不定型极限求法研究

第８卷第２期　贵阳学院学报（自然科学版）　（季刊）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＧＵＩＹＡＮＧ　ＣＯＬＬＥＧＥ　Ｖ０１．８　Ｎｏ．２　２０１３年６月　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ（Ｑｕａｒｔｅｒｌｙ）　不定型极限求法研究　张奕河，吴小兰　（福建电力职业技术学院，福建泉州３６２０００）　摘要：利用给出的两个命题，求解‘‘　ＩＪ或　’’和…１’’型极限，既直观又方便，省略了一些繁琐的求　　∞　导运算，达到事半功倍的作用，同时对培养学生思维的灵活性和学习兴趣，树立学习信心有一定作用。　关键词：不定型；极限；解题技巧　中图分类号：Ｏ１７１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—６１２５（２０１３）０１—００１３—０３　Ａｎａｌｙｚｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｕｎｄｅｆｉｎｅｄ　Ｌｉｍｉｔ　ＺＨＡＮＧ　Ｙｉ．ｈｅ．ＷＵ　Ｘｉａｏ　１ａｎ　（Ｆｕｊｉａｎ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｆｕｊｉａｎ　Ｑｕａｎｚｈｏｕ　３６２０００）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇ山ｅｔｗ０　ｐｒ０ｐｏｓｉｔｉ０Ｉｌｓｔｏｓ０Ｊｖｅ“苦”０ｒ“詈”ａｎｄ‘‘ｌ…Ｌｉｍｉｔ　ｉｓｉｎｔｕｉｔｉｖｅ，ｅａｓｙ　ａｎｄ　ｏｍｉｔｔｉｎｇ　ｓ０ｎｌｅ　ｃｕｍｂｅｒｓｏｍｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ　ｃａｎ　ｙｉｅｌｄ　ｔｗｉｃｅ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｗｉｔｈ　ｈａｌｆ　ｔｈｅ　ｅｆｆｏｒｔ　ａｎｄ　ｃａｎ　ｈａｖｅ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｎ　ｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇ　ｌｆｅｘｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ　ａｎｄ　ｌｅａｒｎｉｎｇ　ｉｎｔｅｒｅｓｔ　ａｎｄ　ｂｕｉｌｄｉｎｇ　ｌｅａｒｎｉｎｇ　ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｕｎｄｅｆｉｎｅｄ；Ｌｉｍｉｔ；Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｓｋｉｌ１．　注重数学问题解题技巧的教学，能促进学生　判断思维的发展以及适应学习和今后工作的需要，　推论：若Ｆ（　）＝　ｌｉａｒｆ（　）＝Ｃ≠０，　）ｇ（　），ｌｉｍＦ（　）存在，　——　０　更有利培养学生思维的灵活性，提高他们的思维能　力。以下浅谈求不定型极限的两个解题技巧。　￣ｌＪｌｉｍＦ（　）＝ｌｉｍｆ￣　）ｌｉｍｇ（　）＝Ｃ　ｌｉｍｇ（　）。　１　利用罗比达法则求极限的解题技巧　众所周知，罗比达法则是求不定型极限的有力　工具，确实简单、实用。但对于一些问题，直接利用　罗比达法则求解，运算相当复杂，若利用以下简单　的命题，再利用法则求解，则是“锦上添花”，使解　题更加简单、方便。　有了命题推论，在利用罗比达法则求“百０政　ｏｏ　”不定型极限时，先利用推论，把极限非零因子提　出来，即把所求式子“化简”，再利用罗比达法则求　解，就可以减少复杂的函数积、商的求导运算，达到　事半功倍的效果。以下举例说明。　ｌｎｘ　命题１：若Ｆ（　）＝－厂（ｘ）ｇ（　），ｌｉｍｆ（　）＝Ｃ≠　例１：求ｌｉｍ—　一（　一１）ｔａｎ—７　７＂　。　