2015-2016学年浙江省杭州市严州中学高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
2
1．已知集合A={x|y=ln（1﹣2x）}，B={x|x≤x}，则∁A∪B（A∩B）=（ ） A．（﹣∞，0）
B．（﹣，1] C．（﹣∞，0）∪[，1]
D．（﹣，0]
2．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数y=（2x﹣1）e的图象是（ ）
x
A． B． C． D．
4．已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ） A．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α B．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β
C．若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
5．若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ） A．
6．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=﹣x+2x，则函数F（x）=f（x）﹣x零点个数为（ ） A．4 B．3 C．1 D．0
7．已知数列{an}满足a1=1，an+1•an=2（n∈N），则S2015=（ ）
2015100910071008A．2﹣1 B．2﹣3 C．3×2﹣3 D．2﹣3
8．已知向量
满足：
，则在上的投影长度的取
n
*
2
B． C． D．
值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题有7小题，9-12每题6分，13-15题每题4分，共36分．把答案填在答题卷的相应位置．
9．若经过点P（﹣3，0）的直线l与圆M：x+y+4x﹣2y+3=0相切，则圆M的圆心坐标是 ；半径为 ；切线在y轴上的截距是 ．
10．设函数f（x）==﹣1，则a= ．
11．某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是 cm，其侧视
2
图的面积是 cm．
3
2
2
，则f（f（4））= ；若f（a）
12．设实数x，y满足
2
2
，则动点P（x，y）所形成区域的面积为 ，
z=x+y的取值范围是 ．
13．点P是双曲线
=1（a＞0，b＞0）上一点，F是右焦点，且△OPF是∠POF=120°
的等腰三角形（O为坐标原点），则双曲线的离心率是 ．
14．函数f（x）=sin2x+
15．已知x＞0，y＞0，2x+y=1，若4x+y+是 ．
2
2
的最大值是 ．
﹣m＜0恒成立，则m的取值范围
三、解答题：本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（15分）（2015•东阳市模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且
．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，求△ABC的面积最大值． 17．（15分）（2015•东阳市模拟）如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，△BEC为等边三角形，
（1）若平面ABE⊥平面ADE，求CD长度； （2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．
18．（15分）（2015•东阳市模拟）已知椭圆
，离心率
，
且过点，
（1）求椭圆方程；
（2）Rt△ABC以A（0，b）为直角顶点，边AB，BC与椭圆交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
19．（15分）（2015•东阳市模拟）函数f（x）=2ax﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b （1）若
时，求f（sinθ）的最大值；
2
（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．
20．（14分）（2015•东阳市模拟）各项为正的数列{an}满足
，
，
（1）取λ=an+1，求证：数列（2）取λ=2时令求证：对任意正整数n，2
是等比数列，并求其公比；
，记数列{bn}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项之积为Tn，
n+1
Tn+Sn为定值．
2015-2016学年浙江省杭州市严州中学高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
2
1．已知集合A={x|y=ln（1﹣2x）}，B={x|x≤x}，则∁A∪B（A∩B）=（ ） A．（﹣∞，0）
B．（﹣，1] C．（﹣∞，0）∪[，1]
D．（﹣，0]
考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合．
分析： 分别求出关于集合A、B中的x的范围，从而求出A∪B，A∩B，进而求出∁A∪B（A∩B）．
解答： 解：∵集合A={x|y=ln（1﹣2x）}， ∴A={x|1﹣2x＞0}={x|x＜}， ∵B={x|x≤x}={x|0≤x≤1}，
∴A∪B={x|x≤1}，A∩B={x|0≤x＜}， ∴∁A∪B（A∩B）=（﹣∞，0）∪[，1]，
故选：C．
点评： 本题考查了集合的交、并、补集的运算，是一道基础题．
2．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．
分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解答： 解：若a=1，b=﹣2，满足a＞b，但|a|＞|b|不成立， 若a=﹣2，b=1，满足|a|＞|b|，但a＞b不成立， 即“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，
2
故选：D．
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
3．函数y=（2x﹣1）e的图象是（ ）
x
A． B．
C． D．
