内蒙古阿拉善左旗2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题

内蒙古阿拉善左旗2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题

一. 选择题(每小题5分，共60分)

1．已知集合M0,1,2,3,4,集合N0,1,2，则MA、0,1,2 B、0,1,2,3,4 C、 2．函数yx3（ ）

A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是减函数 C．是偶函数，且在R上是增函数 D．是偶函数，且在R上是减函数

N（ ）

D、0,1

x1,x0,3．若 f(x)2, x0, 则fff1（ ）

0, x0,A、0 B、2 C、12 D、22 x－1

4．已知函数：①y＝2；②y＝log2x；③y＝x；④y＝x；则下列函数图象(第一象限部分)

从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )

A．②①③④ B．②③①④ C．④①③② D．④③①②

5．设fx33x8,用二分法求方程33x80在x1,2内近似解的过程中得

xxf10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（ ）

A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定 6．右图是正方体的平面展开图，在以下四个说法中正确的个数为（ ）

① BM与ED平行； ② CN与BE是异面直线；

③ CN与BM成60º角； ④ DM与BN垂直. A、1 B、2 C、3 D、4

7．如图,水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A'B'C',

已知A'C'=6,B'C'=4,则AB边的实际长度是( )

A.5 B.9 C.10 D.12 8. 方程

和

表示的直线可能是( )

A B. C.

D.

9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，

则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ( ) A.

6251510 B. C. D. 3555

10.顺次连结A(-4,3)、B(2,5)、C(6,3)、D(-3,0)四个点所组成的四边形的形状是( )

A.平行四边形

11．若把半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）

B.直角梯形

C.等腰梯形

D.以上都不对

A、3355R3 B、R3 C、R3 D、R3 24824812．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂

质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）

- 2 -

（ ）

A．5 B．10 C．14 D．15 二．填空题(每小题5分，共20分)

13．一个空间几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图

都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆， 那么这个几何体的表面积是 。(结果保留π)

14．经过点P（-3，-4），且在x轴、y轴上截距相等的直线l的方程是 。

15．三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x－y=10相交于一点，则a的值是 。

16．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，

体积为16，则这个球的表面积是 。(结果保留π)

三. 解答题(共70分) 17．（10分）化简下列各式：

220112log30.5（1）(3)2(2)2(0.01) （2）55log432log3(log28)

54

18．（12分）已知函数y2 x1（1）判断此函数在区间(1，＋∞)上是增函数还是减函数？并证明你的结论； （2）求此函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

- 3 -

19．（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3,BC4,

AB5,AA14,点D是AB的中点，

求证：（1）AC1∥平面C D B1 (2) ACBC1

20．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，

PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点． (1) 求证：平面PAC⊥平面BDE；

(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．

- 4 -

21.(12分)已知点P（2，－1），求：

（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（注：结果把直线l的方程化为一般式方程） （2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?

22．(12分) 如图，在四棱锥P—ABCD中， 侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=2, 底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2，O为AD中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值； (Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

- 5 -

（答案）

一、选择题：

1——5：D A C D B 6——10：B C D D B 11——12： A C 二、填空题：

13：6 14：4x-3y=0 或x+y+7=0 15：－1 16：24 三．17、解：(1)原式112123101131103730 (2)原式5log59log5212225log339212

18、（详见必修一教材第31页例4）

19. 证明（1）设BC1IB1CO,连接OD，在ABC1中，点O,D分别为B1C,AB的中点，所以OD//AC1，又因为OC面CDB1，AC1面CDB1，所以AC1//面CDB1 (2)因为AC3,BC4,AB5即AC2BC2AB2，所以ACBC， 又因为ACCC1，BCICC1C，BC面BB1C1C，CC1面BB1C1C 所以AC面BB1C1C而且BC1面BB1C1C，所以ACBC1

20．(1)证明 ∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．

在正方形ABCD中，BD⊥AC， 又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC． 又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE． （2）解 取OC中点F，连接EF．

∵E为PC中点，∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO． 又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD

∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，

∴∠EOF＝30°．在Rt△OEF中，OF＝112

2OC＝4AC＝4

a，

- 6 -

∴EF＝OF·tan 30°＝

66

a，∴OP＝2EF＝a． 126

12663

∴VP－ABCD＝×a×a＝a．

3618

21.解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，－1），可见，

过P（2，－1）垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x=2. 若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x－2），即kx－y－2k－1=0.

由已知，得

|2k1|k21=2，解之得k=

3. 4此时l的方程为3x－4y－10=0.综上，可得直线l的方程为x-2=0或3x－4y－10=0. （2）由图可知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，

得kl·kOP =－1，

所以kl =－

1kOP=2，由直线方程的点斜式得y+1=2（x－2），即2x－y－5=0，

即直线2x－y－5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为

|5|5=5.

22.（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD. （Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC， 有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC.由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝2， 在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1， 在Rt△PBO中，PB＝OPOB223,cos∠PBO=

6. 3OBPB236, 3所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为

- 7 -

- 8 -