2019年中考数学二次函数压轴题专练

1、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧． （1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；

（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

2、如图1，二次函数y

ax2bx的图像过点A（-1，3），顶点B的横坐标为1.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P在该二次函数的图像上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标； （3）如图3，一次函数ykx（k＞0）的图像与该二次函数的图像交于O、C两点，点T为该二次函数图像上位于直

线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴

ON2交OC于点N。若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值。

OMy yy A -1O

31xAMNCTx图3OB图2（备用图）xB图1O

二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题

3、如图，顶点为A(3,1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB； （3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

4、如图，二次函数y＝ax ＋bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝－

2

3

，线段AD平行于x轴，交 2

抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD． （1）求该二次函数的解析式；

（2）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，将△BPF沿边PF翻折，得到△B′PF，使△B′PF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的

1

，若点B′在OD上方，求线段PD的长度; 4

（3）在（2）的条件下，过B′作B′H⊥PF于H，点Q在OD下方的抛物线上，连接AQ与B′H交于点M，点G在线段

AM上，使∠HPN+∠DAQ =135°，延长PG交AD于N．若AN+ B′M=

D

y A C D y A C 5,求点Q的坐标． 2y A C D O B x B O x B O x

三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题

5、如图1，二次函数y12x-2x1的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0,1），2点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO︰S四边形AONB=1︰48。 （1）求直线AB和直线BC的解析式； （2）y点P是B线段AB上y一点，

B点D是线段BC上一点，

2PD212yx2-2x122l:y3x3xyyax22axa4(a0)mmM ①写出点M的坐标；

KG ②将直线Pl，当直线l与直线AM重合时停止旋转．在旋转过程中，直线l与l绕点DA按顺时针方向旋转得到直线线段BM交于点C．设点B、M到直线l的距离分别为

MOENCxAFAOxd1、d2，当dd2最大时，求直线l旋转的角度（即∠图2BAC的度数）． 图11C

四、与直角三角形性质有关的综合题

7、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；

（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以

个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接

EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形

（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

五、与相似三角形性质有关的综合题

8、如图，直线l：y=－x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点

Q在第四象限，∠POQ=135°.

(1) 求△AOB的周长；

(2) 设AQ=t>0.试用含t的代数式表示点P的坐标；

(3) 当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记作∠AOQ=m，若过点A的二次函数y=ax+bx+c同时满足以下两个条件： ① 6a+3b+2c=0;

② 当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于

2

2，求二次项系数a的值. m

六、与圆的性质有关的综合题

9、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx+4mx﹣5m（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=

2

x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=x上（不与原点重合），连接PD，过点P作

PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6（2）求A、B两点的坐标；

，求抛物线的解析式；

（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y=上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

x

七、与阅读理解有关的综合题

10、若抛物线L：y=ax+bx+c(a，b，c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L与顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”.

(1) 若直线y=mx+1与抛物线y=x－2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值； (2) 若某“路线”L的顶点在反比例函数y解析式；

(3) 当常数k满足积的取值范围.

2

2

6

的图像上，它的“带线” l的解析式为y=2x－4，求此“路线”L的x

122

≤k≤2时，求抛物线L: y=ax+(3k－2k+1)x+ k的“带线” l与x轴，y轴所围成的三角形面211、如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面米，求MN的长；

（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤时，求m的取值范围．

八、与方程根和关系的关系、函数值大小比较有关的综合题

12、已知二次函数

yx2(2k1)xk2k(k0)

1(1)当k时，求这个二次函数的顶点坐标；

2(2)求证：关于x的一元二次方程x2(2k1)xk2k=0有两个不相等的实数根；

(3)如图，该二次函数与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与直线AP交BC于点Q，求证：

y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP=1，

111222 OAABAQ

CyQOPABx13、已知函数y1ax2bx,y2axbab0.在同一平面直角坐标系中.

（1）若函数y1的图像过点（-1,0），函数y2的图像过点（1,2），求a，b的值. (2)若函数y2的图像经过y1的顶点.①求证：2ab0；②当1x

2214、已知两个二次函数y1xbxc和y2xm.对于函数y1，当x=2时，该函数取最小值.

3时，比较y1,y2的大小. 2（1） 求b的值；

（2） 若函数y1的图像与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；

（3） 若函数y1、y2的图像都经过点（1，-2），过点（0，a-3）（a为实数）作x轴的平行线，与函

数y1、y2的图像共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1