固体物理复习总结

固体物理复习总结(总18页)

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第一章 晶体结构

1、试说明空间点阵和晶体结构的区别。

答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，它是由几何点在三维空间理想的周期性规则排列而成，由于各阵点的周围环境相同，它只能有14种类型。 晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此实际存在的晶体结构是无限的。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。

2、证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子

aa12(jk)a证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：a2(ik)

2aa32(ij)由倒格子基矢的定义：b10,a1(a2a3)a,2a,2a,20,a,22(a2a3) ai,2aa3a，a2a3,242a0,2j,0,a,2kaa2(ijk) 2404a22b123(ijk)(ijk)

a4a2(ijk)a同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢

2b3(ijk)ab2相同。

所以，面心立方的倒格子是体心立方。

aa12(ijk)a（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：a2(ijk)

2aa32(ijk)2

由倒格子基矢的定义：b12(a2a3) aaa,,i,j,k222aaaa3aaaa2a1(a2a3),,，a2a3,,(jk)

22222222aaaaaa,,,,2222222a22b123(jk)(jk)

a2a2(ik)a同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相

2b3(ij)ab2同。

所以，体心立方的倒格子是面心立方。 3、六角密堆结构的固体物理学元胞基矢为

求其倒格基矢。

解：晶胞体积为

其倒格矢为

3

4、一晶体原胞基矢大小a41010m，b61010m，c81010m，基矢间夹角90，90，120。试求： （1） 倒格子基矢的大小； （2） 正、倒格子原胞的体积；

（3） 正格子(210)晶面族的面间距。 解：(1) 由题意可知，该晶体的原胞基矢为：

13j) a3ck a1ai a2b(i22由此可知：

b12a2a3=2a1[a2a3]a3a1=2a1[a2a3]bc(31ij)22=2(i1j)

a33abc2 b22acj3abc2=

22j b33ka1a222k b32=2=

ca1[a2a3]3abc2ab 所以

b1＝

4211.81381010m1 12()2＝

a3a34221.20921010m1 ()2＝

b3b3b2＝b3＝

2212＝0.78541010m1 cc (2) 正格子原胞的体积为：

133j)(ck)]＝abc1.66281028m3 a1[a2a3]＝(ai)[b(i222倒格子原胞的体积为：

21222163(ij)[(j)(k)]＝1.49181030m3 b1[b2b3]＝abc333abc4

(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：

dh222== Kh2b11b20b3444i()ja3a3b2411112()2()a3a3b1.44121010m

=

5、已知半导体GaAs具有闪锌矿结构，Ga和As两原子的最近距离d＝×10-10

m。试求： (1) 晶格常数； (2) 固体物理学原胞基矢和倒格子基矢； (3) 密勒指数为(110)晶面族的面间距； (4) 密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角。

解：(1)由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga原子和一个As原子，其中Ga原子处于面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示： 由此可知：

dGa原子 As原子 4 —4 —d2.451010m=5.591010m 故 a3a 433(2)由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：

a10a(jk)2.79510(jk)12aa(ki)2.7951010(ki) 22a3a(ij)2.7951010(ij)2其倒格子基矢为：

210b(ijk)1.12410(ijk)1a2

(ijk)1.1241010(ijk) b2a

b2(ijk)1.1241010(ijk)3a

(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为：

5

d11022a2.7951010m K1101b11b20b32(4)根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢K110和K111之间的夹角，设为，则有：

arccosK110K111K110K111(1b11b20b3)(1b11b21b3)

1b11b20b31b11b21b3 ＝arccos(0.3015)107.55

6、Si具有金刚石结构，其原子间距为，原子量为28，计算的Si密度。 解：Si为金刚石结构，为两个面心立方沿体对角线移动1/4，因此体对角线的长度为L=×4=；

金刚石结构的晶胞边长为al2/30.5427nm 晶胞的体积为va30.159846nm3

每个晶胞包含8个原子则1摩尔（28克）包含的晶胞数目为N=×1023，对应体积为V=Nv=，密度为m=28/V=克/cm3

第二章 晶格动力学

1、什么是简谐近似为什么简谐近似下晶格振动的简正模式是独立的，声子气体是理想气体

解：1当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。

2简谐近似下，点阵振动的简正模式是独立的，声子气体是理想气休．考虑到非简谐效应，各格波可以有相互作用，声子气体是非理想气体，但在势能的非简谐项比简谙项小得多的情况下，声子气体仍可近似地当作理想气体处理，不过这时要考虑声子与声子的碰撞．这是因为没有声子与声子之间的碰撞，点阵就不可能过渡到热平衡分布，同时也没有点阵热阻．

2 、什么是晶格振动的光学支和声学支？长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别

答：1离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动晶格振动，因此称这种振动为光学波或光学支或光频支。

在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以将这种晶格振动称为声学波或声学支或声频支。原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动。

6

2长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率

较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.

