毛细管口气泡的曲率半径和附加压力变化

谢治辉

【摘 要】通过直接绘制气泡形成过程中弯曲表面关键状态的形状示意图,得到了曲率半径随时间变化的关系曲线.利用该曲线有助于加深学生对最大泡压法测表面张力实验中曲率半径和附加压力变化的理解,同时该曲线也可用于解析一些与附加压力有关的习题.

【期刊名称】《大学化学》 【年(卷),期】2018(033)010 【总页数】4页(P110-113)

【关键词】毛细管;曲率半径;附加压力;表面张力 【作 者】谢治辉

【作者单位】西华师范大学化学化工学院,四川南充 637002 【正文语种】中 文 【中图分类】G64;O64

表面张力是本科物理化学课程表面物理化学一章中的一个非常重要的概念[1,2]。由于表面张力的作用，弯曲表面下的液体与平面不同，前者将受到一种附加的压力，即附加压力。附加压力与曲率半径的关系是物理化学课程明确要求熟悉掌握的知识点[3,4]。然而，学生在应用附加压力相关知识的时候，常疑问重重，或面对问题无从下手。

例如，最大(气)泡压(力)法测定溶液的表面张力是物理化学实验中的典型实验[5]。

该实验需要在气泡曲率半径刚好等于毛细管半径的时候读数。因为此时气泡的曲率半径最小，附加压力值最大[6]。实际上，从毛细管内液柱下降到形成气泡，进而气泡破裂或从管口脱离的过程中，曲率半径经历了先增加后降低，再增加的过程。多数实验教材虽然讲到了曲率半径经历了后半部分的降低和增加的过程，部分参考书还给出了示意图，但是并不完善[7–9]。目前还没有参考书目或文献详述液柱从下降至形成气泡进而脱离毛细管口的整个过程中弯曲面的曲率半径及对应的附加压力的变化。多数学生实验过程中虽然记住了需要在压力差值最大时读数，但并不知道真正的原因；或者即使知道此时曲率半径对应最小值也即等于毛细管半径，但对于曲率半径经历的变化则无从谈起。另一个例子便是在倒U型毛细管的两侧端口处各有一大一小的肥皂泡，问若U型管内接通后，两肥皂泡大小有何变化？有部分学生即使看了答案后仍然感到疑惑。

为了使上述问题简单清楚，本文将以示意图的形式给出毛细管内液柱从下降至气泡从毛细管口脱离的整个过程中弯曲面的形状和对应曲率半径的变化规律，并结合Young-Laplace公式讨论附加压力值的变化。相信根据示意图，学生可以更为轻松地理解和解答上述例子中的有关表面张力和附加压力的问题。

图1所示为在毛细管上端持续缓慢施加外压，从而在毛细管端口形成气泡的过程中弯曲面的变化示意图。图中横线MN为空气与液体的界面。为了便于理解，图中以虚线的形式给出不同时间点弯曲面所对应的球体的完整截面。设毛细管可被液体润湿，毛细管端口刚好与液面相切。由于毛细管效应，液体在毛细管内上升至某高度并形成弯月凹面。设此时弯月面呈半球状，则弯曲面的曲率半径R就等于毛细管半径r (图1 t0)。平衡后，在毛细管的上端施加外压使液柱下降，在弯曲面最下侧刚好与液面相切前，弯曲面形状维持不变，曲率半径也不改变，见图1 t1。随后，弯曲凹面将变形，曲率半径增加(图1 t2)，并进而被压缩为平面(图1 t3)，此时曲率半径增至无限大。随后，端口液面继续向下压出，形成具有较大曲率半径

的凸面(图1 t4)，但相对于t3时刻，此时的曲率半径已经明显下降。进一步，当凸出部分刚好形成一个半球时，曲率半径R减小到再次与毛细管半径r相等(图1 t5)。最后，曲率半径将再次逐渐增加直至最大值(图1 t6)；此后，气泡立即发生破裂或从毛细管口脱离逸出。

将图1各时间点对应弯曲面的曲率半径R对时间t作图可得图2。由图2并结合图1可知，在t0到t1期间，毛细管内液柱下降并不引起弯曲面曲率半径的改变，期间弯曲面的曲率半径R始终等于毛细管半径r，随后曲率半径逐渐增加至无穷大，即形成平面(t3)。随着时间增加，曲率半径再次下降至最低值并等于毛细管半径(t5)，然后曲率半径再次随气泡增大而增加至最大值(t6)，越过此点，气泡发生破裂或逸出。因而，实际上，曲率半径R经历了由不变到逐渐增加至无穷大，然后再降至最低值，最后再升至极大值的变化过程。

根据图2可知，当曲率半径最小时，对应的曲率半径值即为毛细管的半径。根据Young-Laplace公式，当曲率半径最小时，附加压力最大。因此，若使用已知表面张力的液体并测得其最大附加压力值，即可得到毛细管的半径。然后，在相同的条件下，测量未知液体的最大附加压力值，并将上述得到的毛细管半径代入Young-Laplace公式，即可计算得到未知液体的表面张力。