考点： 函数的图象．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 先通过函数的零点排除C，D，再根据x的变化趋势和y的关系排除B，问题得以解决．
解答： 解：令y=（2x﹣1）e=0，解得x=，函数有唯一的零点，故排除C，D， 当x→﹣∞时，e→0，所以y→0，故排除B， 故选：A．
点评： 本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题． 4．已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ） A．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α B．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β
C．若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β 考点： 平面与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 由条件利用直线和平面平行的判定定理、性质定理，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
解答： 解：若直线a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不对； 若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，故B不对；
若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a、b是异面直线，故C不对； 根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得D正确， 故选：D．
点评： 本题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定定理、性质定理的应用，直线和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于基础题．
5．若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ）
x
x
A． B． C． D．
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的求值．
分析： 利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．
解答： 解：函数f（x）=sin2x+cos2x=所得图象是函数y=
sin（2x+
﹣2φ），
sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，
图象关于y轴对称，可得即φ=﹣
，
﹣2φ=kπ+，
当k=﹣1时，φ的最小正值是．
故选：C．
点评： 本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．
6．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=﹣x+2x，则函数F（x）=f（x）﹣x零点个数为（ ） A．4 B．3 C．1 D．0
考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用奇偶性求解f（x）解析式
2
构造f（x）=，g（x）=x，
画出图象，利用交点个数即可判断F（x）零点个数．
2
解答： 解：∵在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=﹣x+2x，
22
∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x）+2（﹣x）]=x+2x， ∴f（x）=g（x）=x，
，
根据图形可判断：f（x）=
，与g（x）=x，有3个交点，
即可得出函数F（x）=f（x）﹣x零点个数为3， 故选：B．
点评： 本题考查了复杂函数的零点的判断问题，构函数转化为交点 的问题求解，数形结合的思想的运用，关键是画出图象．
7．已知数列{an}满足a1=1，an+1•an=2（n∈N），则S2015=（ ）
2015100910071008A．2﹣1 B．2﹣3 C．3×2﹣3 D．2﹣3 考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由已知得数列{an}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出前2015项的和．
n*
解答： 解：∵a1=1，an+1•an=2，∴a2=2，
n﹣1
∴当n≥2时，an•an﹣1=2， ∴
=
=2，
n
∴数列{an}中奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S2015=
+
=2
1009
﹣3，
故选：B．
点评： 本题考查数列的前2015项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出数列{an}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．
8．已知向量满足：，则在上的投影长度的取
值范围是（ ） A．
B．
C． D．
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由
=
≤12可求
的范围，进而可求
的
范围，然后由在上的投影||cosθ可求 解答： 解：设向量∵||=13，||=1 ∴∴∴
≥5
=
≥
=
=
=
≤12
的夹角为θ
∴
∵在上的投影||cosθ=cosθ
故选D
点评： 本题主要考查了向量的数量积的性质及投影的定义的简单应用，解题的关键是弄清楚基本概念．
二、填空题：本大题有7小题，9-12每题6分，13-15题每题4分，共36分．把答案填在答题卷的相应位置．
22
9．若经过点P（﹣3，0）的直线l与圆M：x+y+4x﹣2y+3=0相切，则圆M的圆心坐标是 （﹣2，1） ；半径为 ；切线在y轴上的截距是 ﹣3 ．
考点： 圆的一般方程． 专题： 直线与圆．
分析： 根据圆的标准方程即可求出圆心坐标和半径，根据直线相切即可求出切线方程．
22
解答： 解：圆的标准方程为（x+2）+（y﹣1）=2， 则圆心坐标为（﹣2，1），半径R=， 设切线斜率为k，
过P的切线方程为y=k（x+3）， 即kx﹣y+3k=0，