3 、周期性边界条件的物理含义是什么引入这个条件后导致什么结果如果晶体是无限大，q的取值将会怎样

解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第jtN个原子的运动情况一样，其中t＝1，2，3„。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。 如果晶体是无限大，波矢q的取值将趋于连续。

4、一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m解：

7

5、在一维双原子链中，如M/m1，（1）求证：

12sinqa； 2M2m(1cos2qa)2。 mM1（2）画出与q的关系图（设M/m10）。

解：（1）在一维双原子链中，其第2n个原子与第2n1个原子的运动方程为

d2x2nm(x2n1x2n12x2n)dt2 ………………2dx2n1M(x2nx2n22x2n1)2dt（1）

为解方程组（1）可令

8

x2nAei[(2n)qat] …………………（2） i[(2n1)qat]x2n1Be将（2）式代入（1）式可得出

222()A(cosqa)B0mm …………………（3） 22(cosqa)A(2)B0MM从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得

 42()24sin2qa0

MmMm可解出得

2(Mm)(Mm)24Mmsin2qa ……………（4）

当（4）式中取“－”号时，有

21(Mm)mM14Mm221(1sinqa) ……………（5） 2(Mm)∵M/m1，∴（5）式中有

(Mm)MmMMmm，

4Mm4Mm24m22sinqasinqasinqa1 22M(Mm)M那么（5）式可简化为

14m214m22sinqa)21(1sinqa)sin2qa 1(1mM2MMm21 ∴12sinqa M当（4）式中取“＋”号时，有

22(Mm)Mm(Mm)Mm4Mm21cosqa ……………2(Mm)12（6）

∵M/m1，∴（6）式中有 (Mm)M(Mm)M，

MmMmmMmMmm9

4Mm4Mm4m222cosqacosqacosqa1 22M(Mm)M那么（6）式可简化为

4m14m2m2 2(1cos2qa)2(1cos2qa)(1cos2qa)

mmMmm2MmM1 ∴22m(1cos2qa)2 mM1 （2）当M/m10时，则（4）式可化为

111212222sinqa 10m100m25m22此时，与q的关系图，即色散关系图如下图所示： ω11/5m 2/m /5m a2aO 2a a q图 一维双原子链振动的色散关系曲线 6、在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界q处，声学支2a格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。2)q→0,声学支和光学支格波分别有什么特点？

解：设第2n个原子为轻原子，其质量为m，第2n1个原子为重原子，其质量为M，则它们的运动方程为

10

d2x2nm(x2n1x2n12x2n)dt2 ………………2dx2n1M(x2nx2n22x2n1)2dt…（1）

为解方程组（1）可令

x2nAei[(2n)qat] …………………（2） i[(2n1)qat]x2n1Be将（2）式代入（1）式可得出

222()A(cosqa)B0mm …………………（3） 22(cosqa)A(2)B0MM从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得

 42()24sin2qa0

MmMm可解出得

2(Mm)(Mm)24Mmsin2qa ……………（4）

2，光学支格波频率为M令q2a，则可求得声学支格波频率为2 mA2cosqa/m0 B2/m2/M由方程组（3）可知，在声学支中，轻原子m与重原子M的振幅之比为

由此可知，声学支格波中所有轻原子m静止。

而在光学支中，重原子M与轻原子m的振幅之比为

B2cosqa/M0 A2/M2/m由此可知，光学支格波中所有重原子M静止。

2）声学支格波特点：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动 。

11

光学支格波分特点：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动。

第三章 金属自由电子理论

1、请推导出绝对零度下金属自由电子费米能量的表达式EF； 对于一个简单立方点阵的单价金属，已知晶格常数为a=3*10-10nm，请计算费米能量EF、费米波矢kF、费米温度TF及费米面上电子波长λF。

解：1自由电子状态密度 :

金属中的电子浓度为：

因此，

3

-8

3

22

-3

2．电子浓度n, n=1/a=1/(3*10)=*10cm

费米波矢

费米温度

因而，费米面上电子波长为

费米能量EF=

费米波矢kF=*108cm-1 费米温度TF=47000K

费米面上电子波长λF=*10-8cm=6,094 Å

12

2、限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量为

222E(kx,ky)(kxky)。

2m试求：（1）能量E～EdE之间的状态数； （2）此二维系统在绝对零度的费米能量EF； （3）电子的平均能量Ё。

解：（1）K空间中，在半径为k和kdk的两圆面之间所含的状态数为

L2L2dZ2kdkkdk …………………

242………（1）

这也就是能量在E～EdE之间的状态数，由电子的能量表达式可得

kdk2mE2m1mdEdE ………………（2） 222E2将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，