问题：在一个倒U型毛细管两端各有一大一小肥皂泡，中间有一旋塞。拧开旋塞使两气泡相通，问两泡的大小将发生如何变化？到何时达到平衡？

答案：接通后小泡变小、大泡变大，即小气泡的附加压力ps大于大气泡的附加压力，当达平衡时两气泡的曲率半径相等[10]。

该问题和答案选自参考文献[10]。针对此题，多数学生在思考或看了参考答案后都能明白平衡时两气泡的曲率半径应该相等。因为根据Young-Laplace公式，加之外压相同，则要使大小泡的附加压力相同，曲率半径必相等。但很多学生的疑问是：既然小泡越来越小，大泡越来越大，也即小泡的曲率半径和大泡的曲率半径分别逐

渐减小和逐渐增大，则对应小泡的附加压力越来越大，大泡的附加压力越来越小。那大泡和小泡的曲率半径和附加压力又是如何能够相等的呢？

若能结合图1和图2，则能形象而准确地解答上述疑问。设外压为p0，小泡的附加压力为pA，小泡曲率半径为RA，小泡内部压力为pA,in，大泡的附加压力为pB，大泡曲率半径为RB，大泡内部压力为pB,in。由于肥皂泡有里外2层，则附加压力ps = 2 × 2γ/R = 4γ/R，式中γ为表面张力。因而，pA,in = p0 + 4γ/RA，pB,in = p0 + 4γ/RB。由于RA < RB，则开始时pA,in > pB,in，即开始时小泡内部的压力大于大泡内部的压力，因而气体将由小泡一侧流向大泡一侧，导致小泡变小、大泡变大。设开始时小泡位于图2中的tA，大泡位于tB，则在大泡变大的过程中对应曲率半径RB将沿tB右侧曲线移动，而小泡在变小的过程中曲率半径将沿tA左侧曲线移动(相当于图1中的弯曲面形状由右侧向左侧变化)。相应地，大泡的附加压力因曲率半径增加而减小，小泡的附加压力因曲率半径减小而增大，因而大泡内部压力将减小，小泡内部压力将增加。当移至t5处时，小泡的曲率半径降至最低值，具有最大的附加压力。此时左右气泡内部出现最大压力差，小泡一侧气体进一步压缩至大泡一侧，导致大泡进一步变大，小泡进一步变小。但是，一定注意，此时虽然大泡一侧的曲率半径仍在进一步增加，但小泡一侧的曲率半径不是继续降低而是按照图2中t5至t3的方向沿曲线由小至大迅速增加，直到大小泡的曲率半径相等，均为re，见图2左侧te。图2中右侧te代表平衡时大泡的位置。此时，大小泡的附加压力相等，内部压力也相等。可见，在达到平衡前的整个过程中，虽然大泡一直在增加，小泡一直在减少，但小泡的曲率半径经历了先减小后增加的过程。

通过对毛细管口气泡形成过程中的临界状态绘制示意图，并获得曲率半径随时间的变化关系曲线，可以清楚形象地反映气泡形成过程中弯曲表面所经历的形状以及曲率半径的变化。结合Young-Laplace公式可以很直观地得到气泡形成过程中对应

附加压力的变化规律，并能针对一些实际问题做出准确详细的解析。笔者在教学实践中发现，通过本文所述的方法，学生能够轻松理解最大泡压法测定表面张力实验中有关附加压力的变化规律，也能够比较详细准确回答本文实例2所述习题。

【相关文献】

[1] 尹振兴, 孔辉, 王海川, 章俊, 廖直友, 李媛. 大学化学, 2016,31 (9), 77.

[2] 刘引烽, 房嫄, 赵凯凯, 李琛骏, 杨小瑞, 周海堤, 王宇翔, 朱逸莉, 徐华根. 大学化学, 2014,29 (5), 84.

[3] 傅献彩, 沈文霞, 姚天扬, 侯文华. 物理化学. 第5版. 北京: 高等教育出版社, 2006. [4] 天津大学物理化学教研室. 物理化学. 第5版. 北京: 高等教育出版社, 2009. [5] 甘泉, 杜源, 雷航, 阎晓琦. 大学化学, 2016,31 (11), 97.

[6] 杨武, 何荣幸, 廖钫, 刘瑞泉. 理化测试(II). 北京: 科学出版社, 2004. [7] 复旦大学等. 物理化学实验. 第3版. 北京: 高等教育出版社, 2004. [8] 李曦, 胡善洲. 物理化学实验. 武汉: 武汉理工大学出版社, 2010.

[9] 唐林, 刘红天, 温会玲. 物理化学实验. 第2版. 北京: 化学工业出版社, 2016. [10] 傅献彩, 沈文霞, 姚天扬, 侯文华. 物理化学学习指导. 北京: 高等教育出版社, 2007.