则圆心到直线的距离d=平方得k+2k+1=（k+1）=0， 解得k=﹣1，
此时切线方程为y=﹣x﹣3， 即在y轴上的截距为﹣3，
2
2
==，
故答案为：
点评： 本题主要考查圆的标准方程的应用以及直线和圆相切的位置关系的应用，比较基础．
10．设函数f（x）=
，则f（f（4））= 5 ；若f（a）=﹣1，
则a= 1或 ．
考点： 分段函数的应用；函数的值． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 直接利用分段函数，由里及外求解函数值，通过方程求出方程的根即可．
解答： 解：函数f（x）=
f（f（4））=f（﹣31）=log2（1+31）=5．
2
当a≥1时，f（a）=﹣1，可得﹣2a+1=﹣1，解得a=1；
，则f（4）=﹣2×4+1=﹣31．
2
当a＜1时，f（a）=﹣1，可得log2（1﹣a）=﹣1，解得a=； 故答案为：5；1或．
点评： 本题考查函数的值的求法，方程的根的求解，分段函数的应用，考查计算能力．
11．某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是 4 cm，其侧视图的面积是
cm．
2
3
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 判断得出该几何体是三棱锥，求解其体积：
，再利用直角三角形求解面积即可．
S△CBD×AB，△BCD边BD的高为
解答： 解：∵根据三视图得出：该几何体是三棱锥，AB=2，BC=3，DB=5，CD=4， AB⊥面BCD，BC⊥CD， ∴其体积：
S△CBD×AB=
=×2=
=
=4，
△BCD边BD的高为侧视图的面积：
故答案为；4，
点评： 本题考查了三棱锥的三视图的运用，仔细阅读数据判断恢复直观图，关键是利用好仔细平面的位置关系求解，属于中档题．
2
2
12．设实数x，y满足，则动点P（x，y）所形成区域的面积为 1 ，z=x+y
的取值范围是 [1，5] ．
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 先画出满足条件的平面区域，求出A，B，C的坐标，从而求出三角形的面积，再
22
根据z=x+y的几何意义，求出其范围即可．
解答： 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
△ABC为平面区域的面积， ∴S△ABC=×2×1=1，
而z=x+y表示平面区域内的点到原点的距离的平方，
由图象得：A或B到原点的距离最大，C到原点的距离最小，
∴d最大值=5，d最小值=1， 故答案为：1，[1，5]．
22
点评： 本题考察了简单的线性规划问题，考察z=x+y的几何意义，本题是一道中档题．
13．点P是双曲线
=1（a＞0，b＞0）上一点，F是右焦点，且△OPF是∠POF=120°
2
2
的等腰三角形（O为坐标原点），则双曲线的离心率是 +1 ．
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由题意可得P在双曲线的左支上，可设P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，即有P（﹣ccos60°，csin60°），代入双曲线方程，由离心率公式，解方程即可得到结论． 解答： 解：由题意可得P在双曲线的左支上， 可设P在第二象限，且|OP|=|OF|=c， 即有P（﹣ccos60°，csin60°），
即为（﹣c，c），
代入双曲线方程，可得
﹣
=1，
即为﹣=1，
由e=，可得e﹣
4
2
2
=1，
化简可得e﹣8e+4=0，
2
解得e=4±2，
由e＞1，可得e=+1． 故答案为：+1．
点评： 本题考查双曲线的方程和性质，主要方程的运用和离心率的求法，正确判断P的位置和求出P的坐标是解题的关键．
14．函数f（x）=sin2x+
的最大值是
．
考点： 三角函数的最值；两角和与差的正弦函数． 专题： 三角函数的求值．
分析： 利用两角和的余弦展开，令t=cosx﹣sinx换元，转化为二次函数求最值解答．
解答： 解：f（x）=sin2x+=sin2x+
=sin2x+
=2sinxcosx+cosx﹣sinx．
令t=cosx﹣sinx，则t∈[]， 22∴t=1﹣2sinxcosx，2sinxcosx=1﹣t． 原函数化为y=﹣t+t+1，t∈[
2
]，
对称轴方程为t=，∴当t=时函数有最大值为． 故答案为：．
点评： 本题考查了两角和与差的余弦函数，考查了利用换元法求三角函数的最值，考查了二次函数最值的求法，是中档题．
15．已知x＞0，y＞0，2x+y=1，若4x+y+
考点： 函数恒成立问题．
专题： 综合题；函数的性质及应用．
22
﹣m＜0恒成立，则m的取值范围是 ．
分析： 4x+y+﹣m＜0恒成立，即m＞4x+y+
值，即可求得m的取值范围．
2
2
2
2
2222
恒成立，求出4x+y+
恒成立，
22
的最大
解答： 解：4x+y+﹣m＜0恒成立，即m＞4x+y+
∵x＞0，y＞0，2x+y=1， ∴1≥2∴0＜∵4x+y+
2
2
， ≤
=（2x+y）﹣4xy+
2
=1﹣4xy+=﹣4（﹣）+
2
，
∴4x+y+∴
．
22
的最大值为，
故答案为：．
点评： 本题考查不等式恒成立问题，考察基本不等式的运用，正确转化是关键．
三、解答题：本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（15分）（2015•东阳市模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且
．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，求△ABC的面积最大值．
考点： 正弦定理；余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： （Ⅰ）由正弦定理结合已知可得sinB=sinAsinC．又
2
2
，结合sinB＞0，
可求sinB的值，结合B∈（0，π），即可求得B的大小，又b=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，从而可求B的值．
（II）由余弦定理结合已知可得ac≤9，由三角形面积公式可得即可求得△ABC的面积最大值．
解答： 解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则b=ac．
2
由正弦定理得sinB=sinAsinC． 又所以
， ．
2
，
因为sinB＞0， 则
