山东省枣庄市滕州市2016届中考数学一模试题
一、选择题本题共12小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1．下列运算正确的是（ ） A．（）﹣1=﹣ B．6×107=6000000 C．（2a）=2a D．a•a=a
2．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A．3.4×10﹣9 B．0.34×10﹣9
C．3.4×10﹣10
D．3.4×10﹣11
2
2
3
2
5
3．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
5．下列结论正确的是（ ） A．3ab﹣ab=2
B．单项式﹣x2的系数是﹣1 C．使式子D．若分式
有意义的x的取值范围是x＞﹣1 的值等于0，则a=±1
3
2
1
6．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
7．将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差1的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
8．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变
9．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
2
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
11．在同一直角坐标系中，函数y=﹣与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
12．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论： ①二次三项式ax+bx+c的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0． 其中正确的个数有（ ）
22
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题本题共6小题，满分24分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分. 13．分解因式：a3b﹣4ab= ．
14．一个扇形的半径为3cm，面积为π cm2，则此扇形的圆心角为 度．
15．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= ．
3
16．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 ．
17．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则
y1、y2、y3的大小关系是 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，
）、B（﹣1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点
A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到点A2015为止，则点A2015坐标为 ．
三、解答题：本题共7小题，满分60分，解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 19．先化简，再求代数式：（
﹣
）÷
的值，其中x=2+tan60°，y=4sin30°．
，
20．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10
A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角） （1）求AE的长；
（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？
4
21．为倡导“低碳出行”，环保部门对某城市居民日常出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在扇形的圆心角是162°．
请根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查共收回多少张问卷？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“其他”对应扇形的圆心角是 度； （3）若该城市有32万居民，通过计算估计该城市日常出行“骑自行车、电动车”和“坐公交车”的共有多少人？
22．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
5
23．如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将▱ABCD向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段AA′的长及点E的坐标．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F． （1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径． （3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
25．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以
个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标．
6
7
2016年山东省枣庄市滕州市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题本题共12小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1．下列运算正确的是（ ） A．（）=﹣ B．6×10=6000000 C．（2a）2=2a2 D．a3•a2=a5
【考点】幂的乘方与积的乘方；科学记数法—原数；同底数幂的乘法；负整数指数幂． 【分析】A：根据负整数指数幂的运算方法判断即可．
B：科学记数法a×10表示的数“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数，据此判断即可．
C：根据积的乘方的运算方法判断即可． D：根据同底数幂的乘法法则判断即可． 【解答】解：∵∴选项A不正确； ∵6×107=60000000， ∴选项B不正确； ∵（2a）2=4a2， ∴选项C不正确； ∵a•a=a， ∴选项D正确． 故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a）
n
m
3
2
5
n
﹣1
7
=2，
=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
（a≠0，
（2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=
p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
8
（3）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （4）此题还考查了科学记数法﹣原数，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：科学记数法a×10n表示的数“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
2．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A．3.4×10﹣9 B．0.34×10﹣9
C．3.4×10﹣10
D．3.4×10﹣11
﹣n
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000034=3.4×10故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（ ）
