一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题 1．[数学实验探索活动]
实验材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.
实验目的：
用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.
例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积，写出相应的等式有a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2. 问题探索：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2 ， 那么需要两种正方形纸片________张，长方形纸片________张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块，可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框3内.
2．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2=－1，这个数i叫做虚数单位.那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如计算：（2+i）+（3-4i）=5－3i.
（1）填空：i3=________，i4=\"________\"； （2）计算：①
；②
；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题： 已知：（x+y）+3i=（1－x）－yi，（x，y为实数），求x，y的值. （4）试一试：请利用以前学习的有关知识将 3．阅读材料：把形如
化简成a+bi的形式
的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法
.例
是
的另
叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 如：
是
的一种形式的配方，
一种形式的配方
请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出 （2）已知 （3）已知
的两种不同形式的配方； ，求
的值； ，求
的值.
4．（探究）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式________.（用含a，b的等式表示）
（2）（应用）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2＝12+n2 ， 2m+n＝4，则2m﹣n的值为________. ②计算：20192﹣2020×2018.________
（3）（拓展）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12.
5．如图，长方形ABCD中，AB=x(6 （3）若2S1+3S2=5S3 ， 且AD比AB长1，求长方形ABCD的面积． 6．【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次_一项式ax2+bx+c进行因式分解呢?我们已经知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反过来，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2). 我们发现，二次项的系数a分解成a1a2 ， 常数项c分解成c1c2 ， 并且把a1 ， a2 ， c1 ， c2 ， 如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1 ， 如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1 ， c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行. 像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”. 例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×（-3)；然后把1，1，2，-3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解为(x+2)(x-3). （1）请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=________. （2）【理解与应用】 请你仔细体会上述方法，并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： Ⅰ.2x2+5x-7=________； Ⅱ.6x2-7xy+2y2=________ . （3）【探究与拓展】 对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解.如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： Ⅰ.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=________ . Ⅱ.若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24 可以分解成两个一次因式的积，求m的值.________ Ⅲ.己知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1，请写出一组符合题意的x，y的 值.________ 7．效学活动课上老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1：________， 方法2：________； （2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2 ， a2+b2 ， ab之间的等量关系________； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值； ②已知（2019-a）2+（a-2018）2=5，求（2019-a）（a-2018）的值． 