1（2014•江苏苏州,第28题9分）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O
的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s） （1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为 105 °；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
cm，
AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩
2（2014•江苏徐州,第28题10分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，
点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中， ①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由； ②求点G移动路线的长．
3.（2014•江苏苏州,第27题8分）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=
，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，
的长；
连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧（2）求证：BF=BD；
（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．
4. （2014•上海，第25题14分）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=
4，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与5
边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）联结AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
1 （1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案； （2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可； （3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可． 解解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切， 答： ∴∠OAD=45°， ∵AB=4cm，AD=4cm， ∴CD=4cm，AD=4cm， ∴tan∠DAC===， ∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6； （3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1， 如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置， 设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2， ∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2， 由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°， ∴∠O2A2F=60°， 在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣， ， ， ∴∠DAC=60°， ∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°， 故答案为：105； ②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2， 记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三， 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2， ． 综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2点此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论评： 以及数形结合t的值是解题关键． 2专题： 压轴题；存在型． （2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点分析： （1）只要证到三个内角等于90°即可． 为E， 连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1， 在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4， ∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°， 在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°， ∴A1E==， （2）易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE=．然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可． ∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2， 解答：解：（1）证明：如图1，
∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°． ∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG是矩形． （2）①存在．连接OD，如图2①，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．
∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上． ∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．
②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″， ∴点G的移动路线是线段DG″．
∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°， ∴△DCG″∽△DAB．∴=．∴=
．∴DG″=
．
∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB． ∴=（
）2．∵AD=4，AB=3，∴BD=5，
S△CFE=（
）2•S△DAB=
××3×4=．
∴S矩形ABCD=2S△CFE=
．
∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG． ∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．
∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°
Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如图2①所示．此时，CF=CB=4．
Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD， 如图2②所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3． Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′， 如图2③所示．S△BCD=BC•CD=BD•CF″′． ∴4×3=5×CF″′∴CF″′=．∴
≤CF≤4．
∵S矩形ABCD=，∴×（
）2≤S2矩形ABCD≤×4．
∴
≤S矩形ABCD≤12．
∴点G移动路线的长为
．
点评： 本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强．而发现∠CDG=∠ADB及∠FCE=∠ADB是解决本题的关键． 3 （1）利用圆心角定理进而得出∠BOD=120°，再利用弧长公式求出劣弧的长； （2）利用三角形中位线定理得出BF=AC， 再利用圆心角定理得出=，进而得出BF=BD； （3）首先过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，得出BP⊥AE，进而证明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF． （1）解：连接OB，OD， ∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°， ∴∠BOD=120°， ∵⊙O的半径为3， ∴劣弧的长为：×π×3=2π； （2）证明：连接AC， ∵AB=BE，∴点B为AE的中点， ∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线， ∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=， ∴BD=AC，∴BF=BD； （3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE， ∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE， ∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF， 在△PBG和△PBF中， ，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF． ：4（ 1）当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出AC进而得出答案； （2）首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长， 进而利用锐角三角函数关系得出CP以及EF的长； （3）当∠AEG=∠B时，A、E、G重合，只能∠AGE=∠AEG， 利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，进而求出即可． 解 分析：解答： 解：（1）如图1，设⊙O的半径为r， 当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H， ∴BH=AB•cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5， ∴此时CP=r=5； （2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形， ∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC⊥EP， ∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B， ∴CP=CE==，∴EF=2=； （3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N， 4∵cosB=5，∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°， ∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B，∴当∠AEG=∠B时，A、E、G重合， ∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC， ∴=，即==，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1， =． 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角 三角函数关系等知识，利用分类讨论得出△AGE是等腰三角形时 只能∠AGE=∠AEG进而求出是解题关键． ∴CE=
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