一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．若集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，集合C=A∩B，则C的真子集个数为（ ） A．3
B．4
C．7
D．8
2．若复数（i为虚数单位，a为实数）为纯虚数，则不等式|x+a|+|x|＞3的
解集为（ ） A．{x|x＞1}
B．{x|x＜﹣2} C．{x|x＜﹣1或x＞2} D．{x|x＜﹣2或x＞1}
3．“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．用0，1，2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第三组抽取的学生编号为（ ） A．20 B．28 C．40 D．48
5．β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，若α，则下列结论错误的是（ ）
A．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等 B．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β C．如果α∥β，m⊂α，那么m∥β D．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
6．一个几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是一个正三角形及其内切圆，
则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．若变量x，y满足则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数的图象f'（x）如图所示，则
的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
9．执行如图所示的程序框图，输出的n值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
，若不等式f（x﹣1）≥f（x）对一切x∈R恒成立，
10．已知
则实a数的最大值为（ ） A．
二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分． 11．若
，则
展开式中的常数项为 ．
的
B．﹣1 C．
D．1
12．已知x，y均为正实数，若=（x，y﹣1），=（2，1），且⊥，则
最小值是 ． 13．过双曲线
的右支上一点P分别向圆C1：（x+3）2+y2=4和圆C2：（x
﹣3）2+y2=1作切线，切点分别为A，B，则|PA|2﹣|PB|2的最小值为 ． 14．从曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的封闭图形内任取一点，则该点在单位圆中的概率为 ．
15．已知f（x）是定义在R上的函数，f'（x）是f（x）的导函数．给出如下四个结论： ①若
，且f（0）=e，则函数xf（x）有极小值0；
②若xf'（x）+2f（x）＞0，则4f（2n+1）＜f（2n），n∈N*； ③若f'（x）﹣f（x）＞0，则f（2017）＞ef（2016）；
④若f'（x）+f（x）＞0，且f（0）=1，则不等式f（x）＜e﹣x的解集为（0，+∞）．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．
16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（1）将函数
函数g（x）=﹣cos2x的图象，求φ的值；
（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积的最大值．
17．（12分）如图所示的三棱柱中，侧面ABB1A1为边长等于2的菱形，且∠AA1B1=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面ABB1A1． （1）求证：A1B1⊥AC1；
（2）求侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值．
．
的图象向右平移角A个单位可得到
18．（12分）己知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足
；数列{bn}满足
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
．
（2）设数列{an•bn}的前n项和为Tn，当Tn＞2017时，求正整数n的最小值． 19．（12分）2017年由央视举办的一档文化益智节目《中国诗词大会》深受观70]的观众，众喜爱，某记者调查了部分年龄在[10，得到如下频率分布直方图．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人． （1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；
（2）现根据观看年龄，从第四组和第六组的所有观众中任意选2人，记他们的年龄分别为x，y，若|x﹣y|≥10，则称此2人为“最佳诗词搭档”，试求选出的2人为“最佳诗词搭档”的概P；
（3）以此样本的频率当作概率，现随机从这组样本中选出3名观众，求年龄不低于40岁的人数ξ的分布列及期望．
20．（13分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．
（1）若曲线f（x）=xlnx在x=1处的切线与函数g（x）=﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值； （2）求函数f（x）在
上的最小值；
成立．
的左焦点F为抛物线y2=
（3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有21．（14分）如图，已知椭圆
﹣4x的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3． （1）求椭圆C的标准方程：
（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且满足
，问直线MN
的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
2017年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．若集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，集合C=A∩B，则C的真子集个数为（ ） A．3
B．4
C．7
D．8
【考点】子集与真子集．