8．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=32-12 ， 16=52-32 ， 24=72-52 ， 因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”． （1）在32，75，80这三个数中，是和谐数的是________； （2）若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为________； （3）小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n-1和2n+1（其中n取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否符合题意． 9．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2 ． （1）图③可以解释为等式：________． （2）图④中阴影部分的面积为________．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是________． （3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形； ①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b的代数式表示） ②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系． 10．借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论． 初步应用 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则________（用图中字母表示） ②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：________（用图中字母表示） （2）深入探究 仿照图2，构造图形并计算（a+b+c）2 （3）拓展延伸 借助以上探究经验，解决下列问题： ①代数式（a1+a2+a2+a3+a4+a5）2展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有________项； ②若正数x、y、z和正数m、n、p，满足x+m=y+n=z+p=t，请通过构造图形比较px+my+nz与t2的大小（画出图形，并说明理由）； ③已知x、y、z满足x+y+z=2m，x2+y2+z2=2n，xyz=p，求x2y2+y2z2+x2z2的值（用含m、n、P的式子表示） 11．问题发现：小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积. 例如，由图1，可得到等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2. （1）类比探究：如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来. （2）结论应用：已知a+b+c=14，ab+bc+ac=26，求a2+b2+c2的值. （3）拓展延伸：如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=8，ab=14，请求出阴影部分的面积. 12．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一大重要研究成果．如图所示的三角形数表，称“杨辉三角”．具体法则：两侧的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律： （1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式； （2）利用上面的规律计算：（﹣3）4+4×（﹣3）3×2+6×（﹣3）2×22+4×（﹣3）×23+24 ． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题 1．（1）3；3 （2）解：∵大长方形长为a+3b，宽为a+b ∴面积S=（a+3b）（a+b） 又∵大长方形由三个大正方形，一个小正方形和四个小长方形组成 ∴面积S=a2+4ab+3b2 ∴a2 解析： （1）3；3 （2）解：∵大长方形长为a+3b，宽为a+b ∴面积S=（a+3b）（a+b） 又∵大长方形由三个大正方形，一个小正方形和四个小长方形组成 ∴面积S=a2+4ab+3b2 ∴a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b） （3）解：∵由2b2+5ab+2a2可知 大长方形由两个小正方形和两个大正方形以及五个长方形组成，如图 ∴2b2+5ab+2a2=（2b+a）（b+2a）. 【解析】【解答】（1）∵（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2； ∴拼图需要两个小正方形，一个大正方形和三个小长方形 ∴需要3个正方形纸片，3个长方形纸片. 【分析】（1）根据多项式（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2可发现矩形有两个小正方形，一个大正方形和三个小长方形.（2）正方形、长方形硬纸片一共八块，面积等于长为a+3b，宽为a+b的矩形面积.所以a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）（3）正方形、长方形硬纸片共9块，画出图形，面积等于长为a+2b，宽为2a+b的矩形面积，则2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b） 2．