《概率论与数理统计》期末考试精彩试题及问题详解

《概率论与数理统计》期末考试试题（A）

专业、班级： 姓名： 学号： 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩 得 分 一、单项选择题(每题3分 共18分) 1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B 若事件A、B适合P(AB)0,则以下说法正确的是( ).(A)A与B互斥(互不相容);(B)P(A)0或P(B)0;(C)A与B同时出现是不可能事件;（1） （2）设随机变量X其概率分布为 X -1 0 1 2 (D)P(A)0,则P(BA)0. P 0.2 0.3 0.1 0.4 则P{X1.5}（ ）。 (A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D) （3） 1 2设事件A1与A2同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（ ） （A）P(A)P(A1A2) （B）P(A)P(A1)P(A2)1 （C）P(A)P(A1A2) （D）P(A)P(A1)P(A2)1 （4） 设随机变量X~N(3,1),Y~N(2,1),且X与Y相互独立,令ZX2Y7,则Z~((A)N(0,5);(B)N(0,3);).(D)N(0,54). (C)N(0,46); 文案大全

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（5）设X1,X2,,Xn为正态总体N(,2)的一个简单随机样本，其中2, 未知，则（ ）是一个统计量。 (A)X (B)(Xi)2 2i2i1i1nn(C)X (D) X2 2（6）设样本X1,X2,,Xn来自总体X~N(,),未知。统计假设 为 H0：（ 则所用统计量为（ ） 00已知）H1：0。(A)UX0n (B) TX0S1nn (C) 2(n1)S22 (D)22(Xi1i)2 二、填空题(每空3分 共15分) xex1.P(B) 2. f(x)0x0x0, 3e2 3. 1 4. t(9) （1）如果P(A)0,P(B)0,P(AB)P(A)，则P(BA) . （2）设随机变量X的分布函数为 x0,0, F(x)xx0.1(1x)e, 则X的密度函数f(x) ，P(X2) . （3） ˆ,ˆ,ˆ是总体分布中参数的无偏估计量,ˆaˆ2ˆ3ˆ,设123123ˆ也是的无偏估计量.当a________时, （4）设总体X和Y相互独立,且都服从N(0,1)，X1,X2,X9是来自总体X的 样本，Y1,Y2,Y9是来自总体Y的样本，则统计量 U服从 分布（要求给出自由度）。 文案大全

X1X9YY2129 实用标准

三、(6分) 设 A,B相互独立，P(A)0.7，P(AB)0.88，求P(AB). 解： 0.88=P(AB)P(A)P(B)P(AB) =P(A)P(B)P(A)P(B) (因为A,B相互独立)……..2分 =0.7P(B)0.7P(B) …………3分 则 P(B)0.6 ………….4分 P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B) 0.70.70.60.28 …………6分 四、（6 分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯在 运行的概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。 解：用X表示时刻T运行的电梯数， 则X~b(4,0.7) ………...2分 所求概率 PX11PX0 …………4分 0(0.7)0(10.7)4=0.9919 ………….6分 1C4 ex,五、（6分）设随机变量X的概率密度为f(x)0,x0其它 ， 求随机变量Y=2X+1的概率密度。 解：因为y2x1是单调可导的，故可用公式法计算 ………….1分 当X0时，Y1 ………….2分 y11,x' …………4分 由y2x1， 得x22y11y1f(2)2从而Y的密度函数为fY(y) …………..5分 0y1文案大全

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11y2e2=0y1 …………..6分 y1 六、（8分） 已知随机变量X和Y的概率分布为 01 Y 01 X 1 P 141211 P 421 2而且P{XY0}1. (1)求随机变量X和Y的联合分布; (2)判断X与Y是否相互独立? 解：因为PXY01，所以PXY00 (1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出 Y-1 0 1 X 110 0 1 44 1 0 0 2 111 424 1 21 2 ………….4分 111(2)因为 PX0,Y00PX0PY0 224所以 X与Y不相互独立 …………8分 文案大全

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七、（8分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 12e(3x4y), x0,y0, f(x,y)0, 其他.求：（1）P(0X1,0Y2)；（2）求X的边缘密度。 12解：（1）P(0X1,0Y2)dx12e(3x4y)dy …………..2分 00 3e013xdx4e4ydy=e3x02e 104y20 3 =[1e][1e] ………….4分 8 （2） fX(x)12e(3x4y)dy …………..6分 3e3x0 x0 ……………..8分 x0文案大全

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14布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。 八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从参数为的指数分x11e4x0 ………….2分 解： 因为X~e() 得f(x)440x01用Y表示出售一台设备的净盈利 X1100 …………3分 Y1003000X1则 P(Y100)14edxe4 4x1x1114PY200edx1e4 ………..4分 0411414所以 EY100e300e 九、（814(200)(1e) 20033.64（元） ………..6分 分）设随机变量X与Y的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，求E(2XY),D(2XY)。 解：已知EX2,EY2,DX1,DY4,XY0.5 则 E(2XY)2EXEY2(2)26 ……….4分 D(2XY)D(2X)DY2cov(2X,Y) ……….5分 2DXDY4cov(X,Y) ……….6分 2DXDY4DX DYXY=12 …………..8分 文案大全

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十、（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数(x)的值表示）. 解：用Xi表示第i户居民的用电量，则Xi~U[0,20] (200)2100020 ………2分 EXi10 DXi1232则1000户居民的用电量为XXi，由独立同分布中心极限定理 i11000PX101001PX10100 ………3分 X10001010100100010=1P ………4分 1001000100100033101001000101() ……….6分 10010003=1( 十一、（73) ………7分 10分）设x1,x2,,xn是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为 (1)x, 0x1,f(x) 其他,0, 其中0未知，求的最大似然估计。 解: 最大似然函数为 L(x1,,xn,)f(xi)(1)xi ……….2分 i1i1n=(1)(x1,,xn) ……… .3分 nn则 文案大全

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lnL(x1,,xn,)nln(1)ln(x1,,xn) 0x1,,xn1 ………..4分 dlnLnln(x1,,xn)0 ………..5分 d1于是的最大似然估计： 令 ˆ1 十二、（5n。 ……….7分 lnln(x1,,xn)分）某商店每天每百元投资的利润率X~N(,1)服从正态分布，均值为，长期以来方差2 稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值为x5，试求的置信水平为95%的置信区间。（t0.05(100)1.99, (1.96)0.975） 解： 因为已知，且Xn~N(0,1) …………1分 XU1 …………2分 故 P2n依题意 0.05,U1.96,n100,1,x5 2则的置信水平为95%的置信区间为 [xU2n,xU2n] …………4分 即为 [4.801,5.199] …………5分

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