【分析】先求出集合B，从而求出集合C=A∩B，由此能求出C的真子集个数． 【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3}， B={y|y=2x﹣1，x∈A}={﹣3，﹣1，1，3，5}， ∴集合C=A∩B={﹣1，1，3}， ∴C的真子集个数为23﹣1=7． 故选：C．
【点评】本题考查交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．若复数
（i为虚数单位，a为实数）为纯虚数，则不等式|x+a|+|x|＞3的
解集为（ ） A．{x|x＞1}
B．{x|x＜﹣2} C．{x|x＜﹣1或x＞2} D．{x|x＜﹣2或x＞1}
【考点】复数代数形式的乘除运算；绝对值不等式的解法．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值，再由绝对值的几何意义求得不等式|x+a|+|x|＞3的解集． 【解答】解：∵∴
=
为纯虚数，
，解得a=1．
∴|x+a|+|x|＞3⇔|x+1|+|x|＞3，
由绝对值的几何意义可得：x＜﹣2或x＞1．
∴不等式|x+a|+|x|＞3的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}． 故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了绝对值不等式的解法，是基础的计算题．
3．“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用函数的奇偶性的判定方法、简易逻辑的判定方法即可得出． 【解答】解：函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=log2（1﹣mx）﹣log2（1+mx）+log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）=0，m，x满足：
．
可得“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数”，反之不成立，例如取m=﹣1．
因此“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数”的充分不必要条件． 故选：A．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．用0，1，2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第三组抽取的学生编号为（ ） A．20 B．28 C．40 D．48 【考点】系统抽样方法．
【分析】根据已知计算出组距，可得答案．
【解答】解：因为是从300名高三学生中抽取15个样本， ∴组距是20，
∵第一组抽取的学生的编号为8， ∴第三组抽取的学生编号为8+40=48． 故选：D．
【点评】本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握系统抽样的概念
5．β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，若α，则下列结论错误的是（ ）
A．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等 B．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β C．如果α∥β，m⊂α，那么m∥β D．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n 【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：A、如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等，故正确；
B、如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；
C、如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确；
D、如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确， 故选B．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．
6．一个几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是一个正三角形及其内切圆，
则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图得出几何体是一个三棱柱，中间挖去一个内切圆柱，结合图中数据求出体积．
【解答】解：由几何体的三视图可得：
该几何体是一个三棱柱，中间挖去一个内切圆柱； 且正三棱柱的底面边长为4，高也为4； 所以组合体的体积为 V=V三棱柱﹣V圆柱=故选：A．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积问题，是基础题目．
×42×4﹣π•
×4=16
﹣
．
7．若变量x，y满足则的最小值为（ ）
A． B． C． D． 【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，再由动点与定点P（
=
的几何意义，即可行域内的
）连线斜率倒数的2倍求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
B（0，2），A（1，0），
=2倍， ∵kPA=∴
=，kPB=的最小值为2×
． ．
的几何意义为可行域内的动点与定点P（
）连线斜率倒数的
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．
8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数的图象f'（x）如图所示，则
的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】求出函数的导函数，利用导函数的周期，求出ω，利用振幅求出A，利用导函数经过（
，﹣2），求出φ，得到函数的解析式，即可得解．
【解答】解：函数的导函数f′（x）=ωAcos（ωx+φ），由图象可知f′（x）的周期为4π．
所以ω=． 又因为Aω=2． 所以A=4． 函数经过（
，﹣2），
+φ），0＜φ＜π，
．
所以﹣2=2cos（×所以×
+φ=π，即φ=
所以f（x）=4sin（x+所以f（故选：D．
）=4sin（×
）． +
）=4．
【点评】本题主要考查函数的导数与函数的图象的关系，考查计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．
9．执行如图所示的程序框图，输出的n值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【考点】程序框图．
【分析】算法的功能是求S=+得满足条件S＞
+…+
的值，利用等比数列的前n项和公式求
的最小的n值．
+…+
