我地非概率集合理论凸方法及其地的应用笔记

在现存的绝大部分研究不确定结构的理论和方法中都是假定结构的不确定量是随机变量或者随机过程且满足某种概率分布假设。在这种情况下，可以保证或证明结构分析和设计的合理性。然而，关于结构的不确定变量概率密度和试验信息常常是缺乏的，一旦这些概率分布假定不满足，结构分析和设计的合理性就失去意义。实际结构的不确定变量是否满足某一种假定一般是很难验证的。其结果产生了下面的矛盾：一方面承认实际结构是非常复杂的，不一定都能用简单的系统模型做为其数学模型；另一方面，由于结构的不确定变量的分析模型的假定是人为的，于是乎所有的不确定模型都能够通过概率模型获得与真实系统任意接近的模型。正是由于这种矛盾促使人们考虑用非概率模型来研究各种各样的不确定性。应该指出的是，试图获得充分的统计数据以便直接地模拟全部结构的不确定性是不现实的。概率统计方法是和由样本观察所得出的推断有关。各种结构的不无额定性只有依靠考察随机试验的样本数据才能数量化。而且，一方面，样本的大小收到十几情况和经济上考虑的限制；另一方面，由于背景噪声的存在，不确定变量的各种统计值必然存在某些误差或不确定性。这些局限性，在很大程度上阻碍了概率论和数理统计方法的工程应用，而以“不准确的”概率分析所得到的结论有事又会导致“灾难性”的后果。

如何来解决这累问题呢？近几年来，人们开始借助于非概率集合理论(non-probabilistic set-theory)方法，如凸模型(convex models)，区间分析(interval analysis)等。在这类理论中，是用一集合对不确定变量进行定量化（在凸模型中是用凸集合，在区间分析中使用超长方体），然后通过优化方法（在凸模型中是用条件极值的优化方法等，在区间分析中是用区间的四则运算和区间扩张等）确定系统响应所在的集合界限。在系统响应所在的集合界限里，不仅可以知道系统响应的近似值，而且还能知道近似值的误差界限。非概率集合理论是继概率论、模糊集合之后的有一个处理不确定性的数学工具。

作为一种较新的理论分析和计算方法，非概率集合理论今年来越来越受到重视，其有效性已在许多科学与工程领域的成功应用中得到证实，是当前国际上人工智能理论及其应用领域中的研究热点之一。对不确定问题的非概率集合理论的处理，是首先在控制论中开

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始的。Schweppe在系统的状态估计中建立了凸模型的理论框架，Bialas则提出了用端点矩阵的稳定性判断区间矩阵的稳定性的充分必要条件。Ben-Haim和Elishakoff将凸模型理论引进结构的分析中，成功地解决了一些理论的可靠性问题，1995年，Ben-Haim又用凸模型理论研究结构的可靠性问题，创造性地体处理结构鲁棒可靠性理论。近年来，中外学者在非概率集合理论中又开辟了新的研究方向。如Koylupglu等人尝试将去区间分析引入具有不确定性的有限元分析中。

区间分析也叫区间数学，是20世纪60年代产生的计算数学分支，最初是为了解决误差和非线性问题，近几年学术界发现它还可以用来解决不确定问题。非线性问题的区间迭代法，具有全局收敛性，可综合考虑初值所具有的误差和不确定性，可以计算出非线性问题的全部解，对解的存在性具有计算检验等优点。

凸模型理论是为解决力学中不确定问题而产生的，它可以求出具有不确定性问题的最大或最有利响应和最小或最差响应，以及响应所在范围的集合估计。凸模型理论具有计算简单、适应性好等优点。

这些算法具有鲁棒性好、运算简单和适用面广等优点。美国University of Virginia的Ahmed K. Noore教授在其计算结构力学方面的综述性论文中，已将集合理论凸方法定为计算结构技术在20世纪最新进展之一。

非概率集合理论的主要优点如下。第一，与概率理论不同，不需要知道不确定变量的概率分布密度，只需要知道不确定变量所在的范围。不确定变量的分布范围要比不确定变量的概率分布密度更容易确定。有时候，不知道不确定变量的分布范围仍可用非概率集合理论对结构进行灵敏度或鲁棒性分析和设计。第二，非概率集合理论可以给出结构响应所在是范围或鲁棒裕度。结构响应所在的范围要比概率分布密度更容易确定，更容易理解。这样，非概率集合理论可以被看成是对概率性可靠性理论的一种补充、一种深化，开辟了研究结构系统可靠性的新途径。非概率集合理论的发展与完善将对结构的不确定问题和非线性问题的可靠性分析和设计产生重大的影响。

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实际工程结构系统中总是不同程度地存在着各种各样的误差和不确定性。如物理误差和不确定性，统计的误差和不确定性以及数学模型的误差和不确定性。这些误差和不确定性都影响了工程结构系统分析和设计达到预期的目标和效果。

实际上，在对复杂工程结构系统进行分析和设计是，必须对这个复杂的工程结构系统建立可供分析和设计的数学模型，这就要对复杂工程结构系统进行简化和理想化，而简化或理想化后的数学模型与实际工程结构系统相比，往往存在误差和不确定性。例如，实际工程结构系统中的某些参数是不能视为不变的或无穷小的误差的，实际结构系统工作环境的变化、数学模型的不精确、降阶近似、非线性问题的线性化等均可成一种参数的误差或者不确定性而论。有时工程结构系统会在几个不同工作状况下运行，人们也把由于不同工作状况或所对应的参数的差别视为一种误差或不确定性，当然，这种参数的变化只能视为有界不确定性而不是无穷小量即的误差或不确定性。

