概率问题中常见错因例析

概率问题中常见错因例析

作者：田红月

来源：《新教育时代·学生版》2017年第15期

摘 要：概率既是高中数学的重点，又是高考的必考点，更是学生的易错点。结合高中概率问题中常见的思维缺陷，如对“基本事件”、“互斥事件与独立事件”、“独立事件与独立重复试验”、 “二项分布与超几何分布”的误判，选取典型例题进行错因分析，给出正确解法，帮助学生理解相关概念与概率模型，以提高概率教学的针对性。 关键词：高中 概率 错因 分析

概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，由于概率的相关概念与模型建立在数据统计及规律的基础上，从而造成学生在概率的学习过程中因审题不清、考虑不周等发生错误，甚至答题思路完全走偏。现将教学中学生容易出现的典型错误案例进行分析，供参考。

一、对“基本事件”的误判

例1.分别投掷两枚各面标有数字1，2，3，4，5，6的骰子，求出现点数之和为5的概率. 错解（生）：记“出现点数之和为5”为事件A，由于投掷两枚骰子，出现所有可能点数之和结果有：2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11个.而事件A只有“5”这1种情况，所以

分析：本题属于古典概型，古典概型的基本特征是：（1）基本事件总数有限；（2）各基本事件发生的可能性相等；（3）古典概型的计算公式，其中N基本事件总数，n是事件A所包含的基本事件数.解决本题的关键是先求出“投掷两枚骰子”包含的所有基本事件总数N，再求出事件“投掷两枚骰子，出现点数之和为5”所包含的基本事件数n.上述做法错在误以为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12就是基本事件，实际上“2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12”对应的是“复合事件”的结果，按题设所有的基本事件应该是：（1，1），（1，2），（1，3），……，（6，6）共36种，其中事件A包含的基本事件有（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）共4种，这错在用“结果”代替“基本事件”，造成对基本事件判断失误。 正解（师）：设所有的基本事件总数为N，即掷两枚骰子，所出现的所有可能的基本事件为N=6×6=36（种）；事件A“出现点数之和为5”所包含的基本事件有：（1，4），（4，1） ，（2，3），（3，2）共4种，即n+4，所以. 二、对“互斥事件与独立事件”的误判

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例2.（1）甲射击击中目标的概率为，乙射击击中目标的概率为，每人射击3次，两人恰好都击中目标2次的概率是多少？

（2）某人打移动服务电话10086，电话响一声被接听的概率为0.1，响两声被接听的概率为0.2，响三声被接听的概率为0.4，响四声被接听的概率为0.2，若电话铃响五声无人接听，则系统设计为自动挂断.求电话铃响前四声被接听的概率是多少？

错解（生）：（1）设“甲恰好击中目标2次”为事件A，“乙恰好击中目标2次”为事件B，则两人恰好都击中目标2次为事件A+B. P（A+B）=P（A）+P（B）

（2）设“电话响声被接听”为事件，“电话铃响前四声被接听”为事件A。 则

=0.1+0.9×0.2+0.9×0.8×0.4+0.9×0.8×0.6×0.2+0.6544

分析：上述错解的原因是将相互独立事件与互斥事件混淆，独立事件的发生互不影响，可能同时发生，若A，B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）；互斥事件不可能同时发生，若A，B互斥，则P（AUB）=P（A）+P（B）.上述问题（1）属于独立事件的积，问题（2）属于互斥事件的和。

正解（师）：（1）设“甲恰好击中目标2次”为事件A，“乙恰好击中目标2次”为事件B，则两人恰好都击中目标2次为事件AB. P（AB）=P（A）P（B）

（2）设“电话响声被接听”为事件，“电话铃响前四声被接听”为事件A，则 P（A）=P（A1UA2UA3UA4）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4） =0.1+0.2+0.4+0.2=0.9

三、对“独立事件与独立重复试验”的误判

例3.某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响. （1）假设这名射手射击5次，求恰有3次击中目标的概率； （2）假设这名射手射击5次，求恰有3次连续击中目标的概率.

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错解（生）：（1）记“这名射手射击5次，恰有3次击中目标”为事件A 则

（2）记“这名射手射击5次，恰有3次连续击中目标”为事件B 则

分析：上述错解的原因是将“独立事件与n次独立重复试验”混淆，独立事件是指对于事件A，B，事件A的发生与事件B的发生互不影响；独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生，且每次试验中发生的概率都是一样的.上述做法将第（1）问误以为是独立事件，将（2）问误以为是n次独立重复试验。

正解（师）：（1）设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则～.这名射手射击5次，恰有3次击中目标的概率为

（2）记“第次射击击中目标”为事件，设“这名射手射击5次，恰有3次连续击中目标”为事件A，则 P（A）=

以上是笔者在多年的概率教学过程中遇到的学生容易出错的几个典型问题，笔者的教学体会是要让学生理解概率的相关概念及模型，在纠错的过程中由学生自己进行解题反思，对容易理解出错的“基本事件”“是否互斥”“是否等可能”“是否相互独立”“是否独立重复”等问题查找原因，认真审题，自行归纳总结各种概率模型的特征和使用时应注意的问题，提炼思想和方法，提高学习能力。 参考文献

[1]华瑞芬.概率易错解，根源找出来[J].数理化学习（高三版）.2015（3）：16-17 [2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003