卓顶精文2019年全国高考新课标2卷文科数学试题(解析版).doc

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i(2+3i)=()

A．3-2i B．3+2i C．-3-2i D．-3+2i 解析：选D

2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=()

A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7} 解析：选C

x-xe-e

3．函数f(x)=2的图像大致为()

x

2-2e-e

解析：选Bf(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=>1,故选B

4

4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=()

A．4 B．3 C．2 D．0

2

解析：选Ba·(2a-b)=2a-a·b=2+1=3

5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3

解析：选D5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。

22xy

6．双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()

abA．y=±2x

2

2

B．y=±3x C．y=±

2x 2

D．y=±

3x 2

解析：选Ae=3c=3ab=2a

C5

7．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=()

25A．42

B．30 C．29 D．25

322C22

解析：选AcosC=2cos-1=-AB=AC+BC-2AB·BC·cosC=32AB=42

2511111

8．为计算S=1-+-+……+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入()

23499100

1

开始N0,T0i1是1ii100否NNTTSNT输出S结束1i1 A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4 解析：选B

9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()

2357A． B． C． D． 2222

解析：选C即AE与AB所成角，设AB=2,则BE=5,故选C 10．若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是()

ππ3πA． B． C． D．π

424

ππ3π

解析：选Cf(x)=2cos(x+),依据f(x)=cosx与f(x)=2cos(x+)的图象关系知a的最大值为。

444

0

11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60，则C的离心率为()

33-1

A．1- B．2-3 C． D．3-1

22解析：选D依题设|PF1|=c,|PF2|=3c,由|PF1|+|PF2|=2a可得

12．已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+ …+f(50)=()

A．-50 B．0 C．2 D．50

解析：选C由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且

f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________． 解析：y=2x-2

x+2y-5≥0

14．若x,y满足约束条件x-2y+3≥0 , 则z=x+y的最大值为__________．

x-5≤0

解析：9

5π1

15．已知tan(α-)=，则tanα=__________． 45

3

解析：由两角差的正切公式展开可得tanα=

2

0

16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若ΔSAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．

11

解析：设母线为2a，则圆锥高为a，底面半径为3a,依题×2a×2a=8,∴a=2∴V=×π×(23)×2=8π

23

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生

2

都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15． （1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值． 解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=-15,由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.

22

（2）由（1）得Sn=n-8n=(n-4)-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为−16. 18．（12分）

下图是某地区2019年至2019年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2019年

^

至2019年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：y=-30.4+13.5t；根据2019年至2019

^

年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：y=99+17.5t．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

解：（1）利用模型①,该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值为

^

y=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).

利用模型②,该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值为

^

y=99+17.5×9=256.5(亿元).

（2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：

^

（ⅰ）从折线图可以看出,2019年至2019年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.这说明利用2019年至2019年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2019年相对2019年的环境基础设施投资额有明显增加，2019年至2019年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2019年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2019年至2019^

年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2019年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

（ⅱ）从计算结果看,相对于2019年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19．（12分）

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

3

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．

（1）证明：因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23.

21

连结OB.因为AB=BC=AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=AC=2.

22

222

由OP+OB=PB知OP⊥OB.

由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.

（2）解：作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的长为点C到平面POM的距离．

1242

由题设可知OC=AC=2，CM=BC=，∠ACB=45°．

233所以OM=

25OC·MC·sin∠ACB45，CH==． 3OM5

45

． 5

所以点C到平面POM的距离为

※也可用等积法求 20．（12分）

2

设抛物线C:y=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8． （1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k>0).

y=k(x-1)2222

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由2得kx-(2k+4)x+k=0.

y=4x22k+42

Δ=16k+16>0，故x1+x2=2. k22k+4

所以|AB|=x1+x2+2=2+2=8，解得k=-1（舍去），k=1.

k

因此l的方程为y=x-1.

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

y0=-x0+52

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则2(y0-x0+1)

(x0+1)=+162

2

2

2

2

x0=3

解得

y0=2

x0=11

或

y0=-6

因此所求圆的方程为(x-3)+(y-2)=16或(x-11)+(y+6)=144.

