一、等差三数有中项
一个等差数列至少有3项,否则它不能构成等差数列. 若3个数a1、a2、a3成等差数列,则a2称作a1、a3的中项.
若5个数a1、a2、a3、a4、a5成等差数列,则a3既是a2、a4的中项. 同时,也是a1、a5
的中项,如此等等.
夹在数列的两项之间,并且与两项等距的项,称作给定两项的中项. 【例1】判断等差数列a1、a2、a3、a4、a5、a6中能充当中项的数
【解答】首项a1不能充当中项;a2是a1和a3的中项;a3是a1和a5、a2和a4的中项; a4是a2和a6、a3和a5的中项;a5是a4和a6的中项;未尾a6不能充当中项.
【说明】相邻两项无中项;中间间隔为偶数项的两项无中项. 如例1中,a2、a3无中项,a1、a6无中项等等.
二、等差中项的性质和判断
若3个数ap、aq、ar(或等差数列中的某3项)成等差数列,则称中间的一项aq为前后两项ap和ar的等差中项.
apar容易知道,aq为ap和ar等差中项的完全条件是:aq.
2它的图形解释为:以ap和ar为梯形的上、下底线,则aq是梯形的中位线.
图1
【例2】 等差数列{an}的公差d为正数.设a1、a2是方程x2-a3x+a4=0的两根. 求和S=a6+a8+a10+a12+a14.
【解答】 联立a1a2a3 得d=a1=2
aaa412a10a19d29220
故有S=5a10=100.
【说明】 若将例2中的求和问题改作求S=a6+a9+a10+a11+a14,这里a6、a9、a10、a11、a14并不成等差数列,但其结果不变.其原因何在,留给读者思考.
三、在Sn(a1an)n里找中项 2 1
等差数列{an}前n项和公式Sn(a1an)n的图形意义是:以a1,an分别为上、下底长,2a1an为梯形中位线. 2以n为高长的梯形面积公式. 其中,
图2
(1)当n为奇数时,如n=2m-1. 则a1,an间有中项:am项.此时,Sn=S2m-1=(2m-1)am.
(2)当n为偶数时,如n=2m. 则a1,an间无中项,
a1an.亦即等差数列的中2a1a2mamam1不是中项,22亦即等差数列无中项.可称为数列的“中值”.此时,Sn=S2m=m(am+am+1).
显然,“中项”是“中值”的特殊情况.
当数列的项数为奇数2n-1,则数列求和的梯形公式化为矩形公式:矩形的长是中项an,矩形的高是项数2n-1.
即是等差数列前奇数项之和,等于项数与中项的积. 【例3】(2004年福建卷)
Sn为等差数列{an}前n项的和,若
Sa55,求9的值. a39S5【解答】 题目所涉项数都是奇数,利用“矩形公式”可得S9=5a5、S5=5a3. 故有
S99a5951(参考) S55a359【说明】解题的捷径表现在“绕过了通项公式”.
四、中值数列
an1an 2an1an(n≥2)所形成2如果{an}为等差数列,则由{an}中依次相邻两项的“中值”的数列an1an称作{an}的“中值数列”.如数列{2,4,6,8}是数列{1,3,5,7,9}的中值数列. 2an1anan1anb也是等差数列.其首项为,其公差与{an} 122易知中值数列{bn}= 2
的公差相等,即bnbn1anan1an1anan1an12dd 2222如果将数列{an}的中值数列{bn-1}依次插入{an},则得到一个新的数列——中值插补数列
a1,b1,a2,b2,,an1,bn1,an
等差数列的中值插补数列也是等差数列,且首项为a1,公差为d,项数是(与n的奇偶
性无关的)奇数2n-1,另外,三个数列:(1)原数列{an},(2)中值数列{bn};(3)中值插补数列有公共的中值
a1an. 2【例4】 设等差数列{cn}={c1,c2,„,c2007}的首项c1=a,公差为d. 求{cn}中奇数项和与偶数项和的差.
【解答】 数列{cn}的奇数项组成以a为首项,2d为公差的等差数列.由2n-1=2007得其项数为n=1004,中值为c1004.
其和S1004=1004c1004
数列{cn}的偶数项组成以a+d为首项,2d为公差的等差数列{bn},项数为2007-1004=1003.中项仍为c1004
其和T1003=1003c1004
它们的差为S1004-T1003=1004c1004-1003c1004=c1004=a+1003d
【说明】 等差数列之和与它们中值数列之和的差正好是原等差数列的中值.
五、中项求和深入到高考综合题
【例5】 (2007年湖北题)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且
An7n45a,则使得n为整数的正整数n的个数是 Bnn3bnA.2 B.3 C.4 D.5 【解答1】 运用中值公式:Sn(a1an)n 2(7n45)n[2267(n1)]nAn7n4522=, (n3)n[22(n1)]nBnn322可看出a126,d17;b12,d11
an267(n1)7n19127 bn2(n1)n1n1可见,当且仅当n=1,2,3,5,11时,
an为正整数. bn【说明】 本解实际上是一种特值法,特值是a1=26,b1=2,d1=7,d2=1.如果将它们同时乘以一个不为0的实数k,则为数列{an}和{bn}的一般情况.
【解答2】 运用中项定理,S2n1(2n1)an.
3
an2n1anA2n172n14514n38bn2n1bnB2n12n22n137n19127n1n1
an可见,当且仅当n=1,2,3,5,11时,为正整数.
bn【说明】 这里,分别将数列{an}、{bn}的项数设为奇数,是否代表问题的一般性? 将an、bn分别视作数列{a2n-1}和{b2n-1}的中项,这里具备一般性,至于分别从它们出发构造出来的和数列A2n-1、B2n-1,自然也具备着一般性.
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