反比例函数(基础)知识讲解

【学习目标】

1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式． 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质． 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质． 4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题． 【要点梳理】

【高清课堂 反比例函数 知识要点】 要点一、反比例函数的定义

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xyk，或表示为y

一般地，形如y

k

，其中k是不等于零的常数. x

k

(k为常数，k0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，yx

kkk中，自变量x是分式的分母，当x0时，分式无意义，xxx，函数y的取值范围是y0.故函

是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

要点诠释：（1）在y

所以自变量x的取值范围是数图象与x轴、y轴无交点.

（2）y

k (xk (x

)可以写成(

)的形式，自变量x的指数是

这一条件.

－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数（3）y

)也可以写成

的形式，用它可以迅速地求出反比

例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.

要点二、确定反比例函数的关系式

确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数y

k

中，只有一个待x

定系数k，因此只需要知道一对x、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.

用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为：y

k

(k0)； x

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数k的值；

（4）把求得的k值代回所设的函数关系式y要点三、反比例函数的图象和性质

k

中. x

1、 反比例函数的图象特征：

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

要点诠释：（1）若点(a，b)在反比例函数ykb)也在此图象的图象上，则点(a，x，所以

上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数

(k为常数，k0) 中，由于

两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴．

2、画反比例函数的图象的基本步骤：

（1）列表：自变量的取值应以O为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；

（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；

（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；

（4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当k0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当k0时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质

（1）如图1，当k0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；

（2）如图2，当k0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大； 要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 要点四：反比例函数

(

)中的比例系数k的几何意义

的面积为

. 2 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【典型例题】

类型一、反比例函数的定义

1、下列函数：①y=2x，②y=

，③y=x，④y=

﹣1

k(k0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k. xk过双曲线y(k0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形

xk过双曲线y

．其中，是反比例函数的有（ ）.

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【答案】C； 【解析】

解：①y是x正比例函数；

②y是x反比例函数； ③y是x反比例函数； ④y是x+1的反比例函数． 故选：C． 【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般y（k≠0）的形式．

类型二、确定反比例函数的解析式

2、（2016春•大庆期末）已知y与x成反比例，且当x=﹣3时，y=4，则当x=6时，y的值为 ．

【思路点拨】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

【答案】﹣2． 【解析】

解：设反比例函数为y=，

k转化为y=kx﹣1(k≠0）x当x=﹣3，y=4时，4=反比例函数为y=当x=6时，y

． =﹣2，

，解得k=﹣12．

故答案为：﹣2．

【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键． 举一反三：

【变式】已知y与x成反比，且当x6时，y4，则当x2时，y值为多少？ 【答案】 解：设yk，当x6时，y4， xk所以4，则k＝－24，

624所以有y．

x2412． 当x2时，y2类型三、反比例函数的图象和性质

a213、在函数y（a为常数）的图象上有三点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，

x且x1x20x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）．

A．y2y3y1 B．y3y2y1 C．y1y2y3 D．y3y1y2 【答案】D；

【解析】

解：因为ka1(a1)0，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限

内，y随x的增大而增大．因为x1x2，所以y1y2．因为(x3,y3)在第四象限，而

22(x1,y1)，(x2,y2)在第二象限，所以y3y1．所以y3y1y2．

【总结升华】已知反比例函数yk，当k＞0，x＞0时，y随x的增大而减小，需要强x调的是x＞0；当k＞0，x＜0时，y随x的增大而减小，需要强调的是x＜0．这里不能说成当k＞0，y随x的增大而减小．例如函数y2，当x＝－1时，y＝－2，当x＝1x时，y＝2，自变量由－1到1，函数值y由－2到2，增大了．所以，只能说：当k＞0时，

在第一象限内，y随x的增大而减小． 举一反三：

【变式1】已知y(m3)xm2的图象是双曲线，且在第二、四象限，

(1)求m的值．

(2)若点(－2，y1)、(－1，y2)、(1，y3)都在双曲线上，试比较y1、y2、y3的大小． 【答案】

解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且(2)由(1)得此函数解析式为：ym21，∴ m1.

m302． x∵ (－2，y1)、(－1，y2)在第二象限，－2＜－1，∴ 0y1y2． 而(1，y3)在第四象限，y30． ∴ y3y1y2

【高清课堂 反比例函数 例5】

【变式2】对于函数y=，下列说法错误的是（ ）

A. 它的图象分布在一、三象限； B. 它的图象与坐标轴没有交点；

C. 它的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形； D. 当x＜0时，y的值随x的增大而增大. 【答案】D；

解：A、k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；

B、因为x、y均不能为0，所以它的图象与坐标轴没有交点，正确； C、它的图象关于y=﹣x成轴对称，关于原点成中心对称，正确； D，当x＜0时，y的值随x的增大而减小， 故选：D．

类型四、反比例函数综合

4、已知点A(0，2)和点B(0，－2)，点P在函数y1的图象上，如果△PAB的面积x是6，求P点的坐标．

【思路点拨】由已知的点A、B的坐标，可求得AB＝4，再由△PAB的面积是6，可知P点到y轴的距离为3，因此可求P的横坐标为±3，由于点P在y坐标为±3可求其纵坐标． 【答案与解析】

1的图象上，则由横x解：如图所示，不妨设点P的坐标为(x0,y0)，过P作PC⊥y轴于点C．

∵ A(0，2)、B(0，－2)， ∴ AB＝4．

又∵ PC|x0|且S△PAB6，

1|x0|46，∴ |x0|3，∴ x03． 2111y0；y0．又∵ P(x0,y0)在曲线y上，∴ 当x03时，当x03时，

x33∴

∴ P的坐标为P13,或P23,．

【总结升华】通过三角形面积建立关于x0的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．

举一反三：

【变式】已知：如图所示，反比例函数y1313k的图象与正比例函数ymx的图象交于A、B，x作AC⊥y轴于C，连BC，则△ABC的面积为3，求反比例函数的解析式．

【答案】

解：由双曲线与正比例函数ymx的对称性可知AO＝OB，

则S△AOC13S△ABC． 22设A点坐标为(xA，yA)，而AC＝|xA|，OC＝|yA|， 于是S△AOC∴ xA而由yA111ACOC|xA||yA|xA222yA3， 2yA3，

k得xAxAyAk，所以k3，

所以反比例函数解析式为y3． x