０　０，则ｌｉｍＦ（　），ｌｉｍｇ（　）同时存在或同时不存在．　—　０　—　０　［分析］此极限为“百０，’型，（证略，对于　一∞等同样适用）　若直接用罗比达法　收稿日期：２０１２—１２—２５　作者简介：张奕河（１９６４一），男，福建泉州人，福建电力职业技术学院副教授。主要研究方向：高职数学教学和研究。　吴小兰（１９８１一），女，福建泉州人，福建电力职业技术学院讲师。主要研究方向：高职数学教学和研究。　一１３—　（旦），　则求解，则有原式：ｌｉｍ——　一，　一　［（　一１）ｔａｎ　］　要用到积、商及复合函数的求导法则，运算相当复　杂，如果利用推论，先“化简”，再用罗比达法则，那　就简便多了。　ｌ　解：・．１ｉｍａｒｃｔａｎｘ４≠０——：一．，由推论得　’。协．　ｎ　ＪＪ　７　ｌｎｘ　ａｒｃｔａｎｘ　４　ｌｉｌｎｘｍ．＝　一　（戈一１）ｔａｎ　７／＂　…４，．　４　Ｔ　。　例２：＇ＴＪ￣ｌｉｍ　。　畸　ｎ　［分析］此极限为“　”型，一般的解法为　原式＝ｌｉｍ　＝　２　碍Ｉ．．ｌｍ６ｃｏｓ—＝＿——　——＿—　３ｘ（一ｓｉｎ３ｘ）　，．ｓｉｈｍ＿ｎ６ｘ　－　－＇　６－ｂｃｏｓｘ　Ｌ一￥１１１Ｘ）　＿＋耍ｓｉｎ２ｘ　．　１１ｍ６ｃｏｓ６　：——＿＝ｊ．　互Ｚｃｏｓ２ｘ　运算相当复杂且要用到三角恒等变换公式。　事实上，ｔａｎｘ＝　，显然　口胍－＋∞（　一　时）与　ＣＯＳ　ｓｉｎｘ无关而与ＣＯＳ．￣有关，ｔａｎ３ｘ同理。　因此可把无关式子的极限求出，化简函数后再用罗　比达法则求解。　解：　．　１ｉｍ　＝一１≠０，由推论得　４　ｓｌｎ３ｘ　。　ｌｉｍ　—ｔａｎｘｔａｎ３ｘ＝　—＿＋要　：＝一ｌ－ｌｊ　ｌｍ　　———寺：＝一ｌｉ一ｌｉｒａ＿３——■一ｓｉｎ３ｘ＝ｌ：３　ｊ　ｘ芝２　。。　号　事实上，在求“　０或　”型极限　袅碧时，　可以把　）、ｇ（ｘ）中与其趋近于零（或无穷大）的　“无关”式子的极限先求出，达到化简式子　的　目的，再用罗比达法则求解。　例３：求ｌｉｍ　ｌｎｃｏｔｘ。　一１４一　分析：ｌｉｍｌｎｃｏｔｘ＝∞。’．’ｌｎｃｏｔｘ＝ｌｎｃｏｓｘ—ｌｎｓｉｎｘ，　显然ｌｎｃｏｔｘ　∞（　一０　时）与ｌｎｓｉｎｘ有关而与　ｌｎｃｏｓｘ无关，因此可把无关式子的极限求出，化简　函数后再用罗比达法则求解。　解：ｌｉｍ　ｌｎｃ—ｏｔｘ＝ｌｉｍ＿ｌｎｃｏｓｘ－ｌｎｓｉｎｘ＝ｌｉｍ二　ＩＩＩＸ　—．０　ｌｎｘ　——’０’ｌｎｘ　１　－－Ｃ　ＯＳＸ　：ｌｉｍ　：一　…２　＝　一１　对于“１　”型极限主要利用重要极限ｌｉｍ（１　＋÷）　＝ｅ或通过取自然对数后转化为“　０”型　再利用罗比达法则求解，　！犁　即ｌｊｍ　）　‘　：１ｉｍ　ｅｇ（Ｘ）ｌｎｆ（ｘ）＝ｌｉｍ　＝ｌｉｍ　Ｐ　（　）　（　）　（　）　（　）　过程复杂且求导繁琐，若利用以下证明的命题　求解则简单方便。　命题２：若ｌｉｍ　）　为“１一’型，且ｌｉｍ（　）一　（　）　（　）　１）ｇ（　）＝ａ．　１ｉｍ　）一１）　（　）　则ｌｉｍ　）　’＝ｅ。＝ｅ（　）　。　（＝嚣）　证明：ｌｉｍ，（　）　‘　＝ｌｉｍ　ｅｇ（ｘ）ｌｎｆ（　（一ｘ－－＊ｘ　ｏ）　（　）　１　ｌｉａｒ　ｇ（　）　）一１）　＝１ｉｍ　ｅ　肌）－１）ｌｎ［１帆）－１）］　＝ｅ（　）　∞　（　—　０）　例４：求ｌｉ　（１—３ｘ）寺　【分析】利用重要极限ｌｉｍ（１＋　）　＝ｅ求解，学生　对题目的负号处理不当，常得出错误答案ｌｉａｒ（１—　３　）ｉ＝ｅ　．此类题目在考试中经常以选择题或填　空题出现，利用命题２求解一目了然，快捷方便，不　要过多的步骤就可得出答案，又可避免上述错误。　解：‘．‘ｌｉ　）一１）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍ　（一３ｘ）一１＝一３，　．ｕ　．　ｌｉｍ（１—３ｘ）　１＝ｅ～．　～例５：求１ｉ＿’∞　ｍ（等　）一ｌ　“ｔ。　墨解：’・　１ｉｍ　（　）一１）ｇ（　）＝　１，ｍ　（ａ－－ｑ）（　　＋１）＝１　学科具有抽象思维等特点和近年来高校学生基本　素质的下降，很多学生对此产生畏惧感。