新课标下利用空间向量求二面角大小的几种方法

数学教学研究　２００７年第６期　新课标下利用空间向量求二面角大小的几种方法　吉瑞刚　（江苏省溧阳中学７２２１６０）　二面角是空问几何中重要的知识之一，也是三　肋：为单位正交基底，建立　种空间角中比较难求的一个，而在新课程的课本中　如图１所示的空间直角坐　除了必修二课本中学到了传统几何的做法以外，在　标系Ｄ—ｘｙｚ。取ＢＤ的中点　选修２－１中课本还提供了用空问向量求二面角大小　Ｅ，连结ＡｌＥ，ＣｌＥ　的方法，但由于空间向量所成角的范围和二面角的　因为ＡＢＤＡ１和ＡＢＤＣｌ　范围都是［０，盯］，这给二面角大小是平面的法向量　都是正三角形，所以Ａ。Ｅ上　所成角还是法向量所成角的补角的判断产生了困　ＢＤ，ＣｌＥ上ＢＤ，故ＬＡｌＥＣｌ　图１　难，下面作者就自己在教学过程中，和学生共同探讨　是二面角Ａ，－ＢＤ－Ｃ　的平面角，也就是　与蔚的夹　中产生的几种用空间向量解二面角的方法进行评　角．　说，希望对大家的教学有一些帮助．　１利用空间向量数量积求二面角平面角的大小　又Ｅ（÷，　１，ｏ），Ａ　（１，ｏ，１），ｃ　（ｏ，１，１），可得　在传统的立体几何中，在作出并且证明了二面　＝角的平面角后。求二面角的大小时，往往采用直角三　（÷，一÷，・），　＝（一　１，　１，・），　角形中边角关系或余弦定理求该平面角的一个三角　ＩＥＡ￣Ｉ：√÷＋÷＋・＝　２，　函数值，现在有了空间向量的知识，就可以利用空间　向量的数量积求该平面角余弦值的大小，从而求得　Ｉｌ＝　＋÷＋１＝　Ｔ，　二面角的大小，　例题在正方体ＡＢＣＤ－Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，中，求二面角　・　：一÷一÷＋・＝　Ａｌ—ＢＤ—Ｃｌ的大小，　分析该题的背景几何体是正方体，建立空间　（　，赢）＝　寺　直角坐标系比较容易，且根据对称性二面角的平面　得ＬＡｌＥＣｌ一７Ｏ，５３。，　角可以简单的作出来，从而将二面角的大小求出来，　因此，二面角Ａ，一ＢＤ—Ｃ　的大小约为７０，５３。，　解法１不妨设正方体的棱长为１，以　，　，　利用＝角形中的余弦串瑚求二面角平面角的大　ＰＣＰ　＝１８０。一５３。一６４。＝６３。．　例６已知：如图８，在四边形ＡＢＣＤ中，ＬＡＢＣ　即各角度数分别为５３。，６４。，６３。．　＝３０。，ＬＡＤＣ＝６０。，ＡＤ＝ＣＤ．　Ａ　求证：肋　＝ＡＢ２＋曰ｃ２，　证明　把ＡＤＣＢ绕点Ｃ逆时针旋转６Ｏ。到　ＡＡＣＥ处，连结ＢＥ，则ＡＤＣＢ　ＡＡＣＥ，且ＡＢＣＥ为　等边三角形．所以　、　●　，　ＤＢ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＥＣ＝ＢＥ。　Ｅ８Ｃ＝６０。。　、，　●、　，、，　、Ｉ，　、　，ＬＡＢＥ＝ＬＡＢＣ＋　ＣＢＥ＝３０。＋６０。＝９０。．　、　，　Ｅ　所以ＡＥ　：　＋　，即ＢＤ　＝　＋曰ｃ２．　图７　图８　（收稿日期：２００７—０３—２７）　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００７年第６期　数学教学研究　２７　小必须将三角形中每一条边的长度都求出来，而用　空间向量求角的大小只要求两边的大小，从而减少　了运算量，也大大减少了解题的时间．　２利用向量求点的射影　因此，二面角Ａ　一ＢＤ—Ｃ　的大小约为７Ｏ．５３。．　这种方法利用了向量解得点在线和面上的射　影，减小了学生在解题的过程中找二面角平面角的　难度．　用传统的立体几何方法求二面角的大小时，主　要是找到二面角的平面角．