﹣n
﹣10
，
A．60° B．50° C．40° D．30° 【考点】平行线的性质．
【分析】根据三角形外角性质可得∠3=30°+∠1，由于平行线的性质即可得到∠2=∠3=60°，即可解答．
9
【解答】解：如图，
∵∠3=∠1+30°， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠3=60°，
∴∠1=∠3﹣30°=60°﹣30°=30°． 故选D
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是根据：两直线平行，内错角相等．也利用了三角形外角性质．
4．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点】剪纸问题．
【分析】根据题意直接动手操作得出即可．
【解答】解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：
故选A．
【点评】本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便．
5．下列结论正确的是（ ） A．3a3b﹣a2b=2
10
B．单项式﹣x2的系数是﹣1 C．使式子D．若分式
有意义的x的取值范围是x＞﹣1 的值等于0，则a=±1
【考点】二次根式有意义的条件；合并同类项；单项式；分式的值为零的条件．
【分析】根据合并同类项，可判断A；根据单项式的系数是数字因数，可判断B；根据二次根式的被开方数是非负数，可判断C；根据分式的分子为零分母不为零，可判断D． 【解答】解：A、合并同类项系数相加字母部分不变，故A错误； B、单项式﹣x2的系数是﹣1，故B正确； C、式子D、分式故选：B．
【点评】本题考查了二次根是有意义的条件，二次根式有意义的条件是分式的分子为零分母不为零，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
6．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
有意义的x的取值范围是x＞﹣2，故C错误； 的值等于0，则a=1，故D错误；
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6 【考点】位似变换．
【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比． 【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA， ∴OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4． 故选：B．
11
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键．
7．将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差1的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】概率公式．
【分析】由将一质地均匀的正方体骰子掷一次，共有6种等可能的结果，与点数3相差1的有2，4，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵将一质地均匀的正方体骰子掷一次，共有6种等可能的结果，与点数3相差1的有2，4，
∴与点数3相差1的概率是： =． 故选D．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变
【考点】矩形的性质；平行四边形的性质．
【分析】由将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，由平行四边形的判定定理知四边形变成平行四边形，由于四边形的每条边的长度没变，所以周长没变；拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，BD的长度增加了．
【解答】解：∵矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架， ∴AD=BC，AB=DC，
12
∴四边形变成平行四边形， 故A正确； BD的长度增加， 故B正确；
∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变， ∴面积变小了，故C错误； ∵四边形的每条边的长度没变， ∴周长没变， 故D正确， 故选C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键．
9．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24° 【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCE=24°，然后可算出∠ABC的度数． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD， ∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°， ∵∠ACF=48°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
13
∴BF=CF， ∴∠FCB=∠FBC， ∴∠ABC=2∠FCE， ∵∠ACF=48°，
，∴3∠FCE=120°﹣48°=24°， ∴∠ABC=48°， 故选：A．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理． 【专题】分类讨论．
【分析】作OD⊥AB，如图，利用垂线段最短得OD=1，则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAB=30°，根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，则可根据圆周角定理得到
∠AEB=∠AOB=60°，根据圆内接四边形的性质得∠F=120°，所以弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．
【解答】解：作OD⊥AB，如图， ∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2， ∴OD=1， ∴∠OAB=30°， ∴∠AOB=120°， ∴∠AEB=∠AOB=60°，
14
∵∠E+∠F=180°， ∴∠F=120°，
即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°． 故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
11．在同一直角坐标系中，函数y=﹣与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【分析】由于a≠0，那么a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限，利用这些结论即可求解．
【解答】解：∵a≠0， ∴a＞0或a＜0．
当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限， 当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．
A、图中直线经过直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故A选项错误； B、图中直线经过第第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，故B选项正确； C、图中直线经过第二、三、四象限，故C选项错误；
D、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故D选项错误． 故选：B．
15
【点评】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．直线y=kx+b、双曲线y=，当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限．
