数学(文史类)
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式:
三角函数的积化和差公式: 正棱台、圆台的侧面积公式
11 sincos[sin()sin()] S台侧(cc)l 其中c、c分别表示 221cossin[sin()sin()] 上、下底面周长,l表示斜高或母线长.
214coscos[cos()cos()] 球体的体积公式:V球R3 ,其中R
231sinsin[cos()cos()] 表示球的半径.
2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷(选择题共60分)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1.直线y2x关于x对称的直线方程为 ( ) (A)y1x (B)y1x (C)y2x (D)y2x
22,42.已知x,则tg2x ( ) ,0cosx5224 (A)7 (B)7 (C)24 (D)
7242473.抛物线yax的准线方程是y2,则a的值为 ( )
211 (B) (C)8 (D)8 8814.等差数列an中,已知a1,a2a54,an33,则n为( )
3 (A)
(A)48 (B)49 (C)50 (D)51
5.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1,F2,FMF12120,则双曲线的离心率为( ) (A)3 (B)663 (C) (D) 233 1
2x1x06.设函数f(x)1 ,若f(x0)1,则x0的取值范围是 ( ) 2x0x (A)(1,1) (B)(1,)
(C)(,2)(0,) (D)(,1)(1,) 7.已知f(x5)lgx,则f(2)( )
(A)lg2 (B)lg32 (C)lg11 (D)lg2
5328.函数ysin(x)(0)是R上的偶函数,则( ) (A)0 (B)
(C) (D) 429.已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y30的距离为1,则a( ) (A)2 (B)22 (C)21 (D)21 10.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,它的内接圆柱的底面半径为
3R,该圆柱的全面积为( ) 45829
(A)2R (B)R2 (C)R2 (D)R2
234
11.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P4(入射角等于反射3和P角)若P4与P0重合,则tg= ( )
(A)1 (B)
321 (C) (D)1 5212.一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) (A)3 (B)4 (C)33 (D)6
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(文史类)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上 13.不等式4xx2x的解集是____________________.
914.(x21)9的展开式中x系数是 ________ . 2x15.在平面几何里,有勾股定理:“设ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2AC2BC2”拓展到空间,类比 2
平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥ABCD的三个侧面AB、C、AC两两互相垂直,则______________________________________________.”
16.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供
选择,则不同的着色方法共有 种_______________________(以数字作答) 2 5 1 3
4 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证
明过程或或演算步骤 17.(本小题满分12分)
已知正四棱柱ABCDA1BC,AB1,AA12,点E为CC1中点,点F为BD1点中点 11D1(Ⅰ)证明EF为BD1与CC1的公垂线 (Ⅱ)求点D1到面BDE的距离 DA
BC
18.(本小题满分12分)
E
F D M A B
C
已知复数z的辐角为60,且|z1|是|z|和|z2|的等比中项,求|z|. 19.(本小题满分12分)
已知数列an满足a11,an3n1an1(n2). (Ⅰ)求a2,a3;
3n1(Ⅱ)证明an 220.(本小题满分12分)
已知函数f(x)2sinx(sinxcosx) y (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)在给出的直角坐标系中,画出函数yf(x)在区间
上的图象 ,22 21.(本小题满分12分)
2O 2x
3
在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南(cos2)方向
10300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45方向y 北 移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风东O 的侵袭? O x 海
岸 O
线
P r(t) 45 P 22.(本小题满分14分)
已知常数a0,在矩形ABCD中,AB4,BC4a,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且BECFDG,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两个定点,使P到这两点的距离
BCCDDA的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由
y
C D F
E P G
x O A B
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(文)参考解答及评分标准
说明:
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生物解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
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三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分,满分60分.
1.C 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.C 9.C 10.B 11.C 12.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13.(2,4] 14.212222 15.SABCSACDSADBSBCD 16.72 2三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(I)证明:取BD中点M,连结MC,FM,
∵F为BD1中点, ∴FM∥D1D且FM=又EC=
1D1D 21CC1,且EC⊥MC, 2∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1 又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1 ∵BD1面DBD1,
∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线 (II)解:连结ED1,有VEDBDVDDBE
11由(I)知EF⊥面DBD1,设点D1到面BDE的距离为d, 则S△DBC·d=S△DCD1·EF. ∵AA1=2·AB=1.
BDBEED2,EF2 2SDBD12d1133 222,SDBC(2)222222223
332故点D1到平面BDE的距离为
23. 318.解:设z=r(cos60isin60),则复数z的实邻为
r 2zzr,zzr2 由题设|z1|2|z||z2|
即(z1)(z1)|z|(z2)(z2) r2r1rr22r4
r22r10
解得r21r21(舍去) 即|z|=21
5
19.(I)解∵a11,a2314,a332413
(II)证明:由已知anan13n1,故
an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 =3
n13n23n131.
23n1 所以an
220.解(I)f(x)2sin2x2sinxcosx1cos2xsin2x 12(sin2xcos
cos2xsin)12sin(2x) 444所以函数f(x)的最小正周期为π,最大值为12.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
x y 3 81 8 81 3 85 81 12 12 故函数yf(x)在区 间[
21.解:如图建立坐标系:以O为原点,正东方向为x轴正向. 在时刻:t(h)台风中心P(x,y)的坐标为
,]上的图象是 222220t,x300102 y30072202t.102 此时台风侵袭的区域是(xx)2(yy)2[r(t)]2,其中r(t)10t+60, 若在t时,该城市O受到台风的侵袭,则有
(0x)2(0y)2(10t60)2,
6
即(300222722220t)(30020t)(10t60)2, 1021022即t36t2880, 解得12t24.
答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭
22.解:根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到定点距离的和为定值.
按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
设
BECFDCk(0k1), BCCDDA由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak). 直线OF的方程为:2ax(2k1)y0, ① 直线GE的方程为:a(2k1)xy2a0. ②
从①,②消去参数k,得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2y22ay0,
22x(ya)整理得1. 21a21时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点. 212当a时,点P轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.
2当a2当a2111时,点P到椭圆两个焦点(a2,a),(a2,a)的距离之和为定值2. 222111时,点P到椭圆两个焦点(0,aa2),(0,aa2)的距离之和为定值2a. 222当a2
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