高数下期中考试(09-10)试卷及解答

 ：名 姓 线 ： 号 学 订 ： 业 专 装 ：院 学广东工业大学考试试卷 ( ) 课程名称: 高等数学（二）期中测验 考试时间: 第 周星期 ( 月 日) 成绩: 一、填空题（每题3分,共15分） 1．已知a{4,3,4}在向量b{2,2,1}上的投影为=_ ２ ____。 2．曲线xetcost,yetsint,z2et在相应于t0的点处切线与Oz轴 夹角的正弦sin= 33。 3． 设D:x1,0y1。则(x5cosyy)yd＝ 23 。 D4． 已知曲面z1x2y2平行于平面2x2yz10的切平面方程为_____2(x1)2(y1)z10, （其中切点P的坐标为(1,1,1)） 5. 设函数f(x,y)x2xyy2，则f(x,y)在点(1,1)处沿变化率最大方向的方向导数为 2 。 二、单选题：（每题4分,共20分） 1．已知直线x2yz702xyz70与平面3xky5z40平行，则k的值为（ Ｄ ） （A） 16 (B) 17 (C) 32 (D)34 2. 改变积分次序后12xx20dxxf(x,y)dy= （ Ｃ ）。 (A) 1dyx011x2f(x,y)dx (B) 1y0dy11y2f(x,y)dx (C ) 1yy0dy11y2f(x,y)dx (D) 10dy11y2f(x,y)dx xyxy,3．函数fx,y22x,y0,0在点0,0处（ Ｃ ） 0,x,y0,0 （Ａ）连续，偏导数存在； （Ｂ）连续，偏导数不存在； （Ｃ）不连续，偏导数存在； （Ｄ）不连续，偏导数不存在． 广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页

4．设zx23xy，则它在点（1,0）处（ Ｂ ） （A）取得极大值; (B)无极值;（C）取得极小值; (D)无法判别是否有极值; 5.设f(u,v)具有连续偏导，且f(x,x2)x42x3x，f1(x,x2)2x22x1，则f2(x,x2)（ Ａ ） 2（A）2x2x1 （B）2x3x21 2x（C）2x2x1 （D）2x3x1 三、求解下列各题（每题6分，共24分） 221x2y1１．求极限limsin(xy) 32x0xyy0解：原式=limx0y0x2yxy(1xy1)1322sin(xy) 3分 limsin(xy) x02xy1xy1y0 5分 1 2 6分 2．已知zxyf(xy,)g()，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导yx2z数，求． xy解: z1yf1yf2g(2) xyx2z1x1yf12f2xyf113f222g3g． xyyyxx3．设zz(x,y)由方程xfx,y所确定，其中f具有一阶连续偏导数，求dz。  广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页

zz解：两边微分得 dxf1d()f2d() 2分

zxzy dxf1xdzzdxydzzdyf 5分 222xy(x2y2zy2f1)x2zf2 整理得 dzdx2dx 6分 222xyf1xyf2xyf1xyf2

四、计算下列各题（每题7分，共28分） １．计算 ２．计算

24x1ydxdy，其中Ｄ是由曲线yx.y1及x0所围成的区域 Dmax{xy,1}dxdy，其中D{(x,y)0x2,0y2}

D．解：曲线xy1把区域D分成三个区域D1、D2和D3

D1:11111x2,y2；D2:x2,0y；D3:0x,0y2 2x2x2 2分

max{xy,1}dxdy＝xydxdy＋dxdy＋dxdy

DD1D2D3＝

1dx1xydy1dxdy22x22221x01 6分 2＝

19ln2 7分 4y22z３．设是曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z8围成的空间区域，求

x0I(x2y2)dv。

22解：由xy2z与 z8所围成，在柱坐标系下

：02,04,22z8 3分

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I＝

20dd22dz 5分

02481024 3五、设f(x,y)连续，且f(x,y)xy（6分）

五、解：设

f(u,v)dudv，其中D是由y0，yxD2，x1所围成区域，求f(x,y)f(x,y)dxdyA，则AxydxdyAdxdy

DDD 2分 A10dxxydy0x211AA 5分 38从而 f(x,y)xy

1 6分 8x2y22z20六、设曲线C:，求C上距离xoy面最远的点和最近的点。（7分）

xy3z5

六、解：设曲面上点(x,y,z)到xoy面的距离为z，则问题等价于求函数Hz 在条件x2y22z20与

2xy3z50下的最大值和最小值点。

令 L(x,y,z,,)z(xy2z)(xy3z5) 2分

2222Lx2x0L2y0y由Lz2z4z30得xy， 5分 Lx2y22z20Lxy3z50

x5x1从而得 y5或y1 6分

z5z1由几何意义，在C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故点(5,5,5)和(1,1,1)即为所求的点。 7分

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七、试证当2时，函数f(x, y)(ey1)sinxcosxcos2y在原点有极小值。（6分） 证明、令fx(x,y)(ey1)cosxsinxcos2y0

fy(x,y)eysinx2cosxsin2y0 显然(0,0)为驻点

又 fxx(x,y)(ey1)sinxcosxcos2y fxy(x,y)eycosx2sinxsin2y

fyy(x,y)eysinx4cosxcos2y

在(0,0)处，A1B当

C4 ACB242

2，ACB20 ，所以函数f(x,y)在原点有级小值。

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