12．如图是二次函数y=ax+bx+c的图象，下列结论： ①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0． 其中正确的个数有（ ）
2
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．
【分析】①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值； ②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；
③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和； ④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确； ∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误； 使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误， 故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．
2
16
二、填空题本题共6小题，满分24分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分. 13．分解因式：a3b﹣4ab= ab（a+2）（a﹣2） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】计算题．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=ab（a2﹣4）=ab（a+2）（a﹣2）， 故答案为：ab（a+2）（a﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．一个扇形的半径为3cm，面积为π cm2，则此扇形的圆心角为 40 度． 【考点】扇形面积的计算．
【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设扇形的圆心角是n°， 根据题意可知：S=解得n=40°， 故答案为40．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式S=
15．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= 24° ．
是解题的关键，此题难度不大．
=π，
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．
17
【解答】解：正三角形的每个内角是： 180°÷3=60°， 正方形的每个内角是： 360°÷4=90°， 正五边形的每个内角是： （5﹣2）×180°÷5 =3×180°÷5 =540°÷5 =108°，
正六边形的每个内角是： （6﹣2）×180°÷6 =4×180°÷6 =720°÷6 =120°， 则∠3+∠1﹣∠2
=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°） =30°+12°﹣18° =24°．
故答案为：24°．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
16．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 y=﹣ ．
18
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案． 【解答】解：过A点向x轴作垂线，如图：
根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为3，即|k|=3， 又∵函数图象在二、四象限， ∴k=﹣3，即函数解析式为：y=﹣． 故答案为：y=﹣．
【点评】此题考查了反比例函数的几何意义，解答本题关键是掌握在反比例函数中k所代表的几何意义，属于基础题，难度一般．
17．已知点A（4，y1），B（
，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则
y1、y2、y3的大小关系是 y3＞y1＞y2 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】分别计算出自变量为4，【解答】解：把A（4，y1），B（
和﹣2时的函数值，然后比较函数值得大小即可． ，y2），C（﹣2，y3）分别代入y=（x﹣2）2﹣1得：
，y3=（x﹣2）2﹣1=15，
y1=（x﹣2）2﹣1=3，y2=（x﹣2）2﹣1=5﹣4∵5﹣4
＜3＜15，
所以y3＞y1＞y2． 故答案为y3＞y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：明确二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
19
18．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，）、B（﹣1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点
A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到点A2015为止，则点A2015坐标为 （﹣31008，0）， ．
【考点】规律型：点的坐标． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】分别写出A1、A2、A3的坐标找到变化规律后写出答案即可． 【解答】解：∵A（0，∴AB⊥AA1，
∴A1的坐标为：（3，0）， 同理可得：A2的坐标为：（0，﹣3…
∵2015÷4=503…3，
∴点A2015坐标为（﹣31008，0）， 故答案为：（﹣31008，0）．
【点评】本题考查了规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
三、解答题：本题共7小题，满分60分，解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 19．先化简，再求代数式：（
﹣
）÷
的值，其中x=2+tan60°，y=4sin30°．
），A3的坐标为：（﹣9，0），
）、B（﹣1，0），
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=
•
=
，
20
当x=2+，y=4×=2时，原式=．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10
，
A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角） （1）求AE的长；
（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】（1）先求得∠ABE和AEB，利用等腰直角三角形即可求得AE； （2）在RT△ADE中，利用sin∠EAD=【解答】解：（1）∵BG∥CD， ∴∠GBA=∠BAC=30°， 又∵∠GBE=15°， ∴∠ABE=45°， ∵∠EAD=60°， ∴∠BAE=90°， ∴∠AEB=45°， ∴AB=AE=10
，
米．
，
，求得ED的长，即可求得这面旗到达旗杆顶端需要的时间．
故AE的长为10
（2）在RT△ADE中，sin∠EAD=∴DE=10
×
=15，
又∵DF=1，
21
∴FE=14， ∴时间t=
=28（秒）．
故旗子到达旗杆顶端需要28秒．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此类问题的解决关键是建立数学建模，把实际问题转化成数学问题，利用数学知识解决．
21．为倡导“低碳出行”，环保部门对某城市居民日常出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在扇形的圆心角是162°．
请根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查共收回多少张问卷？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“其他”对应扇形的圆心角是 9° 度；
