高中数学高考总复习平面向量的概念及线性运算习题及详解
一、选择题
→→→
1．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )
A．梯形 C．菱形 [答案] A
→→→→→→
[解析] 由已知得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b，故AD＝2BC，由共线向量知识知AD∥BC，且|AD|＝2|BC|，故四边形ABCD为梯形，所以选A.
2．(文)(2010·芜湖十二中)已知平面向量a＝(2m＋1,3)，b＝(2，m)，且a∥b，则实数m的值等于( )
3A．2或－
23
C．－2或
2[答案] C
[解析] ∵a∥b，∴(2m＋1)m－6＝0， 3
∴2m2＋m－6＝0，∴m＝－2或.
2
(理)(2010·广东湛江一中)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，c＝a＋2b，d＝2a－b，且c∥d，则实数x的值等于( )
1
A．－
21
C. 6[答案] D
[解析] c＝a＋2b＝(1＋2x,4)，d＝2a－b＝(2－x,3)，∵c∥d，∴(1＋2x)×3－4(2－x)＝0，1∴x＝.
2
→→
3．设OA＝e1，OB＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|AP||PB|＝2，如图→
所示，则OP＝( )
12A.e1－e2 3321B.e1＋e2 33
1
B．－
61D. 2
3B. 22D．－ 7
B．平行四边形 D．矩形
含详解答案
高考总复习
12C.e1＋e2 3321D.e1－e2 33[答案] C
→→→→→→[解析] AP＝2PB，∴AB＝AP＋PB＝3PB， →→→→1→OP＝OB＋BP＝OB－AB
32→1→→1
＝OB－(OB－OA)＝e1＋e2.
333
4．(2010·重庆南开中学)已知一正方形，其顶点依次为A1，A2，A3，A4，在平面上任取一点P0，设P0关于A1的对称点为P1，P1关于A2的对称点为P2，P2关于A3的对称点为P3，→
P3关于A4的对称点为P4，则向量P0P4等于( )
→A.A1A2
→B.A1A4 D．0
→
C．2A1A4 [答案] D
1
[解析] 如图，由题意知A2A3是△P1P2P3的中位线，故A2A3綊P1P3，又正方形A1A2A3A4
21
中，A1A4綊A2A3，∴A1A4綊P1P3，
2
→
∴A1A4是△P0P1P3的中位线，故P0P4＝P4P3，P3关于A4的对称点P4，即P0，∴P0P4＝0.
5．(2010·胶州三中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与b垂直，则λ等于( )
A．－1 C．－2 [答案] C
[解析] λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与b垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.
→→→→6．(文)(2010·河北唐山)已知P、A、B、C是平面内四个不同的点，且PA＋PB＋PC＝AC，
B．1 D．2
含详解答案
高考总复习
则( )
A．A、B、C三点共线 B．A、B、P三点共线 C．A、C、P三点共线 D．B、C、P三点共线 [答案] B
→→→
[解析] ∵AC＝PC－PA，∴原条件式变形为： →→→→
PB＝－2PA，∴PB∥PA，∴A、B、P三点共线．
→
(理)若点M为△ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是( ) →→→A.AB＋BC＋AC →→→C.AM＋BM＋CM [答案] C
→→→→→→→→
[解析] AB＋BC＋AC＝2AC，与AB不共线，故排除A；AM＋MB＋BC→→→→＝AC，与AB不共线，故排除B；如图，设E为BC的中点，则MB＋MC＝→→→→→→→→→
2ME＝－MA，∴MA＋MB＋MC＝0，即AM＋BM＋CM＝0，与AB共线，→→→
由图可知，3AM＋AC显然不与AB共线．
→→→→→
7．(2010·湖北文)已知ΔABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC→
＝mAM成立，则m＝( )
A．2 C．4 [答案] B
→→→→→→
[解析] ∵AB＋AC＝(AM＋MB)＋(AM＋MC) →→→＝MB＋MC＋2AM
→→→→→→由MA＋MB＋MC＝0得，MB＋MC＝AM →→→
∴AB＋AC＝3AM，故m＝3.
→→→→→
8．已知△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，CD＝rAB＋sAC，则r＋s的值是( ) 2A. 3
4B. 3D．0
B．3 D．5
→→→B.AM＋MB＋BC →→D．3AM＋AC
C．－3 [答案] D
含详解答案
高考总复习
→→→→→→
[解析] CD＝AD－AC，DB＝AB－AD. →→→→→1→→∴CD＝AB－DB－AC＝AB－CD－AC.