（1）-i；1 （2）解：①（2+i）（2-i）=4-i2=5 ②（2+i）2=i2+4i+4=-1+4i+4=3+4i； ∵（x+y）+3i=（1-x）-yi， ∴x+y=1-x，3=-y， 解析： （1）-i；1 （2）解：①（2+i）（2-i）=4-i2=5 ②（2+i）2=i2+4i+4=-1+4i+4=3+4i； ∵（x+y）+3i=（1-x）-yi， ∴x+y=1-x，3=-y， ∴x=2，y=-3； 原式=i. （3）∵（x+y）+3i=(1-x)-yi， ∴x+y=1-x，3=-y， ∴x=2，y=-3； （4） 【解析】【解答】解：（1）∵i2=-1，∴i3=i2•i=-1•i=-i， i4=i2•i2=-1•（-1）=1 【分析】（1）由于i3=i2•i，i4=i2•i2 ， 将 i2=－1代入计算即可； （2）①利用平方差公式计算可得（2+i）（2-i）=4-i2 ，然后代入计算即可； ② 利用完全平方公式计算可得（2+i）2=i2+4i+4 ，然后代入计算即可； （3）由（x+y）+3i=(1-x)-yi，可得 x+y=1-x，3=-y， 据此解出x、y的值即可； （4）利用平方差公式及分式的基本性质进形解答即得. 3．（1）解： ； ； （2）解：∵ ， ∴ (x-2)2+(y+3)2=0 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ； （3）解： = = ∵ ， ∴ ， 解析： （1）解： ； （2）解：∵ ∴ ∴ 解得 ∴ （3）解： = = ∵ ∴ ∴ ， ， ， ， ； ， ， ， ； 解得 ∴ ， . 并参照题干即可 【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式 得出答案；（2）先对已知进行变形，然后利用平方的非负性求出x,y的值，再代入求值即可；（3）首先将原式利用完全平方公式 方的非负性求出a,b,c的值，进而可得出答案. 分解因式，然后利用平 4．（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）3；解：20192﹣2020×2018 ＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1） ＝20192﹣（20192﹣1） ＝20192﹣20 解析： （1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）3；解：20192﹣2020×2018 ＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1） ＝20192﹣（20192﹣1） ＝20192﹣20192+1 ＝1 （3）解：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12 ＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1） ＝100+99+98+97+…+4+3+2+1 ＝5050 【解析】【解答】解：（1）探究：图1中阴影部分面积a2﹣b2 ， 图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b）， 所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2. （2）应用：①由4m2＝12+n2得，4m2n2＝12 ﹣ ∵（2m+n）•（2m+n）＝4m2n2 ﹣ ∴2m﹣n＝3 故答案为3. 【分析】探究：将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； 应用：①利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2n2 ， 代入求值即可；②可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平法差公式求值； 拓展：利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值. ﹣ 5．（1） ；9-y ；y-3 （2）解： FG=EB=x-6, IP=KG=9-y, IQ=IJ-EB=3-(x-6)=9-x, ∴S2=IP×IQ=(9-y)(9-x), LN=GD=KD-K 解析： （1）；9-y ；y-3 （2）解： FG=EB=x-6, IP=KG=9-y, IQ=IJ-EB=3-(x-6)=9-x, ∴S2=IP×IQ=(9-y)(9-x), LN=GD=KD-KG=3-（9-y）=y-6, ∴S3=LN×NH=(y-6)(x-6), ∵S2=S3 ， ∴(9-y)(9-x)=(y-6)(x-6), 81-9y-9x+xy=xy-6x-6y+36 3(x+y)=81, x+y=27. ∴ 长方形ABCD的周长 =2(x+y)=54. （3）解： S1=EB×BJ=(x-6)(y-3), 由 2S1+3S2=5S3得， 2(x-6)(y-3)+3(9-y)(9-x)=5(y-6)(x-6), 整理得：3y-x=33, ∵y=x+1, 解得x=15, y=16, 则长方形ABCD的面积=xy=15×16=240. 【解析】【解答】 【解答】（1）由图可知， AG+KD=AG+GD+KG=AD+KG，即6+3=y+KG, ∴KG=9-y, 由图可知，BJ=AK=AG-KG=6-（9-y）=y-3, NH=DC-DN-HC=AB-2DN=x-6, 则MH= ; 【分析】（1）根据线段之间的关系，结合正方形的性质推得AG+KD=AD+KG，求出KG=KG=9-y,由BJ=AK=AG-KG，从而求得BG=y-3； （2）根据已求线段的值，结合线段之间的关系，把IP和IQ，LN和NH分别用含x和y的代数式表示，根据S2=S3列式，求得x+y=27, 则矩形的周长可求； （3）把S1、S2和S3分别用含x和y的代数式表示，根据2S1+3S2=5S3列式， 结合y=x+1,从而解出x、y则可求出长方形ABCD的面积. 6．（1）(x+3)(x-2) （2）(x-1)(2x+7)；(2x-y)(3x-2y) （3）(x+2y-1)(3x-y+4)；解：如图， ∵关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2- 解析： （1）(x+3)(x-2) （2）(x-1)(2x+7)；(2x-y)(3x-2y) （3）(x+2y-1)(3x-y+4)；解：如图， ∵关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积， ∴存在其中1×1=1，9×(-2)=-18，(-8)×3=--24； 而7=1×(-2)+1×9，-5=1×(-8)+1×3， ∴m=9×3+(-2)×(-8)=43或m=9×(-8)+(-2)×3=-78. 