在找二面角平面角中，比　较常见的就是利用线面垂直即三垂线．所以可以通　３应用类比判断角的大小　可以用两个半平面的法向量和二面角之间的关　系来求二面角的大小，而在求解过程中二面角和向　过向量的方法在空间直角坐标系中求一个半平面内　量所成角有互补和相等两种情况，但到底是哪一种　的一点在另一个平面和棱上的射影，从而问题就迎　刃而解了，解题过程如下：　解法２　同解法１建　立空间直角坐标系Ｄ—ｘｙｚ，Ａ　（１，０，０），曰（１，１，０），Ｃ（０，　１，０），Ｄ（０，０，０），Ａ　（１，０，　１），曰ｌ（１，１，１），ＣＩ（０，１，　１），Ｄｌ（０，０，１），则ＤＣ：＝　（０，１，１），加＝（１，１，０），　图２　，－（１，０，１），如图２，设点Ａ　在面ＢＤＣ　中的射影　为点Ａ　，点Ａ　在直线ＢＤ上的射影为点　，则点Ａ　在平面ＤＢＣ　上，　，　，　共面．　设　＝Ａ　＋　（Ａ，　ｅＲ），则　—————　————　————　ＡｌＡ２＝ＤＡ２一　ｌ　＝Ａ（１，１，０）　（Ｏ，１，１）一（１，０，１）　＝（Ａ一１，Ａ　一１）．　Ｙ．ＡｔＡ２上ＤＢ，————　——　——ＡｌＡ２上ＤＣｌ，——　———　　即２）ｔ＋／ａ．－１＝０，　，．解得Ａ＝１／３，　＝１／３．　所．以Ａ－．　Ａ－－－＋　＝（一了２，了２，一了２），ｌ　ｌ＝竽．　而点Ａ，在直线加上，可设　；＝　＝（　，　，　Ｏ）（　∈Ｒ），贝Ｕ　—————　————　————　ＡｌＡ；＝ＤＡ３一ＤＡｌ＝（　一１，　，一１）．　又　上　，　．　＝ｏ，　即　一１＋　＝０，得　＝１／２．　所以　＝（一　１，　１，一１），ＩＡ—ｔＡ３　Ｉ＝　２．　因为ＡｌＡ２上面ＤＢＣｌ，ＡｌＡ３上ＤＢ，所以厶４ｌＡ３Ａ２　是二面角的平面角，在Ｒｔ△Ａ，Ａ２Ａ３中，ｓｉｎ厶４，Ａ，Ａ　＝瓮：　，得　硼．５３。．　情况主要是通过图形来判断：若两个全向内或全向　外，则向量所成角和二面角互补；若一个向量方向向　内，一个向量方向向外，则向量所成角和二面角的大　小相等．但对于图形比较复杂时，判断方向的困难就　是很大的，此时可以通过类比的方法来解决这个问　题．　解法３同解法１建立空间直角坐标系Ｄ—ｘｙｚ，则　础＝（１，１，０），Ｄｃｌ＝（０，１，１）．设平面Ｃ　ＢＤ的法向量　为ｎ１＝（　，，，，　），则ｎｌ・加＝０，ｎｌ・ＤＣＩ＝Ｏ．即　＋，，　＝０，，，＋　＝０．令　＝１，贝０，，＝一１，　＝１．　即ｎ，＝（１，一１，１）是平面Ｃ１ＢＤ的一个法向量．　同理，ｎ　＝（一１，１，１）是平面Ａ　ＢＤ的一个法向　量．　１，ｌｌ　ｌ＝４３，ｌ，ｌ２　ｌ＝．／３，，ｌｌ・，ｌ２＝一１—１＋１＝一１．　ｃｏｓ　ｎ，，ｎ２）＝　＝一÷．　由此可知，向量，ｌ　和，ｌ　的夹角约为１０９．４７。．　设平面ＢＤＣ　上的任意一点的坐标为Ｐ（　，，，，　），　则Ｄ户＝（　，，，，　）．因，ｌ　上　，所以　一，，＋　－－－０　（１）　是平面ＢＤＣ，的方程．　设Ｄ墨＝（　，，，，　）＝（１，一１，１，），贝９　（１，一１，　１）．将点Ａ（１，０，１）代入（１）式左边得１—０＋１＝２＞０；　将点Ｋ（１，一１，１）代入（１）式左边得１一（一１）＋１＝３　＞Ｏ．所以点　和点Ａ　在平面ＢＤＣ　的同侧，即ｎ，向　量方向指向二面角外．　设平面ＢＤＣ　上的任意一点的坐标为Ｆ（ｘ，，，，　），　则　＝（　，，，，　）．因为，ｌ　上　，所以　一　，，＋　＝Ｏ　（２）　是平面Ａ，ＤＢ的方程．　设Ｄ　＝（　，，，，　）＝（一１，１，１），所以　（一１，１，　维普资讯 http://www.cqvip.com