因此教师　在教学中要注重数学问题的解题技巧，化难为易、　化繁为简，使问题简单明了，便于学生掌握和应用，　从而帮助学生克服学习中的畏难情绪，培养学生对　数学课的兴趣和爱好。此外，通过对不定型极限求　法的研究，改变学生“按部就班”的思维方式，激发　，ｘ—｝∞　．＋一—　∞　ｚ＿Ｉ１　ｌ・．．　（　：ｅ．　例６：ｌｉｍ（ｓｉｎｘ）　解：’．‘ｌｉａ（ｒｆ（　）一１）ｇ（　）　丌　：ｌｉｍ　一．ｓｊｎ　：ｌｉｍ　“ｍｓｊｎ　和培养学生的创造性思维，增强学生的探索欲，让　学生多思善考，感到新奇有趣，有利于培养学生的　詈　ｃ０　一手　ｃｏ。　＝　ｌｉ　ｍｉ　旱一ｃｏ　ｓｘ一詈　＝　ｌ　ｉｍ手　＝。．　创新意识和创造能力，有利于促进学生的个性发　展，有利于学生的综合素质和学习能力的提高。　参考文献：　・．．１ｉｍ（ｓｉｎｘ）　—　＝ｅ。＝１．　ｉｔ　３　小结　高等数学是高校的重要基础学科，但由于数学　（上接第８页）　参考文献：　［１］Ｙａｎｇ　ｘ　Ｅ，ｗｕ　Ｘ，Ｈａｏ　Ｈ　Ｌ，ｅｔ　ａ１．Ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ　ａｎｄ　ａｓ．　ｓｅｓｓｍｅｎｔ　ｏｆ　ｗａｔｅｒ　ｅｕｔｒｏｐｈｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｚｈｅｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ＳＣＩＥＮＣＥ　Ｂ，２００８，９（３）：１９７—２０９．　［１］同济大学数学系．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版　社．２００７．　ｃｏａｓｔａｌ　ｗａｔｅｒｓ　ｔｈｅ　ｋｅｙ　ｔｏ　ｉｎｃｒｅａｓｅｄ　ｒｅｄ　ｔｉｄｅ　ｂｌｏｏｍｓ？［Ｊ］．　Ｈｙｄｒｏｂｉｏｌｏｇｉａ，１９９７（１—３）：１４１—１４７．　［６］Ｋｌａｕｓｍｅｉｅｒ　Ｃ　Ａ，Ｌｉｔｃｈｍａｎ　Ｅ，Ｄａｕｆｒｅｓｎｅ　Ｔ，ｅｔ　ａ１．Ｏｐｔｉ—　ｅａｌ　ｎｉｔｒｒｏｇｅｎ—ｔｏ—ｐｈｏｓｐｔｌｏｒｎｓ　ｓｔｏｉｅｈｉｏｍｅｔｒｙ　ｏｆ　ｐｈｙｔｏｐｌａｎｋ—　ｔｏｎ［Ｊ］．Ｎａｔｕｒｅ，２００４（６９８８）：１７１—１７４．　［７］文世勇，赵冬至，赵玲，等．基于氮磷比的赤潮灾害危　［２］胡耐根．水体富营养化的成因及防治对策［Ｊ］．科技信　息，２００９（３３）：３３４—３３５．　险度评估方法研究［Ｊ］．中山大学学报：自然科学版，　２００９，４８（２）：８４—８９．　［３］周扬，王凡，徐亚同．清溪河富营养化现状及其防治　方法［Ｊ］．现代农业科技，２００９（１６）：２３３—２３９．　『４］Ｒｅｄｆｉｅｌｄ　Ａ　Ｃ．Ｔｈｅ　ｂｉｏｌｏｇｉｃａｌ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｃｈｅｍｉｃａｌ　ｆａｃｔｏｒｓ　ｉｎ　［８］蒲新明，吴玉霖，张永山．长江口区浮游值物营养限　制因子的研究［Ｊ］．海洋学报，２０００，２２（４）：６０—６６．　［９］Ｃｌｏｅｒｎ　Ｊ　Ｅ．Ｏｕｒ　ｅｖｏｌｖｉｎｇ　ｃｏｎｃｅｐｔｕａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏａｓｔａｌ　ｅｕｔｒｏｐｈｉｃａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｍａｉｒｎｅ　Ｅｃｏｌｏｇｙ　Ｐｒｏｇｒｅｓｓ　Ｓｅ—　ｉｔｅｓ，２００１（２１０）：２２３—２５３．　ｔｈｅ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ［Ｊ］．Ａｍｅｒｉｃａｎ　Ｓｃｉｅｎｔｉｓｔ，１９５８，４６（３）：　２０５—２２１．　［５］Ｈｏｄｇｋｉｓｓ　Ｉ　Ｊ，Ｈｏ　Ｋ　Ｃ．Ａｒｅ　ｃｈａｎｇｅｓ　ｉｎ　Ｎ：Ｐ　ｒａｔｉｏｓ　ｉｎ　　一１５—