23→→→∴CD＝AB－AC， 2→2→2→∴CD＝AB－AC.
33
22→→→
又CD＝rAB＋sAC，∴r＝，s＝－，
33∴r＋s＝0.
→→
9．(文)(2010·重庆一中)已知a，b是不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b(λ1，λ2
∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为( )
A．λ1＝λ2＝－1 C．λ1λ2－1＝0 [答案] C
→→→→
[解析] ∵A、B、C共线，∴AB与AC共线，∴存在实数λ使AB＝λAC，即λ1a＋b＝λ(a＋λ2b)，
∴(λ1－λ)a＝(λλ2－1)b，
λ1－λ＝0
∵a与b不共线，∴，
λλ－1＝02
B．λ1＝λ2＝1 D．λ1λ2＋1＝0
∴λ1λ2＝1.
→→→
(理)(2010·江西萍乡中学)设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，a>0，b>0，O12
为坐标原点，若A、B、C三点共线，则＋的最小值是( )
ab
A．2 C．6 [答案] D
→→
[解析] ∵A、B、C共线，∴AB与AC共线，∴存在实数λ，使(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，b112124＋4a＋b≥8，等号在a＝1，b＝1时＋·∴a＋＝，∵a>0，b>0，∴＋＝(2a＋b)＝ba22abab42成立．
10．(文)(2010·河北邯郸)如图，在等腰直角三角形ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、→→→→
N，若AB＝mAM，AC＝ nAN(m>0，n>0)，则mn的最大值为( )
1A. 2
B．1
B．4 D．8
含详解答案
高考总复习
C．2 [答案] B
D．3
[解析] 以A为原点，线段AC、AB所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，设三→→→→
角形ABC的腰长为2，则B(0,2)，C(2,0)，O(1,1)．∵AB＝mAM，AC＝nAN，
22nxmymn0，，N，0.∴直线MN的方程为＋＝1.∵直线MN过点O(1,1)，∴＋∴Mmn2222m＋n2
＝1⇒m＋n＝2.∴mn≤＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，
4
∴mn的最大值为1.
(理)(2010·山东日照一中)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，x1＋y1
则的值为( ) x2＋y2
2A. 35C. 6
2B．－
35D．－ 6
[答案] B
[解析] 因为|a|＝2，|b|＝3，又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos〈a，b〉＝－6，可得cos〈a，b〉＝－1.即a，b为共线向量且反向，又|a|＝2，|b|＝3，所以有3(x1，y1)＝－2(x2，2
－x2＋y23x1＋y1222
y2)⇒x1＝－x2，y1＝－y2，所以＝＝－，从而选B.
333x2＋y2x2＋y2
二、填空题
11．(文)(2010·北京东城区)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则a·b＝______，若ka＋b与b平行，则k＝______.
[答案] 1,0
[解析] a·b＝1×(－3)＋2×2＝1，∵ka＋b与b平行，ka＋b＝(k－3,2k＋2)，∴(k－3)×2－(－3)×(2k＋2)＝0，∴k＝0.
(理)(2010·天津南开区模拟)在直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单→→
位向量，OB＝2i＋j，OC＝3i＋kj，若△OBC为直角三角形，则k的值为______．
[答案] －6或－1
→→→→→
[解析] ∵OB＝2i＋j，OC＝3i＋kj，∴BC＝OC－OB＝i＋(k－1)j，
→→→→→→
∵△OBC为Rt△，∴OB·OC＝6＋k＝0或OB·BC＝2＋k－1＝0，或OC·BC＝3＋k(k－1)＝0，∴k＝－6或－1.
π
θ－12．(2010·温州十校)非零向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1)，若a与b共线，则tan4＝________.
含详解答案
高考总复习
1
[答案]
3
[解析] ∵非零向量a、b共线，∴存在实数λ，使a＝λb，即(sinθ，2)＝λ(cosθ，1)，∴λ＝2，sinθ＝2cosθ，
πtanθ－11
∴tanθ＝2，∴tan(θ－)＝＝. 41＋tanθ3
→→→1→→
13．(2010·浙江宁波十校)在平行四边形ABCD中，AB＝e1，AC＝e2，NC＝AC，BM＝
41→→
MC，则MN＝________(用e1，e2表示) 2
25
[答案] －e1＋e2
312
1→1→1→
[解析] ∵NC＝AC＝e2，∴CN＝－e2，
444→1→→→→→→
∵BM＝MC，BM＋MC＝BC＝AC－AB＝e2－e1，
2
125→2→→→2
∴MC＝(e2－e1)，∴MN＝MC＋CN＝(e2－e1)－e2＝－e1＋e2.