数学教学研究　２００７年第６期　“设而不求＂法在解析几何中的应用　史建军　（江苏省丹阳高级中学２１２３００）　熟练地运用设而不求法求解析几何问题，能避免　繁杂运算、简化解题过程，使解题收到事半功倍的效　果．现归纳解析几何中运用设而不求法解题的几种方　法如下：　解题过程中，不直接求出所设元素，而抓住元素　的整体结构，能有效地减少运算量，使解题化繁为简．　１．１利用点的坐标的整体结构　例１已知抛物线ｙ２＝４ｘ，过点Ｐ（１，３）作直线ｌ　交物线于Ａ，Ｂ两点，使Ｐ恰为弦ＡＢ的中点，求直线　示范解题：　１利用元素的整体结构　１）．将点Ｃ，（０，１，１）代入（２）式左边得０＋１＋１＝２＞　Ｏ；将点　（一１，１，１）代入（２）式左边得一（一１）＋１＋　１＝３＞Ｏ．所以点　和点Ｃ　在平面Ａ，ＤＢ的同侧，即　ｎ　向量方向指向二面角外．　所以所求二面Ａ　一ＢＤ—Ｃ，的平面角与这个夹角互　补，其大小约为７Ｏ．５３。．　解法４同解法１建立空间直角坐标系Ｄ—ｘｙｚ，则　Ｄ詹＝（１，１，Ｏ），ＤＣ。＝（０，１，１），　＝（１，０，１）．设直线　ＢＤ上取点Ａ２使ＡｔＡ２上ＤＢ，设　＝Ａ　（Ａ∈Ｒ），则　Ａ１Ａｉ＝Ｄｆ４：一Ｄｆ４　＝（１一Ａ，一Ａ，１）．　因；ＹｇＡ１Ａ２上ＤＢ，即１—２Ａ＝０，Ａ＝１／２，　这种解法是利用二元一次方程（组）表示平面区　域的特点——在直线同侧的点的坐标都满足不等式　或都不满足不等式，类比到空间中，将平面方程求出　的情况下，平面同侧的点代入方程的一边得到相同的　符号．则我们可以将法向量求出后，用在二面角棱上　所以Ａ２Ａ｜＿（１／２，一１／２，１）．　设直线ＢＤ上取点　使Ｃ。Ｃ２上ＤＢ，设Ｄ　＝　珊（——÷　　∈Ｒ），则ｃ　．————ｃ：＝Ｄｃ；一Ｄｃ　：（一　，一十———　———’　１一　，１）．　因为Ｃ１Ｃ２上ＤＢ，即１一　＝０，　＝１／２，　所以Ｃ２Ｃ　＝（一１／２，１／２，１）．　的点作为表示法向量的有向线段的起点，就很容易求　出该有向线段的终点．通过计算就可以判断该点在平　则Ａ１，　ｃｏｓ（Ａ一２（　，　）＝　１／２丽＝了１，　面的哪一侧，从而判断法向量的方向．再判断另一个　法向量方向，从而可以得到两个法向量夹角和二面角　大小的关系，最终得到二面角的大小．这种方法主要　在于解决判断二面角和向量夹角关系这个难点．　４用垂直棱的向量求二面角大小　）－－－７０．５３。．　因二面角的大小就等于Ａ　Ａ：，　ｃ：所成角，因此，　二面角Ａ】一ＢＤ—Ｃｌ的大小约为７Ｏ．５３。．　运用平面内垂直与棱且指向棱外的两个向量求　二面角的大小，可以减小解题的难度，可以避免判断　二面角与向量所成角的关系，也避免了在棱上找关键　点的难题，但一般这种方法的运算量是比较大的．　利用定义法求二面角的大小，是在棱上取一点在　两个半平面内分别作棱的垂线，则这两条垂线所成角　就是二面角的大小．而这样的作法往往是很困难的，　主要表现为取棱上的点取哪一点，这个点不是随便取　的，要有利于计算平面角，往往要过两个半平面内关　键的两点，比如本文例中在ＢＤ上找到一点，过这点在　两个半平面作棱垂线后要分别过点Ａ　，Ｃ　．但如果利　用向量的方法求解则可以找两点分别满足过Ａ　，Ｃ　本文是利用空间向量求解二面角大小，在求解过　程中要不断的联系图形中的二面角的平面角，联想学　过的类比推理和二元一次方程表示平面区域的原理，　方便了求解的过程．由此可以看到，在教学过程中，教　师也是要不断的思考和学生共同进步，这样才能适应　时代的要求，适应新课程改革的要求．　（收稿日期：２０３／一０３—２７）　的条件，这样解题就非常方便了，还是以上面的例题