故m的值为43或者-78. ；x=-1，y=0(答案不唯一) 【解析】【解答】（1） 将式子x 2 -x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=3×（-2)；然后把1，1，3，-2按下图所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(+3)+1×(-2)=-1，恰好等于一次项的系数1，于是x 2+ x-6就可以分解为(x+3)(x-2). （2）根据基本原理，同样得出十字交叉图： Ⅰ. II. ∴ 2x2+5x-7= (x-1)(2x+7), 6x2-7xy+2y2=(2x-y)(3x-2y); （3） Ⅰ. 根据 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 分解因式的基本原理得如图所示的双十字交叉图： 所以 3x2+5xy-2y2+x+9y-4= (x+2y-1)(3x-y+4) ； Ⅱ 如图：x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成(x-2y+3)(x+9y-8),或分解成：(x-2y-8)(x+9y+3), 所以m=43或-78. III.x2+3xy+2y2+2x+3y=-1, 得 x2+3xy+2y2+2x+3y+1=0, 如图所示：得(x+2y+1)(x+y+1)=0，∴ x+2y+1=0，或x+y+1=0， 或 x+2y+1=0且x+y+1=0 ∴如当x=-1时，y=0,或x=3,y=-4等均可使上式成立。 【分析】（1）根据题给基本原理分步解答，即左侧相乘等于二次项，右侧相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于中间项，最终得出如图所示的十字交叉结果。 （2）根据十字相乘法的原理画出十字相乘图，就能得出分解因式的结果。 （3）I.对于双十字相乘法，同样也模仿十字相乘法根据其基本原理，分步解答，画出双十字交叉图，根据原理验证各项系数，得出因式分解的结论。 II.y项系数不定，先根据双十字相乘法画出双十字相乘图，在满足其他项系数前提下，再算m项系数。 III.先根据双十字相乘原理分解因式，要使二元二次式等于零，只要一个因式等于即可，所以符合条件的答案不唯一。 7．（1）（a+b）2；a2+b2+2ab （2）（a+b）2=a2+b2+2ab （3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab， ∴25=13+2ab， ∴ab=6； ②∵（a+b）2=a2+ 解析： （1）（a+b）2；a2+b2+2ab （2）（a+b）2=a2+b2+2ab （3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab， ∴25=13+2ab， ∴ab=6； ②∵（a+b）2=a2+b2+2ab， ∴[（2019-a）+（a-2018）]2=（2019-a）2+（a-2018）2+2（2019-a）（a-2018）， 即1=5+2（2019-a）（a-2018）， ∴（2019-a）（a-2018）=-2． 【解析】【解答】解：方法1：S=（a+b）2 ， 方法2：S=a2+b2+2ab； 故答案为（a+b）2 ， a2+b2+2ab；（2）由面积相等，可得（a+b）2=a2+b2+2ab； 故答案为（a+b）2=a2+b2+2ab 【分析】（1）正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和；（2）由同一图形面积相等即可得到关系式；（3）根据（a+b）2=a2+b2+2ab，将所给条件代入即可求解 8．（1）32；80 （2）100 （3）证明：∵ , ∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的． 【解析】【解答】解：（1）由“和谐数”的定义，设这两个连续的奇数分别为 2n+1 ， ， 解析： （1）32；80 （2）100 （3）证明：∵ ∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的． 【解析】【解答】解：（1）由“和谐数”的定义，设这两个连续的奇数分别为 ， 则 和 谐 数 可 表 示 为 ： ， , ，（其中 表示正整 数） ∴“和谐数”就是8的正整数倍， ∴32，80是和谐数，75不是和谐数，且32=92-72 ， 80=212-192 ， 故答案为：32；80.（2）∵ ∴ ∴ ， ， ， 200，即 200， ∵49+51=100， ∴这两个连续奇数的和为100， 故答案为：100. 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设出一般的情况，看和谐数应满足什么条件，以此条件判断32，75，80这三个数中，哪些数是和谐数；（2）用字母表示两个连续奇数与和谐数，由和谐数是200，列出方程，解出即得到这两个连续的奇数，从而可以求得这两个连续奇数的和；（3）用字母表示两个连续奇数与和谐数，通过化简，可以证明结论成立． 9．（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2 （2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab （3）解：①∵AB＝4，长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S， 解析： （1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2 （2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab （3）解：①∵AB＝4，长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S， ∴大长方形的面积＝（3a+b）（4+b）＝7ab+4×3a+4×3a﹣S， ∴S＝4ab﹣4b+12a﹣b2； ②设AB＝m， ∴大长方形的面积＝（3a+b）（m+b）＝7ab+3ma+3ma﹣S， ∴S＝4ab﹣b2+m（3a﹣b）， ∵若AB为任意值，且①中的S的值为定值， ∴3a＝b. 