334312
→→→
14．(文)(2010·聊城市模拟)已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足PA＋BP＋CP→→
＝0，AP＝λPD，则实数λ的值为________．
[答案] －2
[解析] 如图，∵D是BC中点，将△ABC补成平行四边形ABQC，则Q在AD的延长→→→→→→→
线上，且|AQ|＝2|AD|＝2|DP|，∵PA＋BP＋CP＝BA＋CP＝0，∴BA＝PC，
→→
又BA＝QC，∴P与Q重合， →→→
又∵AP＝λPD＝－2PD，∴λ＝－2.
(理)(2010·金华十校)△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内→→→→→→一点，满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为________．
[答案] 3
→→
[解析] ∵AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，
含详解答案
高考总复习
∴x≤1，∴－x≥－1，
→→∵BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0， ∴y≥2.
→→∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3. 三、解答题
→→15．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM＝c，AN＝→→
d，试用c、d表示AB、AD.
1→→→→
[解析] 解法一：AD＝AM－DM＝c－AB①
21→→→→
AB＝AN－BN＝d－AD②
2→2
由①②得AB＝(2d－c)，
3→2
AD＝(2c－d)．
3
→→→1→
解法二：设AB＝a，AD＝b，因为M、N分别为CD、BC的中点，所以BN＝b，DM＝
21
a，于是有： 2
1d＝a＋b2
1c＝b＋a
2
，解得2
b＝32c－d
2
a＝2d－c3
，
→2→2
即AB＝(2d－c)，AD＝(2c－d)．
33
→→→
16．(2010·重庆市南开中学)已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值； (2)若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．
→→→
[解析] (1)已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－(3＋m))． →→
∴AB＝(3,1)，AC＝(2－m,1－m)， →→
∵A、B、C三点共线，∴AB与AC共线， 1
∴3(1－m)＝2－m，∴m＝.
2
含详解答案
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→→
(2)由题设知BA＝(－3，－1)，BC＝(－1－m，－m) ∵∠ABC为锐角，
3→→
∴BA·BC＝3＋3m＋m>0⇒m>－ 41
又由(1)可知，当m＝时，∠ABC＝0°
2311
－，∪，＋∞. 故m∈422
17．(文)(2010·安徽江南十校联考)在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别B
为a、b、c，向量m＝(2sin(A＋C)，3)，n＝(cos2B,2cos2－1)，且向量m，n共线．
2
(1)求角B的大小；
(2)如果b＝1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
B
[解析] (1)由向量m，n共线有：2sin(A＋C)(2cos2－1)＝3cos2B，
2化简得sin2B＝3cos2B，即tan2B＝3， πππ
又0 1＝a2＋c2－3ac＝(a＋c)2－(2＋3)ac≥(2－3)ac.等号在a＝c时成立，∴S△ABC＝1π11111 acsinB＝acsin＝ac≤×＝(2＋3)．因此△ABC面积的最大值为(2＋3) 26442－344 110，π. ，－(理)(2010·河北正定中学模拟)已知向量a＝，b＝(2，cos2x)，其中x∈sinxsinx2(1)试判断向量a与b能否平行，并说明理由？ (2)求函数f(x)＝a·b的最小值． 11[解析] (1)若a∥b，则有·cos2x＋·2＝0. sinxsinxπ 0，，∴cos2x＝－2，这与|cos2x|≤1矛盾， ∵x∈2∴a与b不能平行． 2cos2x(2)∵f(x)＝a·b＝－ sinxsinx 2－cos2x1＋2sin2x1＝＝＝2sinx＋， sinxsinxsinxπ 0，，∴sinx∈(0,1]， ∵x∈2∴f(x)＝2sinx＋ 1 ≥2sinx 1 2sinx·＝22. sinx 12 含详解答案 高考总复习 当2sinx＝ 12，即sinx＝时取等号， sinx2 故函数f(x)的最小值为22. 含详解答案 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容