（3）若该城市有32万居民，通过计算估计该城市日常出行“骑自行车、电动车”和“坐公交车”的共有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据坐公交车的人数是80人，占总人数的40%，即可求得总人数；
22
（2）先算出骑自行车、电动车和开私家车所占的比例，然后求其他所占的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）求出“骑自行车、电动车”和“坐公交车”所占的百分比，计算即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生数是：80÷40%=200（人），即本次调查共收回200张问卷； （2）
==12.5%，
162÷360=45%，200×45%=90，
1﹣40%﹣45%﹣12.5%=2.5%，200×2.5%=5，360°×2.5%=9°， （3）32万×（40%+45%）=27.2万．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．
23
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=
AC=
，于是利用BD=BE﹣DE求解．
【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC， ∵AB=AC， ∴AE=AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1， ∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE， ∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°， ∴∠AEB=∠ABE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE=
AC=
， ﹣1．
∴BD=BE﹣DE=
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．
23．如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将▱ABCD向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段AA′的长及点E的坐标．
24
【考点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式． 【专题】计算题．
【分析】（1）由A与B的坐标求出AB的长，根据四边形ABCD为平行四边形，求出DC的长，进而确定出C坐标，设反比例解析式为y=，把C坐标代入求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）根据平移的性质得到B与B′横坐标相同，代入反比例解析式求出B′纵坐标得到平移的距离，即为AA′的长，求出D′纵坐标，即为E纵坐标，代入反比例解析式求出E横坐标，即可确定出E坐标．
【解答】解：（1）∵▱ABCD中，A（2，0），B（6，0），D（0，3）， ∴AB=CD=4，DC∥AB， ∴C（4，3），
设反比例解析式为y=，把C坐标代入得：k=12， 则反比例解析式为y=（2）∵B（6，0），
∴把x=6代入反比例解析式得：y=2，即B′（6，2）， ∴平行四边形ABCD向上平移2个单位，即AA′=2， ∴D′（0，5），
把y=5代入反比例解析式得：x=
，即E（
，5）．
；
【点评】此题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25
24．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F． （1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径． （3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
【考点】圆的综合题． 【专题】证明题．
【分析】（1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到=解得R=3，从而求得⊙O的半径为3；
（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2． 【解答】（1）证明：连接OM． ∵AC=AB，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4， ∵OB=OM， ∴∠OBM=∠OMB， ∵BM平分∠ABC， ∴∠OBM=∠CBM， ∴∠OMB=∠CBM， ∴OM∥BC
26
，即可
又∵AE⊥BC， ∴AE⊥OM， ∴AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R， ∵OM∥BE， ∴△OMA∽△BEA， ∴
=
即=
，
解得R=3， ∴⊙O的半径为3；
（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH， ∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°， ∴四边形OMEH是矩形， ∴HE=OM=3， ∴BH=1， ∴BG=2BH=2．
【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．
25．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以
个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
27
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求得直线AB与x轴、y轴的交点坐标，然后将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组求得b、c的值从而可得到抛物线的解析式；
（2）由点A、B的坐标可知OB=OA，从而可求得∠BAO=45°，然后分为∠PQA=90°和∠QPA=90°两种情况求解即可；
（3）由题意可知：EP∥FQ，EF∥PQ，故此四边形EFQP为平行四边形，从而得到PE=FQ，然后设点P的坐标为（t，0）则可表示出点Q、E、F的坐标，从而可求得PE、FQ的长，最后根据PE=FQ列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）． ∵将A（3，0），B（0，3）代入得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． （2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°， ∴∠QAP=45°．
如图①所示：∠PQA=90°时．
，解得
，
28
设运动时间为t秒，则QA=在Rt△PQA中，解得：t=1．
，即
t，PA=3﹣t．
．
如图②所示：∠QPA=90°时．
设运动时间为t秒，则QA=在Rt△PQA中，解得：t=．
=
，即
t，PA=3﹣t．
．
综上所述，当t=1或t=时，△PQA是直角三角形． （3）如图③所示：
设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t．点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），即F（3﹣t，4t﹣t2），则FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2．
29
∵EP∥FQ，EF∥PQ，
∴四边形EFQP为平行四边形． ∴EP=FQ，即3﹣t=3t﹣t2． 解得：t1=1，t2=3（舍去）．
将t=1代入得点F的坐标为（2，3）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的关系、待定系数法二次函数的解析式、等腰三角形三角形的性质和判定、平行四边形的判定，用含t的式子表示EP和FQ的长是解题的关键．
30
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