八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析报告

初二数学第十一章全等三角形综合复习

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

ACFBDE。BDDF，AEBF，ACBD。例1. 如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，求证：

思路：从结论ACFBDE入手，全等条件只有ACBD；由AEBF两边同时减去EF得到AFBE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CFDE，也可以是

AB。

由条件ACCE，BDDF可得ACEBDF90，再加上AEBF，ACBD，可以证明

ACEBDF，从而得到AB。

证明ACCE，BDDF

ACEBDF90

在RtACE与RtBDF中

AEBFACBD

∴RtACERtBDF(HL)

AB

AEBF

AEEFBFEF，即AFBE

在ACF与BDE中

AFBE

ABACBD

ACFBDE(SAS)

思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例2. 如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。

思路：直接证明21C比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2且

1C。也可以看成将2“转移”到。

那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。

证明：延长AD交BC于F

在ABD与FBD中

ABDFBDBDBDADBFDB90 ABDFBD(ASA 2DFB

又DFB1C 21C。

思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

ABC90。ABBC，F为AB延长线上一点，BEBF，例3. 如图，在ABC中，点E在BC上，

连接AE,EF和CF。求证：AECF。

思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置，而线段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全等即可。

证明：

ABC90，F为AB延长线上一点

ABCCBF90

在ABE与CBF中

ABBCABCCBFBEBF

ABECBF(SAS)

AECF。

思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 如图，AB//CD，AD//BC，求证：ABCD。

思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

证明：连接AC

AB//CD，AD//BC

12，34

在ABC与CDA中

12ACCA43

ABCCDA(ASA)

ABCD。

思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 如图，AP,CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN的平分线。

思路：要证明“BP为MBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是MAC和NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。

证明：过P作PDBM于D，PEAC于E，PFBN于F

AP平分MAC，PDBM于D，PEAC于E

PDPE

CP平分NCA，PEAC于E，PFBN于F

PEPF

PDPE，PEPF

PDPF

PDPF，且PDBM于D，PFBN于F

BP为MBN的平分线。

思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6. 如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。

求证：AC2AE。

思路：要证明“AC2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EFAE。

证明：延长AE至点F，使EFAE，连接DF

在ABE与FDE中

AEFEAEBFEDBEDE

ABEFDE(SAS)

BEDF

ADFADBEDF，ADCBADB

又ADBBAD

ADFADC

ABDF，ABCD

DFDC

在ADF与ADC中

ADADADFADCDFDC

ADFADC(SAS)

AFAC

又AF2AE

AC2AE。

思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至

可以证明两条直线平行。

例7. 如图，在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点。求证：ABACPBPC。

原图 法一图 法二图

思路：欲证ABACPBPC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段ABAC。而构造ABAC可以采用“截长”和“补短”两种方法。

证明：法一：

在AB上截取ANAC，连接PN

在APN与APC中

ANAC12APAP

APNAPC(SAS)

PNPC

在BPN中，PBPNBN

PBPCABAC，即AB－AC>PB－PC。

法二：

延长AC至M，使AMAB，连接PM

在ABP与AMP中

ABAM12APAP

ABPAMP(SAS)

PBPM

在PCM中，CMPMPC

ABACPBPC。

思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

同步练习

一、选择题：

1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )

A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等

C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等

2. 根据下列条件，能画出唯一ABC的是( )

A. AB3，BC4，CA8 B. AB4，BC3，A30

C. C60，B45，AB4 D. C90，AB6

3. 如图，已知12，ACAD，增加下列条件：①ABAE；②BCED；③CD；④BE。其中能使ABCAED的条件有( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

4. 如图，12，CD，AC,BD交于E点，下列不正确的是( A. DAECBE B. CEDE

C. DEA不全等于CBE D. EAB是等腰三角形

5. 如图，已知ABCD，BCAD，B23，则D等于( )

A. 67 B. 46 C. 23 D. 无法确定

)

二、填空题：

6. 如图，在ABC中，C90，ABC的平分线BD交AC于点D，且CD:AD2:3，

AC10cm，则点D到AB的距离等于__________cm；

7. 如图，已知ABDC，ADBC，E,F是BD上的两点，且BEDF，若AEB100，

ADB30，则BCF____________；

8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则CBD的大小为_________；

9. 如图，在等腰RtABC中，C90，ACBC，AD平分BAC交BC于D，DEAB于E，若AB10，则BDE的周长等于____________；

10. 如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB//CD，AE//CF，且AECF，若BD10，

BF2，则EF___________；

三、解答题：

11. 如图，ABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。

12. 如图，ACB90，ACBC，D为AB上一点，AECD，BFCD，交CD延长线于F点。求证：BFCE。

同步练习的答案

一、选择题：

1. A 2. C 3. B 4. C 5. C

二、填空题：

6. 4 7. 70 8. 90三、解答题：

11. 解：ABC为等边三角形

ABBC，ABCC60

在ABM与BCN中

ABBCABCCBMCN

ABMBCN(SAS)

NBCBAM



9. 10 10. 6

AQNABQBAMABQNBC60

。

12. 证明：AECD，BFCD

FAEC90

ACECAE90

ACB90

ACEBCF90

CAEBCF

在ACE与CBF中

FAECCAEBCFACBC

ACECBF(AAS)

BFCE。