均匀介质，有

raka

 DεEε0E P Epεε0

因此

DεE0P

k •D•P r200

(3) 球内电场，

Epεε0kεε0raer （ r < a ）

球外电场，由高斯定理：

4

D•dSqSvdvk00r24πrdr2kaD4πr4π

02 -

DDkaka ， Eer （ r > a ） er22000r0r或

qqpE•dSS0dVdVdSdVppVVsV00

2-9 用双层电介质制成的同轴电缆如题图2-9所示，介电常数 140 , 220 内、外导体单位长度上所带电荷分别为和

（1）求两种电介质中以及R1 和R3处的电场强度与电通密度； （2）求两种电介质中的电极化强度；

（3）问何处有极化电荷，并求其密度。 解：

(1)由高斯定理可得：

0De2π0(R1)(R1R3)

图2-9

(R3)0eeD2π18π0电场强度 E， 故 Eεee2π24π00(R1)(R1R2)

(R2R3)(R3)(2) 由 Dε0EP ，得两种电介质中的电极化强度为

3e8πPD0Ee4π38πR1

(R1R2)

(R2R3)(3) 内、外导体圆柱表面上和两种电介质交界面上有极化电荷，它们分别是：

在R1处：

pP•(e)

在R3处： pP•e4πR35

-

在R2处：: pP•eP•(e12)38πR24πR28πR2

2-10 有三块相互平行、面积均为S的薄导体平板，A、B板间的厚度为d的空气层，B、C板间则是厚度为d的两层介质，它们的介电常数分别为1 和1，如题2-10所示。设A、C两板接地，B板的电荷为Q，忽略边缘效应，试求： （1） 板间三区域内的电场强度；

（2） 两介质交界面上的极化电荷面密度； （3） A、C板各自的自由电荷面密度。

解 (1) 在A、C板间的三介质区域内，分别为均匀电场，在Q为正电荷时各电场方向如图所示，从而有

Q A B en2 en1 C E0 E1 E2 E0dE1dE2d 0E0s1E1sQ

EE2211从而解得

0 d 1 d 2 d 题图2-10

E1(02)Q2Q1Q及E2及E0

s(010212)s(010212)s(010212)（2）在两介质分界面上

p1p2pP1•en1P2•en2D10E1D20E2

•en1012Q0E2E1S010212

（3）在A、C板上的电荷面密度分别为 A0E02-12

如题图2-12所示球形电容器中，对半地填充有介电常数分别为1和2两种均匀介质，两介质交界面是以球心为中心的圆环面。在内、外导体间施加电压U时，试求： （1）电容器中的电位函数和电场强度； （2）内导体两部分表面上的自由电荷密度。 解：（1） 方法一：设内导体带电荷为Q，外导体带电荷Q，选球坐标，应用高斯定律

0(12)Q12Q及C2E2

s(010212)s(010212)

D•dsQ

S由媒质分界面条件可知，在两种介质中E1E2,D1D2，所以

题图2-12

6

-

S1D1•ds2S2D2•dsS11E1•ds2E2•ds12E•dsQ

S2S1112πrEQ 21令外导体为参考导体，则电位函数为

EQ122πr212Qer （1）

R2rE•dlR2R2R111 （2） •dr22π12rR22πr12QUR1E•dlR2R111 •dr22π12R1R22πr12QQQ2π12UR1R2R2R1

将上式带入（1）（2）得

UR1R21UR1R211 ， Ee2rR2R1rR2R1rR2方法二 ：用静电场的边值问题求解，在均匀介质1和介质2中，电位分别满足拉普拉斯方程，并

且边界面条件相同，所以可判断两个区域的电位函数相同，有

20 rRU;1取球坐标系有

rR20r1221rr2(r2)rsin(sin)12222rsin0

在两种介质中，都与、无关，所以

21r2r(r2r)0

上式的通解为 c1rc2

有边界条件解得： c1＝

R1R2UR2U c2＝

R1R2R1R2UR1R211所以 R2R1rR2 ，UR1R21Ee 2rR2R1r (2) 两种介质中的电位移矢量分别为

D11E1 ， D22E2

7

-

根据分界面条件

en•D2D1

对于本题，设媒质2为介质，媒质1为导体，因此有D10， D2•en

则内导体两部分表面上的自由电荷密度为

11E(R1)•en1UR2R2R1 ，

22E(R1)•en2UR2R2R1

2-16 在半径分别为a和b（b>a）的同轴长圆柱形导体之间，充满密度为0的空间电荷，且内、外筒形导体之间的电压为U，如题图2-16所示。试用边值问题的方法求电荷区内的电位函数。 解：圆柱形导体之间的电位满足泊松方程，对应的边值问题为

02 aU;b0在圆柱形坐标中电位仅是的函数，因此泊松方程有如下形式：

-

题图2-16

10＝ 2上式的通解为

02c1lnc2

4由给定的边界条件确定积分常数：

c10(b2a2)U40blna22 ， c20(b2a2)[U]lnb40lnba0b2 4022(ba)00(ba)UlnbU2400b2040所以： lnbb4040lnlnaa2-18 两平行导体平板，相距为d，板的尺寸远大于d，一板的电位为零，另一板电位为V0，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即(x)0x。试求两板间的电位分布（注：x ＝0处板的电位为零）。

解：两平行导体平板间的电位满足泊松方程，忽略边缘效应，在直角坐标系对应的边值问题为

8

-

x20 x00;xdU

上式泊松方程转化为：

0xd 2dx0其通解

2U 0x3C1xC2

60由给定的边界条件确定积分常数：

(x) C20 ， C1U00d d602d o 题图2-18

x

所以： U0x0(d2x2)x d60上式第一项为电源对电位函数的贡献，第二项为电荷(x)的贡献。

2-19 在无限大接地导体平面两侧各有一点电荷q1和q2，与导体平面的距离为d，求空间电位的分布。

解：因为是无限大接地导体，所以，当q1单独作用时，接地导体对q2相当于屏蔽作用，当q2单独作用时，接地导体对q1相当于屏蔽作用，所以：

q1单独作用时产生的电位在q1所在侧，设r1和r2分别为q1和q1的镜像到p的距离，由镜像法得：

1＝q140r1q140r2q140(11) r1r2q2单独作用时产生的电位在q2所在侧，设r3和r4分别为q2和q2的镜像到p的距离，由镜像法得：

2＝q240r3q240r4q240(11) r3r42-27 若将某对称的三芯电缆中三个导体相连，测得导体与铅皮间的电容为F，若将电缆中的两导体与铅皮相连，它们与另一导体间的电容为F，求： （1）电缆的各部分电容； 9

-

（2）每一相的工作电容；

（3）若在导体1、2之间加直流电压100V，求导体每单位长度的电荷量。 解：三芯电缆的结构及各部分电容如图（a）所示

（1） 对应于两次测量的等值电容电路分别如图（b）和图（c）所示：

由图（b）得：

3C00.051 F，C00.017 F

由图（c）得：

C0C1C10.037 F

C11(0.0370.017)0.01 F 2

图（a） 图（b）

图（c）

图（d）

图（e）

（2） 工作电容是指在一定的工作状态下的等值电容，在这里是指三相工作时一相的电容，等值

电容如图（d）和（e）所示：

所以，一相的工作电容为

CC03C10.047 F

（3） 若在导体1,2之间接一直流电压100V，则从A,B端看去的等效电容为：

CABC0.0235 F

2所以 10

-

qABCABUAB0.02351002.35 C/m

注：电缆是作为无限长来处理的，所以这里的电容均应理解为单位长度的电容。

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