理想的情况是：工程结构系统的数学模型应当包含所有的实验或测量数据，即应能产生实验或测量观察的输入输出的各种各样的数据（当然，如果它不仅能包含有限次数的实验所观察的数据，而且能产生实际工程结构系统所能产生的一切数据则更好，显然，这是很难做到的）。如果在工程结构系统建模中忽略了某些误差和不确定性而这些误差和不确定性不包含在合理的预期数据中，则我们不能相信基于这种模型的分析和设计是可以用于实际工程结构系统的。

当前，在广泛的科学和工程研究领域里，很多学者和工程技术人员都认识到需要引进不确定概念，并对其进行研究和分析，这也部分地反映出在过去十几年里科学和工程研究中的深刻变化。 2不确定性的含义

工程实际中所遇到的不确定性主要是指：不定性、不固定性、不可靠性、不可预测性、随机性、意义含糊、易变性、不完全性、未知然而有界性、不规则性等。

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一个物理量的真实值和近似值的差异，称为误差。在工程实际的测量或计算中，我们对物理量的真实值常常很少知道或不可能知道。大多数情况下，我们知道的只是物理量的近似值和误差界限。所以误差也是一种不确定性。

工程结构的分析和设计方法一本都基于确定的结构和结构参事和确定的数学模型。然而实际上，经常存在着与材料性质、几何特性、外力、初始条件、边界条件及与结构部件街头有关的误差和不确定性。虽然在大多数情况下，误差或不确定性可能很小，但是这些误差或不确定性结合在一起都可能是结构性能或响应产生大的、意想不到的偏差或不可预知性，特别是在多部件系统中。

3、不确定问题非概率统计模型的必要性

一个很自然的问题是：如何处理不确定性？过去由于人们认识水平的限制，对不确定问题了解得不深刻，处理不确定问题很粗糙。通常，人们把不确定性往往归结为随机性，对随机不确定问题的处理，一个自然的答案是应用概率论和随机过程。在各种各样的不确定问题中，确实存在大量的随机不确定问题，对这类不确定问题，人们已经进行了深刻而广泛的研究工作[8-17]，概率结构力学已经达到很高的完善程度，解决了很多理论问题和大量的工程问题。

在概率统计模型的理论中，一方面都假定结构系统的不确定参数、不确定干扰和不确定载荷是随机变量或随机过程。然而，现在的科学研究表明，不确定性未必就是随机性，不确定性也是可能是模糊性或未知然而有界性（或叫未知确定性）；另一方面，在现存的绝大部分研究不确定结构系统的文献中都假定结构的不确定参数、不确定干扰和不确定载荷是随机变量或随机过程，且满足某种概率分布假设。在这种情况下，可以保证或证明结构响应的合理性(或收敛性)。但是，关于不确定变量的概率分布密度的随机样本试验的信息常常是缺乏的，或者是不完整的，一旦这些概率分布假定和工程结构不确定变量的真正分布不符，不确定结构系统的概率分析响应的合理性就失去了意义。实际结构系统的不确定参数、不确定干扰和不确定载荷是否满足某一种特定的概率分布假定一般是很难验证的。

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其结果产生了下面的矛盾：一方面承认实际结构系统的不确定性是非常复杂的，不一定都能用简单的系统模型作为其数学模型；另一方面，由于结构系统模型、结构的不确定参数，不确定干扰和不确定载荷都是人为地假定为随机不确定性，并且人为地假定其概率分布密度形式。于是乎所有的结构系统的不确定模型都恩能够够通过概率统计模型获得与真实结构系统任意接近的数学模型。如果这样做的话，这不是在进行科学研究，这是在变“魔术”。概率论已成为这些人手中的“魔棒”，所有不确定的问题，经这个“魔棒”一指，就变成了确定的问题了。所有没有的东西，经这个“魔棒”一挥，就变成了存在的东西。正是这种矛盾和现象促使人们考虑用非概率统计模型来研究各种各样的不确定问题。

应该指出，试图获得充分的统计数据以便直接地模拟全部结构的不确定性是不可能的，也是不现实的。概率统计方法是和由样本观察所得出的推断有关。各种结构参数的不确定性中有依靠考察随机试验的样本数据才能数量化。而且，一方面，样本的大小受到实际情况和经济上考虑的限制；另一方面，由于背景噪声的存在，不确定变量的各种统计值不然存在某些误差或不确定性。

(3)不确定函数有一积分平方界，即

x2tdta (1-18)

a-已知的正实数。

(4)不确定不变量x位于如下的椭球集合内，即

Ex,x:xRm,xx0Wxx02T (1-19)

式中x0-椭球的中心；x-已知的m维向量；W-已知的正定矩阵，它描述椭球的形状；

-已知的正实数，它刻画椭球的大小。

(5)不确定函数位于有界的凸集合内，即

S,:HW,2精彩文档

(1-20)

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式中-不确定变量或者函数；H-二次型；W-正定矩阵；-正实数。

上面所叙述的不确定性都属于有界不确定性，也叫未知然而有界性或不确定然而有界性或未确知性。本书则采用有界不确定性的叫法。

研究这种有界不确定性的数学理论与方法叫非概率集合理论模型(non-probabilistic set-theoretic models)，也叫未知然而有界模型(unknown-but-bounded models)，或者凸模型(convex models)，或集合理论凸方法(set-theoretic convex approach)，本书则取集合理论凸方法的叫法。

在集合理论凸方法中，目前共有两种理论与方法。一种是以凸集合为基础的优化方法即凸模型方法(convex models)，另一种是区间分析方法(interval analysis)。

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