mL2mL2dE2dE 这样可得能量在E～EdE之间的状态数为dZ222（2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为

dZmL2 (E) dE2在绝对零度下，由下式

mL2mL20 N(E)dE2dE2EF

000EF0EF由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为

N2 E 2mL0F（3）电子的平均能量为

1 E0N0EF1E(E)dEN00EFmL2EdE 201mL21N22N210()EF 222N2mL22mL

3、利用电子漂移速度v的方程m(dvv)e .证明在频率下的电导率为 dt13

()(0)[1i2。其中](0)ne/m0。 21()解：设电场为0eit，则有 m(edvvdvv)e0eit 或 0eit dtdtmtdvv齐次方程0的通解为 vce

dt设非齐次方程的特解为vAeit，则有 iAeit1Aeite0ite m从上式可求出特解的待定系数A为A故非齐次方程的通解为 vcete0 m(1i)e0eit m(1i)上式中的第一项随时间的增大迅速衰减，表示电子在电场作用下的驰豫过程，对电流没有贡献，对电流有贡献是第二项，如果在电场的作用下，单位体积内含有n个电荷为e的电子，则其电流密度

ne20eitj()n(e)v()

m(1i)1ine21故 () (0)2m(1i)1()ne2其中 (0)

m4、金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关

解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。

第四五章 能带理论

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1 、布洛赫电子论作了哪些基本近似它与金属自由电子论相比有哪些改进 解：布洛赫电子论作了3条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。

布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。

2、近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点它们有相同之处 按自由电子近似和紧束缚近似，说明晶体中禁带产生的原因是什么？

解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构

按自由电子近似，零级近似波函数是平面波，它在晶体中传播如同X射线。当波矢 k 不满足布拉格条件时，晶格的影响很弱，电子几乎不受阻碍地通过晶体。但当 k = nπ/a (处在布里渊区边界)，波长λ= 2π/k = 2a/n 正好满足布拉格反射条件，受到晶格的全反射，反射波和入射波干涉形成驻波，使电子分布密度发生变化。一部分主要分布在离子实之间，受离子实吸引较弱，势能较高，一部分主要分布在离子实周围，受离子实吸引较强，势能较低。由此出现能隙。 按紧束缚近似，原来孤立原子的每一能级，当原子相互接近组成晶体时，由于原子间的相互作用就构成一个能带，若原子间距离越小，原子波函数间交叠越多，相互作用越大，能带宽度就越宽。

3、试述晶体电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。

解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。

准经典运动的基本公式有：

晶体电子的准动量为 pk；

1kE(k)； dk晶体电子受到的外力为 F

dt晶体电子的速度为 v112E(k)晶体电子的倒有效质量张量为 *2；

mkk在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足：

dkedve(ΕvB) *(ΕvB) dtdtm15

4、试说明有效质量、空穴的物理意义为什么在能带顶部，电子有负的有效质量说明负有效质量的物理含义。

解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。

当满带顶附近有空状态k时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，

完全如同存在一个带正电荷q和具有正质量*m、速度v(k)的粒子的情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。

晶体中电子运动同时受外力和晶体周期性势场力的作用，将周期性势场力的作用归并到晶体中电子的质量中，得到有效质量。所以它可以与电子质量有很大差别。电子通过与原子散射交换动量。当电子从晶格获得的动量大于付出给晶格的动量时，有效质量大于零；电子从晶格获得的动量小于付出给晶格的动量时，有效质量小于零。

电子的有效质量是电子在晶格的周期性势场中运动的表观质量。有效质量倒数张量定义为： 有效质量体现了周期场对电子运动的影响，它的大小仍可视为电子惯性大小的量度，而有效质量的正、负体现了电子在晶格和外场之间的动量传递关系。在能带底部附近，电子有效质量大于零，表示电子将从外场中获得的动量传递给晶格。在能带顶部附近，电子有效质量小于零，表示电子将从晶格中获得的动量传递给外场。

5、试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。

解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。

在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。

在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电。 6、设有一维晶体的电子能带可写成 E(k)71(coskacos2ka)， 其中2ma882a为晶格常数，m是电子的质量。试求（1）能带宽度；（2）电子在波矢k状态的速度；

（3）带顶和带底的电子有效质量。

712(coskacos2ka)=解：（1）E(k)ma288ma22217－coska+(2cos2ka－1)]

88 ＝

4ma2(coska－2)2－1

当ka＝(2n+1)时,n=0,1,

222… Emax(k)

ma216

当ka=2n

时,Emin(k)0 能带宽度＝EmaxEmin1dE(k)1(sinkasin2ka) dkma422 ma2 （2）*21(3) m2Em(coskacos2ka)1