21．（12分）

132

已知函数f(x)=x-a(x+x+1)．

3

（1）若a=3，求f(x)的单调区间； （2）证明：f(x)只有一个零点． 解：

4

21322

（1）当a=3时，f（x）=x-3x-3x-3)，f′（x）=x-6x-3x6x3．

3

令f′（x）=0解得x=3-23或x=3+23．

当x∈（–∞，3-23）∪（3+23，+∞）时，f′（x）>0； 当x∈（3-23，3+23）时，f′（x）<0． 故f（x）在（–∞，3-23），（3+23，+∞）单调递增，在（3-23，3+23）单调递减．

3x2

（2）由于x+x+1>0，所以f(x)=0等价于2-3a=0．

x+x+1

322xx(x+2x+3)

设g(x)=2-3a，则g′（x）=22≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单

x+x+1(x+x+1)

调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．

11211

又f（3a–1）=-6a+2a-=-6(a-)-<0，f（3a+1）=>0，故f（x）有一个零点．

3663

综上，f（x）只有一个零点．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

x=2cosθx=1+tcosα

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

y=4sinθy=2+tsinα

（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

22xy

【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为+=1．

416

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα， 当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．

22

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cosα)t+4(2cosα+sinα)t-8=0．① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0． 又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|．

（1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1，求a的取值范围．

2x+4 x≤-1

【解析】（1）当a=1时，2 -1-2x+6 x>2

（2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．

而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．得a≤-6或aα2， 所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)．

5

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案

一、选择题 1．D 7．A

2．C 8．B

3．B 9．C

4．B

5．D

6．A 12．C

10．C 11．D

二、填空题 13．y=2x–2 三、解答题 17．解：

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2．

所以{an}的通项公式为an=2n–9．

（2）由（1）得Sn=n–8n=（n–4）–16． 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16． 18．解：

（1）利用模型①，该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值为 $y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．

2

2

14．9 15．

3 2 16．8π

利用模型②，该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值为 $y=99+17.5×9=256.5（亿元）．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：

（i）从折线图可以看出，2019年至2019年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2019年至2019年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2019年相对2019年的环境基础设施投资额有明显增加，2019年至2019年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2019年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2019年至2019y=99+17.5t可以较好地描述2019年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，年的数据建立的线性模型$因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ii）从计算结果看，相对于2019年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网 19．解：

6

（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23． 连结OB．因为AB=BC=

12AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=AC=2．

22由OP2OB2PB2知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的长为点C到平面POM的距离．

1242由题设可知OC=AC=2，CM=BC=，∠ACB=45°．

233所以OM=OCMCsinACB4525，CH==．

OM35所以点C到平面POM的距离为20．解：

45． 5（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）． 设A（x1，y1），B（x2，y2）．

yk(x1)由2得k2x2(2k24)xk20． y4x2k24． 16k160，故x1x2k224k24所以ABAFBF(x11)(x21)．

k24k24由题设知，k=1． 8，解得k=–1（舍去）

k2因此l的方程为y=x–1．

（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为 y2(x3)，即yx5．

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则

7

y0x05，x03，x011，2解得或 (y0x01)2y2y6.(x1)16.0002

因此所求圆的方程为

(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144． 21．解：

132（1）当a=3时，f（x）=x3x3x3，f′（x）=x26x3．

3令f′（x）=0解得x=323或x=323．

当x∈（–∞，323）∪（323，+∞）时，f′（x）>0； 当x∈（323，323）时，f′（x）<0．

故f（x）在（–∞，323），（323，+∞）单调递增，在（323，323）单调递减．

x33a0． （2）由于xx10，所以f(x)0等价于2xx12x2(x22x3)x33a，则g′（x）=设g(x)=2≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–

(x2x1)2xx1∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．学·科网 112112又f（3a–1）=6a2a6(a)0，f（3a+1）=0，故f（x）有一个零点．

3663综上，f（x）只有一个零点． 22．解：

x2y21． （1）曲线C的直角坐标方程为416当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan， 当cos0时，l的直角坐标方程为x1．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 (13cos2)t24(2cossin)t80．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1t20． 又由①得t1t223．解：

（1）当a1时， 2x4,x1,f(x)2,1x2,

2x6,x2.4(2cossin)，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2．

13cos2可得f(x)0的解集为{x|2x3}．

8

（2）f(x)1等价于|xa||x2|4．

而|xa||x2||a2|，且当x2时等号成立．故f(x)1等价于|a2|4． 由|a2|4可得a6或a2，所以a的取值范围是(,6][2,)．

9