的值，
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=+
∵S=++…+=＞⇒n＞7，
∴跳出循环体的n值为8，∴输出n=8． 故选C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断是否的功能是关键． 10．已知
，若不等式f（x﹣1）≥f（x）对一切x∈R恒成立，
则实a数的最大值为（ ） A．
B．﹣1 C．
D．1
【考点】函数恒成立问题．
【分析】作出函数f（x）的图象，利用函数f（x﹣1）的图象高于f（x）的图象，进行求解即可．
【解答】解：作出函数f（x）和f（x﹣1）的图象，
当a≥0时，f（x﹣1）≥f（x）对一切x∈R不恒成立（如图1） 当a＜0时，f（x﹣1）过定点（1，0）（如图2）， 当x＞0时，f（x）=ax2+x的两个零点为x=0和x=﹣， 要使不等式f（x﹣1）≥f（x）对一切x∈R恒成立， 则只需要﹣≤1，得a≤﹣1， 即a的最大值为﹣1， 故选：B
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数图象平移关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．
二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分． 11．若
，则
展开式中的常数项为 ﹣160 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项的值．
【解答】解：若则2lnx∴Tr+1=
，
=2（lne﹣ln1）=2，即a=2， 展开式的通项公式为： •x6﹣r•
=（﹣2）r•
•x6﹣2r，
令6﹣2r=0，解得r=3； ∴展开式的常数项为： T4=（﹣2）3•
=﹣160．
故答案为：﹣160．
【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与定积分的计算问题，是基础题目．
12．已知x，y均为正实数，若=（x，y﹣1），=（2，1），且⊥，则最小值是 8 ． 【考点】基本不等式．
【分析】⊥，考点•=0，即2x+y=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵⊥，∴ •=2x+y﹣1=0，即2x+y=1． 又x，y均为正实数， 则
=（2x+y）
=4+
≥4+2
=8，当且仅当y=2x=时取等号．
的
故答案为：8．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．过双曲线
的右支上一点P分别向圆C1：（x+3）2+y2=4和圆C2：（x
﹣3）2+y2=1作切线，切点分别为A，B，则|PA|2﹣|PB|2的最小值为 9 ． 【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣
=1的左右焦点为F10）（﹣3，，
F2（3，0），连接PF1，PF2，F1A，F2B，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【解答】9解：圆C1：（x+3）2+y2=4的圆心为（﹣3，0），半径为r1=2； 圆C2：（x﹣3）2+y2=1的圆心为（3，0），半径为r2=1， 设双曲线x2﹣
=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1A，F2B，可得
|PA|2﹣|PB|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22） =（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3
=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•6﹣3=9． 当且仅当P为右顶点时，取得等号， 即最小值9． 故答案为：9
【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．
14．从曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的封闭图形内任取一点，则该点在单位圆中的概率为
．
【考点】几何概型．
【分析】分别按x＞0，y＞0和x＞0，y≤0和x≤0，y＞0和x≤0，y≤0讨论，
这样绝对值就可以去掉了，每种情况得到的曲线都是圆的部分，即可得出结论．
【解答】解：分别按x＞0，y＞0和x＞0，y≤0和x≤0，y＞0和x≤0，y≤0讨论，
这样绝对值就可以去掉了，每种情况得到的曲线都是圆的部分， 当x＞0，y＞0，原方程可化为：（x﹣）2+（y﹣）2=， 它表示圆心在（，），半径为
的圆在第一象限的部分．
当x＞0，y≤0，原方程可化为：（x﹣）2+（y+）2=， 它表示圆心在（，﹣），半径为
的圆在第四象限的部分．
当x≤0，y＞0，原方程可化为：（x+）2+（y﹣）2=， 它表示圆心在（﹣，），半径为
的圆在第二象限的部分．
当x≤0，y≤0，原方程可化为：（x+）2+（y+）2=， 它表示圆心在（﹣，），半径为
的圆在第三象限的部分．
综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域．
这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径．
所以总面积S=（
）2+（
）2π•2=2+π，
，
故该点在单位圆中的概率p=故答案为：
．
【点评】本题考查圆的一般方程，考查面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．已知f（x）是定义在R上的函数，f'（x）是f（x）的导函数．给出如下四个结论： ①若
，且f（0）=e，则函数xf（x）有极小值0；
②若xf'（x）+2f（x）＞0，则4f（2n+1）＜f（2n），n∈N*； ③若f'（x）﹣f（x）＞0，则f（2017）＞ef（2016）；
④若f'（x）+f（x）＞0，且f（0）=1，则不等式f（x）＜e﹣x的解集为（0，+∞）．
所有正确结论的序号是 ①③ ．
【考点】命题的真假判断与应用；导数的运算．
【分析】由各个选项中的条件分别构造函数g（x），由求导公式和法则求出g′（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）的单调性，由条件和函数的单调性进行判断即可．
【解答】解：①、设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）， ∵
，∴
，
则函数g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）上递增， ∴函数g（x）的极小值是g（0）=0，①正确； ②、设g（x）=x2f（x），
则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x[xf'（x）+2f（x）]， ∵xf'（x）+2f（x）＞0，