．…4分
因为B∈（0，π）， 所以B=
2
或．
又b=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边， 故
．…7分
2
2
2
2
2
（II）由余弦定理b=a+c﹣2accosB得9=a+c﹣ac≥2ac﹣ac，得ac≤9． 所以，
．
…12分．
当a=c=3时，△ABC的面积最大值为
点评： 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，等比数列的性质等知识的应用，综合性强，属于中档题． 17．（15分）（2015•东阳市模拟）如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，△BEC为等边三角形，
（1）若平面ABE⊥平面ADE，求CD长度； （2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．
考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面垂直的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）设|CD|=d，取BE、AE中点O、F，连结OC、OF，以O为原点，OE、OC、OF为x，y，z轴建立坐标系，求出平面ABE的法向量、面ADE的一个法向量，利用平面ABE⊥平面ADE，求CD长度；
（2）利用向量的数量积公式，求直线AB与平面ADE所成角的取值范围． 解答： 解：（1）设|CD|=d，取BE、AE中点O、F，连结OC、OF，以O为原点，OE、OC、OF为x，y，z轴建立坐标系，则A（﹣2，0，4），B（﹣2，0，0），
，
可得平面ABE的法向量为设面ADE的一个法向量为
则可得
所有，所以CD长度为2．
（2）由（1）可知：面ADE的一个法向量，设直线AB与面ADE所
成角为θ，则，所以
．
点评： 本题考查线面垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．
18．（15分）（2015•东阳市模拟）已知椭圆
，离心率
，
且过点，
（1）求椭圆方程；
（2）Rt△ABC以A（0，b）为直角顶点，边AB，BC与椭圆交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，以及点满足方程，解方程，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）分别设出AB，AC的方程，代入椭圆方程，求得B，C的横坐标，运用弦长公式，以及三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．
解答： 解：（1）由，即=，又a﹣b=c，得a=3b，
222
把点带入椭圆方程可得：，
所以椭圆方程为：；
（2）不妨设AB的方程y=kx+1， 则AC的方程为
．
由得：（1+9k）x+18kx=0
22
，
k用代入，可得，
从而有，
于是 ．
令，有，
当且仅当，．
点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程
和椭圆方程，求得交点，同时考查三角形的面积公式和基本不等式的运用，属于中档题．
19．（15分）（2015•东阳市模拟）函数f（x）=2ax﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b （1）若
时，求f（sinθ）的最大值；
2
（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．
考点： 复合三角函数的单调性． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函数区间的最值可得；
（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，﹣1），进而可得ab的值，可得解析式．
2
解答： 解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，
∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴
，
2
由二次函数区间的最值可得
（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1， ∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2
而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]时，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1， 结合f（0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0，﹣1）
∴b=0，a=1，∴f（x）=2x﹣1．
点评： 本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题．
20．（14分）（2015•东阳市模拟）各项为正的数列{an}满足
，
2
，
（1）取λ=an+1，求证：数列（2）取λ=2时令
是等比数列，并求其公比；
，记数列{bn}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项之积为Tn，
n+1
求证：对任意正整数n，2Tn+Sn为定值．
考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）把由λ=an+1代入
，整理后求解方程求得
．结合an＞0可得
为常数，结论得证；
（2）把λ=2代入数列递推式，得到2an+1=an（an+2），变形得到累积法和裂项相消法求得Tn，Sn，代入2解答： 证明：（1）由λ=an+1，得
n+1
，然后分别利用
Tn+Sn证得答案．
，∴
．
两边同除可得：，解得．
∵an＞0，∴
为常数，
故数列是等比数列，公比为1；
（2）当λ=2时，
，得2an+1=an（an+2），
∴∴
．
， 又∴故2
n+1
， ，
Tn+Sn=
=2为定值．
点评： 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累积法求数列的通项公式
及裂项相消法求数列的和，是中档题．
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