【解析】【解答】解：（1）根据图可知长方形面积有（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2； 故答案为（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2； （ 2 ）④图中阴影部分面积是（a﹣b）2 ， 根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为（a﹣b）2 ， （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； 【分析】（1）根据图形面积可知（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2；（2）根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积，得到（a-b）2=（a+b）2-4ab；（3）①大长方形的面积=（3a+b）（4+b）=7ab+4×3a+4×3a-S；②设AB=m，大长方形的面积=（3a+b）（m+b）=7ab+3ma+3ma-S，3a-b=0； 10．（1）（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd；（a+b）2=a2+2ab+b2 （2）解：已知大正方形的边长为a+b+c， 利用图形3的面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c 解析： （1）（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd；（a+b）2=a2+2ab+b2 （2）解：已知大正方形的边长为a+b+c， 利用图形3的面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． （3）①15 ②如图4，由图形得：px+my+nz＜t2； ③∵x+y+z=2m， ∴x2+y2+z2+2xz+2xy+2yz=4m2 ， ∵x2+y2+z2=2n， ∴2xz+2xy+2yz=4m2-2n， ∵xz+xy+yz=2m2-n， ∴（xz+xy+yz）2=x2y2+y2z2+x2z2+2x2yz+2y2xz+2z2xy=（2m2-n）2 ， ∴x2y2+y2z2+x2z2=4m4-4m2n+n2-2xyz（x+y+z）=4m4-4m2n+n2-2p•2m=4m4-4m2n+n2-4pm． 【解析】【解答】解：（1）①如图1，得（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd， ②如图2，由②得：（a+b）2=a2+2ab+b2 ， 故答案为①（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，②（a+b）2=a2+2ab+b2； （ 3 ）①（a1+a2）2=a12+a22…2项 +2a1a2….1项 所以一共有2+1=3项； （a1+a2+a3）2=a12+a22+a32…3项 +2a1a2+2a1a3…2项 +2a2a3…1项 所以一共有3+2+1=6项； （a1+a2+a3+a4）2=a12+a22+a32+a42…4项 +2a1a2+2a1a3+2a1a4…3项 +2a2a3+2a2a4…2项 +2a3a4…1项 所以一共有4+3+2+1=10项； （a1+a2+a3+a4+a5）2=a12+a22+a32+a42+a52…5项 +2a1a2+2a1a3+2a1a4+2a1a5…4项 +2a2a3+2a2a4+2a2a5…3项 +2a3a4+2a3a5…2项 +2a4a5…1项 所以一共有5+4+3+2+1=15项； 故答案为15； 【分析】（1）①根据长方形的面积可得结论；②图中大正方形的面积可以用正方形的面积公式来求，也可把正方形分成四个小图形分别求出面积再相加，从而得出（a+b） 2=a2+2ab+b2；（2）直接作图即可得出（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac成立；（3）①分 别计算两个数的平方，三个数的平方，…，得出规律即可求出答案；②画图4可得结论；③先将x+y+z=2m两边同时平方得：xz+xy+yz=2m2-n，继续平方后化简可得结论． 11．（1）解： (a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac （2）解：∵a+b+c=14，ab+bc+ac=26， ∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+ac+bc 解析： （1）解： =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac （2）解：∵a+b+c=14，ab+bc+ac=26， ∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+ac+bc)=196−52=144 （3）解：∵a+b=8，ab=14， ∴ = + (a+b)×b- = + - ab= - ab= ´ - ´14=11 【解析】【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c） 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用 影 S 阴 =正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解. 12．（1）解：根据规律可得：（a+b）5首项a的次数是5次方，b为0次方，后续每项a的次数减少1而b的次数增加1，每项的系数根据规律则依次为为1，1+4=5，4+6=10，6+4=10，4+1=5，1 解析： （1）解：根据规律可得：（a+b）5首项a的次数是5次方，b为0次方，后续每项a的次数减少1而b的次数增加1，每项的系数根据规律则依次为为1，1+4=5，4+6=10，6+4=10，4+1=5，1，根据以上规律，则（a+b）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）解：由题知： 对比（﹣3）4+4×（﹣3）3×2+6×（﹣3）2×22+4×（﹣3）×23+24 可知a=-3，b=2， 则原式＝（﹣3+2）4＝1. 【解析】【分析】（1）根据上面的规律，按a的次数由大到小的顺序判断出各是多少，写出（a+b）5的展开式即可；（2）利用上面的规律，（-3）4+4×（-3）3×2+6×（-3）2×22+4×（-3）×23+24=（-3+2）4 ， 据此求出算式的值是多少即可． ， 5 ＝ 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容