∴则函数g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）上递增，
∵2n+1＞2n＞0，∴g（2n+1）＞g（2n），即4f（2n+1）＞f（2n），②不正确； ③、设g（x）=
，则g′（x）=
=
，
∵f'（x）﹣f（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）在R上是增函数， ∴g（2017）＞g（2016），则即f（2017）＞ef（2016），③正确；
，
④、g（x）=exf（x），
则g′（x）=exf（x）+exf′（x）=ex[f（x）+f′（x）]， ∵对任意x∈R满足f（x）+f′（x）＞0，ex＞0，
∴对任意x∈R满足g′（x）＞0，则函数g（x）在R上是增函数， ∵f（0）=1，且f（x）＜e﹣x的化为g（x）＜1=g（0），即x＜1， 则不等式的解集是（﹣∞，1），④不正确； 故答案为：①③．
【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，以及构造法的应用，考查化简、变形能力．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．
16．（12分）（2017•烟台一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（1）将函数
函数g（x）=﹣cos2x的图象，求φ的值；
（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积的最大值． 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦定理． 【分析】（1）根据
利用正弦定理求解出角A大小，根据三角函数图
．
的图象向右平移角A个单位可得到
象的平移变换即可求解φ的值．
（2）根据△ABC的外接圆半径为1，利用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式可得△ABC面积的最大值． 【解答】解：由
和正弦定理可得：
，
整理得：sinAcosB=2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinC=2sinCcosA， ∵sinC≠0，
∴cosA=，0＜A＜π， ∴将函数
．
的图象向右平移角A个单位，可得：sin[2
（x﹣）+φ]．
）+φ]=﹣cos2x，即sin（2x﹣
+φ）=sin（2x﹣
），
由题意可得：sin[2（x﹣∴φ∴φ=∵0＜φ∴φ=
． =
+2kπ（k∈Z），
+2kπ（k∈Z），
，
（2）根据△ABC的外接圆半径为1，A=∴2RsinA=a，即a=
．
，
由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：3=b2+c2﹣bc， 即3+bc≥2bc，可得bc≤3，当且仅当b=c是取等号． ∴△ABC面积的最大值
．
【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换，正弦定理和余弦定理，基本不等式等知识点的灵活运用和计算能力．
17．（12分）（2017•烟台一模）如图所示的三棱柱中，侧面ABB1A1为边长等于2的菱形，且∠AA1B1=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面ABB1A1． （1）求证：A1B1⊥AC1；
（2）求侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）取A1B1的中点O，连结OA，OC1，只证A1B1面AOC1即可得到A1B1⊥AC1．
（2）先证明AO⊥AC1．再以O为坐标原点，OA1，OA，OC1方向为x、y、z轴建立坐标系O﹣xyz． 求出平面A1ACC1、平面BCAC1B1的法向量即可
【解答】解：（1）证明：取A1B1的中点O，连结OA，OC1， 因为，△ABC为等边三角形，∴C1O⊥A1B1，
在△A1AO中，A1A=2，A1O=1，∠AA1B1=60°，可得OA⊥OA1， ∴A1B1⊥C1O，A1B1⊥OA，OA∩OC1=O，∴而AC1⊂面AOC1，A1B1⊥AC1．
（2）∵面A1B1C1⊥面ABB1A1，面A1B1C1∩面ABB1A1=B1A1，且C1O⊥A1B1，∴C1O⊥面ABB1A1，
OA⊂面ABB1A1∴AO⊥AC1．
由（1）知OA⊥OA1，OA1⊥OC1，故可以O为坐标原点，OA1，OA，OC1方向为x、y、z轴建立坐标系O﹣xyz． A1（1，0，0），A（0，
，
，
设
为平面A1ACC1的法向量，则
．
设∴
为平面BCAC1B1的法向量，则
，
，可得
．
面AOC1
，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，0），C（﹣1，
，可得 ．
侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值为．
【点评】本题考查了线线垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．
18．（12分）（2017•烟台一模）己知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，
满足
；数列{bn}满足
．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列{an•bn}的前n项和为Tn，当Tn＞2017时，求正整数n的最小值． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由
（n≥2），可得
（n≥3），两
式相减得an﹣an﹣1=1（n≥3）．再由a2﹣a1=1，可得数列{an}为等差数列，则数列{an}的通项公式可求，再由≥2）．两式相比可得：（2）由（1）可知，
，得
（n≥2），验证首项后得
；
（n
，然后利用错位相减法求得Tn，结合单调性及
T8=3586＞2017，T7=1538＜2017．可得正整数n的最小值． 【解答】解：（1）∵两式相减得：又∵
，a1=1，∴
（n≥2），∴
，则an﹣an﹣1=1（n≥3）．
，
（n≥3），
∵a2＞0，∴a2=2． 显然a2﹣a1=1．
∴an﹣an﹣1=1（n≥2）． 数列{an}为等差数列，又a1=1， ∴an=n． ∵
两式相比可得：
，∴（n≥2），
（n≥2）．
当n=1时，b1=2满足题意， ∴
；
，
（2）由（1）可知，
∴，
，
两式相减可得：故∵
．
＞0，
=﹣2+2n+1﹣n•2n+1．
∴Tn随n的最大而最大，
而T8=3586＞2017，T7=1538＜2017． ∴正整数n的最小值为8．
【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列通项公式的求法，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．
