固体物理基础解答吴代鸣

1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明：

如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为

2．若晶胞基矢a,b,c互相垂直，试求晶面族（hkl）的面间距。 解：

a,b,c互相垂直，可令aai,bbj,cck

晶胞体积va(bc)abc

倒格子基矢：

hklGhb1kb2lb32(ijk)abc 而与 （hkl）晶面族垂直的倒格矢

hklG2()2()2()2abc故（hkl） 晶面族的面间距

222b1(bc)(bjck)ivabca222b2(ca)(ckai)j

vabcb222b3(ab)(aibj)kvabcc2dG2hkl2()2()2()2abc1hkl()2()2()2abc



3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答：

通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。

体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。

4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。

解：

（111）面

平均每个（111）面有3（111）面面积

1132个原子。 6212a2(2a)2(232a2422a)222332aaa 222所以原子面密度(111)3a

（110）面

1122个原子。 422（110）面面积a2a2a

22所以（110）面原子面密度(110) 22a2a平均每个（110）面有4

5．设二维矩形格子的基矢为a1ai,a22aj，试画出第一、二、三、布里渊区。

解：

倒格子基矢：

222b1(a2a3)2aixi(a3xk)va2axa

212122b2(a3a1)axjjjb1jva2ax2a2a2所以倒格子也是二维矩形格子。b2方向短一半。

最近邻b2,b2;

次近邻b1,b1,2b2,2b2;

再次近邻b1b2,b1b2,b2b1,b2b1;

再再次近邻3b2,3b2;

做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：

第一布里渊区是一个扁长方形；

第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成；

第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。

6．六方密堆结构的原胞基矢为：

13a1aiaj2213a2aiaj

22a3ck试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。

解：

原胞为简单六方结构。原胞体积：

va1(a2a3)11a(i3j)[a(i3j)ck]2211a(i3j)[ac(j3i)] 2212ac(i3j)(3ij)432ac2倒格子基矢：

2b1(a2a3)v2b2(a3a1)v232ac2221[a(i3j)ck](i3j)23a12[cka(i3j)](i3j)

2a32ac222b3(a1a2)kvc由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。（注意：倒格

子是简单六方，而不是六方密堆）

选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。

次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。

再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六角柱体。

所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。

7．略

8、证明一维NaCl晶体的马德隆常数为2ln2

证明：

任选一参考离子i，则左右两侧对称分布， 令rijaja；这里a为晶格常数（正负离子最近距离）那么，有：11112......; ajj1234其中，异号为＋；同号为.x2x3x4利用展开式：ln(1x)x......

234111令x1，得：ln21......

2342ln2

＝1

9、若离子间的排斥势用e来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数λ和ρ应如何决定。 解：

设最近邻离子间距离为r，则rijajr（以i离子为原点）rrij/e2，（最近邻，rijr）e40riju(rij)2 e，（最近邻以外）40rij总相互作用能为：Ne2U240raji()N1j最近邻er/

NU2e2r/Ze..........................(1)；40r

其中Z为最近邻离子数U由平衡条件：0；得：rrr0e2rZe40r02N0/.........................(2)1.......................(3) r0e2得：U240r0结合能EcU(r0)

对于NaCl等离子晶体：2U2...................(4) K9Nr0rrr0112e21Zr0/K2e............(5) 318r040r0将(2)代入(5)得：1K18r02e2e21

..................(6)324r4r0000e2r0.........................(7) 242e720r0Ke2r由(2)得：e40r02Z

0/......................(8)

10、如果NaCl结构晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的平衡距离将产生多大变化。 解：

N总相互作用能U2Urrr0e2B4rrn........(1)

0Ne2nBn10...........(2) 2240r0r01n140nB得：r0e2..............(2')

e2n1由(2)得：Br0...............(3)

40nNe2(3)代入(1)得：U(r0)80r011........(4) n当电荷由e变为2e时，由(2')和(4)可知：r0(2e)41nr0(e)U(2e)4n1U(e)n1

11、在一维单原子晶格中，若考虑每一院子于其余所有原子都有作用，在简谐近似下求格波的色散关系。

解：在简谐近似下：110U(xijuij)U02ij4第n个原子的运动方程：ij2uijij

d2unU12

m(uijij)2un4unijdt122右边(inuinnjunj)

4uni(n)j(n)1(in(unui)24uni(n)j(n)2(uu)njjn)

1(in(unui)2i(n)nj(ujjn()un))

in(uiin()un)

unp2un)

p(unpp设unAei(tnaq)代入上式得：m2Aei(tnaq)

i(t(np)aq)i(t(np)aq)(AeAe2un)pp整理，得：2 2(1cospaq)pmp12、设有一维双原子晶格，两种院子的质量相等，最近邻原子间的力常数交错地等于1和2，试

求格波的色散关系。

解：d2unm1(n1un)2(nun)

2dt1n12n(12)und2nm2(unn)1(un1n)2dt 2un1un1(12)n

试探解：unAei(naqt);nBei(naqt)

代入方程，得：m2A1Beiaq2B(12)Am2B1Aeiaq2A(12)B

(12)m2(1eiaq2)0

iaq221em(12)经计算，得：221212212cosaq2m

13、已知一维单原子晶格的格波色散关系为

2(q)2M(1cosqa)

试求：(1)格波的模密度g();

(2)低温下晶格热容与温度的比例关系。

解：一维时，模密度g()l2dq((q))

M2由色散关系，得：cosaq1;2

2a2dsinaqdqMddq1/2 2aM2M42M4ml((q))g()2(q)d(q)1/2 220aM2M4(q)(q)2M4laMM2M42421/2

晶格热容：CETTm0g()d

exp(/kBT)1 略去4项，（因为低温，1）

CTm0ld aMkBTe1MlalaMTMkB2TlkB23a0dekBT

1(因为低温，频率低的占主要，所以上限可以近似为无穷大)

x2exdx

x21)0(e3

经计算，上面积分＝2CMT

14、将Debye模型用于一维晶格，求低温下晶格热容与温度的关系，并和上题的结果进行比较，讨论Debye模型的合理性。 解：对于德拜模型，有色散关系：cq

dcdq

lg()2dq((q))

l1d((q))

c0CTdg()0

ekBT1lkB2Tc(ex0x2ex1)2dx

上面积分＝23

ClkB2T3c

与上题结果比较，都与T成正比，说明德拜模型

有其合理性，尤其是低温的情况下。