2k2 当k0时,带底，m*2m 当k2时,带顶，m*m a3

7、证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍，对于三维简单立方晶格，其相应的倍数？

＜解＞（a）二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子晶格基矢

A2ˆ2ˆi,Bj aaa 0 aa

第一布里渊区如图所示：

ˆ区边中点的波矢为KA2ˆˆi,角顶B点的波矢为KBij.aaa2x2KyKz2,自由电子能量2K2m22KxA点能量A2m2,

2ma2ma2222

222222B点能量BKxKy2m2,所以B/A2 2maa2mab)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为

2Aaˆ2ˆ2i,Bj,Caaˆk, 17

第一布里渊区如图7—2所示．

A点能量A;2ma22222222B点能量BKxKyKz2m3, 2maaa2ma2222所以B/A3

8、证明：应用紧束缚方法，对于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的相互作用，其s态电子的能带为E(k)Emin4Jsin2(ka/2)。式中：Emin为能带底部的能量；J为交叠积分。并求能带的宽度及能带顶部和底部电子的有效质

量。

解：设s态的原子能级为s，当只计及最近邻格点的相互作用时，则用紧束缚方法可求得该一维单原子链的s态电子能量为

E(k)sJ0J(Rs)ekRs

Rs近邻上式中J0i(ξ)[U(ξ)V(ξ)]dξ0，

J(Rs)i*(ξRs)[U(ξ)V(ξ)]i(ξ)dξ0（其中U(ξ)表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和。V(ξ)为某格点的原子势场） 由于s态波函数是球形对称的，因而在各个方向重叠积分相同。

在一维单原子链中，每个原子周围有2个近邻格点，其格矢分别为ai和ai，由此可知一维单原子链的s态电子能量可化为：

E(k)sJ0J(ekaeka)sJ02Jcoska sJ02J4Jsin2(ka/2)

上式中JJ(ai)J(ai)i*(ξai)[U(ξ)V(ξ)]i(ξ)dξ0

218

由此可知，当k0时，即能带底的能量为EminsJ02J；当

ka，即能带顶的能量为EmaxsJ02J

于是可证得一维单原子链的s态电子能量为 E(k)Emin4Jsin2(ka/2)

并且还可得能带宽度为EEmaxEmin4J

d2E2由此还可求得有效质量m(k)/22

dk2aJcoska*22于是可求得能带顶部的电子有效质量mm()2

a2aJ**2能带底部的电子有效质量mm(0)2。

2aJ**9、用紧束缚方法处理面心立方的s态电子，若只计及最近邻相互作用，试导出其能带为

E(k)E0A4J(coskyakyakxakakakacoscoscoszcoszcosx) 222222并求能带底部电子的有效质量。

解：当只计及最近邻格点的相互作用时，用紧束缚近似方法处理晶体的s态电子，其能带E(k)的表达式可写为E(k)E0AJekRs

Rs近邻上式中E0s，Ai(ξ)[U(ξ)V(ξ)]dξ0，

Ji*(ξRs)[U(ξ)V(ξ)]i(ξ)dξ0（其中U(ξ)表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和；V(ξ)为最近邻格点的原子势场；Rs为最近邻格点的位矢）。

对面心立方晶格，取原点为参考点，则其最近邻的12个格点的位矢坐标值为

aaaaaaaa（，，0），（，，0），（，，0），（，，0） 22222222aaaaaaaa（，0，），（，0，），（，0，），（，0，） 22222222aaaaaaaa（0，，），（0，，），（0，，），（0，，）

22222222将上述的12套坐标值代入上述的E(k)的表达式，可得

219

E(k)E0AJ{[e [e [eai(kxkz)2ai(kykz)2ai(kxky)2eai(kxky)2eai(kxky)2eai(kxky)2]

eeai(kxkz)2ai(kykz)2eai(kxkz)2ai(kykz)2eai(kxkz)2ai(kykz)2] ]}

eeaaa(kxky)cos(kxky)cos(kxkz) 222aaa cos(kxkz)cos(kykz)cos(kykz)]

222 E0A2J[cos E0A4J(coskyakyakxakakakacoscoscoszcoszcosx) 222222由于J0，所以当kxkykz0时，E(k)有最小值

EminE0A12J，即为能带底部。

选取kx，ky，kz轴沿张量主轴方向，则有

*****m*xymyxmxzmzxmyzmzy0，而在能带底部有

m*xx2E/2kx222kyakxakxakza2Ja22Ja(coscoscoscoscos)2222

m*yy2E/2ky222kyakyakxakza2Ja22Ja(coscoscoscoscos)2222

m*zz2E/2kz222kakakaka2Ja2y2xzzJa(coscoscoscoscos)2222

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