19．（12分）（2017•烟台一模）2017年由央视举办的一档文化益智节目《中国诗词大会》深受观众喜爱，某记者调查了部分年龄在[10，70]的观众，得到如下
频率分布直方图．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．
（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；
（2）现根据观看年龄，从第四组和第六组的所有观众中任意选2人，记他们的年龄分别为x，y，若|x﹣y|≥10，则称此2人为“最佳诗词搭档”，试求选出的2人为“最佳诗词搭档”的概P；
（3）以此样本的频率当作概率，现随机从这组样本中选出3名观众，求年龄不低于40岁的人数ξ的分布列及期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）设第四、五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10，x+y=1﹣（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，联立解得：x，y．从而得出直方图． （2）由题意第四组人数为4×（3）由题意可得：样本总人数=
=12．可得P=
．
=80，年龄不低于40岁的人数为：80×
（0.05+0.10+0.15）=24．故在样本中任选1人，其年龄不低于40岁的概率为=
．X的可能取值为0，1，2，3．P（ξ=k）=
，即可得出．
【解答】解：（1）设第四、五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10，x+y=1﹣（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，
x=0.15，y=0.10．联立解得：从而得出直方图， =15×0.2+25×0.15+35×0.35+45×0.15+55×0.1+65×0.05=34.5． （2）由题意第四组人数为4×（3）由题意可得：样本总人数=
=12．∴P=
=．
=80，年龄不低于40岁的人数为：80×
（0.05+0.10+0.15）=24．故在样本中任选1人，其年龄不低于40岁的概率为=
．X的可能取值为0，1，2，3．
，可得P（ξ=0）=．
，P（ξ=1）=
，P（ξ=2）
P（ξ=k）==
，P（ξ=3）=
可得ξ的分布列：
ξ P ξ～B
，则Eξ=3×
0 1 2 3 =．
【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的性质及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（13分）（2017•烟台一模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．
（1）若曲线f（x）=xlnx在x=1处的切线与函数g（x）=﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值； （2）求函数f（x）在
上的最小值；
成立．
（3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论t的范围求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值即可； （3）设m（x）=
﹣，（x∈（0，+∞）），求出m（x）的导数，求出m（x）
的最大值，得到f（x）min≥﹣≥m（x）max恒成立，从而证明结论即可． 【解答】解：（1）f′（x）=lnx+x•=lnx+1， x=1时，f′（1）=1，f（1）=0，
故f（x）在x=1处的切线方程是：y=x﹣1， 联立
，
消去y得：x2+（1﹣a）x+1=0， 由题意得：△=（1﹣a）2﹣4=0， 解得：a=3或﹣1；
（2）由（1）得：f′（x）=lnx+1，
x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减， x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增， ①0＜t＜t+≤，即0＜t≤﹣时， f（x）min=f（t+）=（t+）ln（t+）， ②0＜t＜＜t+，即﹣＜t＜时， f（x）min=f（）=﹣；
③≤t＜t+，即t≥时，f（x）在[t，t+]递增， f（x）min=f（t）=tlnt；
综上，f（x）min=；
（3）证明：设m（x）=﹣，（x∈（0，+∞）），则m′（x）=，
x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）递增， x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）递减， 可得m（x）max=m（1）=﹣，当且仅当x=1时取到， 由（2）得f（x）=xlnx，（x∈（0，+∞））的最小值是﹣， 当且仅当x=时取到，
因此x∈（0，+∞）时，f（x）min≥﹣≥m（x）max恒成立， 又两次最值不能同时取到， 故对任意x∈（0，+∞），都有
成立．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．
21．（14分）（2017•烟台一模）如图，已知椭圆
的左
焦点F为抛物线y2=﹣4x的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且满足
，问直线MN
的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意可知c=1，令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=
，可得a2=4，b2=3
（2）由（1）知A（﹣1，），设
，
．由，
得，直线AM、AN的倾斜角互补，直线AM、AN的斜率互为相反
数，可设直线AM：：y=k（x+1）+，代入得
，利用韦达定理求出M、N的坐标，直线
MN的斜率kMN=
．
【解答】解：（1）由题意可知F（﹣1，0），所以c=1， 令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=∴椭圆C的标准方程：
（2）由（1）知A（﹣1，）， 设由
，得，|
|cosα=|
．
|cosβ，即∠FAM=∠FAN，又因为FA⊥x轴，
，∴．
，∴a2=4，b2=3
∴直线AM、AN的倾斜角互补，直线AM、AN的斜率互为相反数． 可设直线
AM：：y=k（x+1）+
，
，代入
得
设M（xM，yM），N（xN，yN），因为A（﹣1，）在椭圆上，
，
，
．
∵直线AM、AN的斜率互为相反数，∴用﹣k换k得：
．
∴直线MN的斜率kMN=
∴直线MN的斜率是否为定值﹣
．
【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系，定点问题，属于难题．
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