一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．下列卡通图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．. B．.
C．. D．
2．下列计算正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
3．下面的说法正确的是（ ）
A．为确保“嫦娥五号”探测器顺利发射，对其全部零件进行普查 B．为了解我市中小学生课后的手机使用情况，选择普查 C．为了解市民垃圾分类的响应情况，选择普查 D．为了解我市老年人参加晨练的情况，选择普查 4．下列约分正确的是（ ） A．
B．
C． D．
5．下列关于反比例函数y＝的描述，正确的是（ ） A．它的图象经过点（，4）
B．图象的两支分别在第二、四象限 C．当x＞2时，0＜y＜4 D．x＞0时，y随x的增大而增大
6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论中错误的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是正方形 C．当AC＝BD时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形
7．一只不透明的袋子中装有2个红球，4个黑球，6个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生的可能性最大的是（ ） A．摸出红球
B．摸出黑球
C．摸出白球
D．摸出黄球
8．如图，将边长为2的正方形ABCD绕顶点C逆时针旋转得到正方形A′B′C′D′，P是CD的中点，Q是对角线B′D′的中点，则旋转过程中PQ的最大值为（ ）
A．2
B．
+1
C．3
D．
+1
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．使分式
有意义的x的取值范围为 ．
10．2021年，常州市继续实施“生态绿城”建设工程，林业部门考察某种树苗在一定条件下的移植成活率，统计出如表数据： 移植总数 成活数量
成活频0.820
0.866
0.923
0.885
0.890
0.915
0.906
0.898
0.901
82
433
923
1770
4450
7321
9063
13472
18025
100
500
1000
2000
5000
8000
10000
15000
20000
率
则可估计该种树苗在一定条件下移植成活的概率是 ．（精确到0.1）
11．已知近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距x（cm）的反比例函数，若500度的近视眼镜镜片的焦距是20cm，则200度的近视眼镜镜片的焦距是 cm．
12．“任意画一个菱形，它的对角线相等”是 事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若边AB＝4，∠BAD＝60°，则对角线AC的长为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F、G分别是BE、AB的中点，连接FG，若FG＝5，BC＝8，则CD的长为 ．
15．已知实数a、b、c满足|a﹣3|+
，则b﹣a+c＝ ．
16．如图，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上有两点A、B，连接OA、OB、AB，并延长AB，交x轴正半轴于点C，若点C坐标为（4，0），AB＝2BC，S△OBC＝4，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共68分。第17、18、19、23题每题8分，第20、21、22、24题每题6分，第25题12分）
17．计算： （1）（2）18．计算： （1）（2）19．解方程： （1）（2）
；
． ；
． ； ．
20．为庆祝中国共产党诞辰100周年，某校举行“青春心向党，筑梦新时代”艺术节活动，分为A朗诵、B合唱、C舞蹈、D小品剧一共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加其中的一项，小明随机调查了部分学生的报名情况，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中“C”部分的圆心角是 °；
（4）若全校共有1800名学生，请估计该校报名参加小品剧比赛的学生有多少人？ 21．常州地铁2号线预期今年下半年开通，在地铁区间施工过程中，每间隔一段就需要设置一段联络通道，具有维修、排水、消防、疏散等功能，但施工难度较大．在建设一段长度为30米的联络通道时，若工程队在修建了10米后，引进新技术，效率比原来提高了20%，结果共用20天完成任务．在引进新技术前，工程队每天修建多少米？
22．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（1，2）、B（n，﹣1）两点． （1）求m、n的值；
（2）根据图象，直接写出不等式kx+b＜的解集．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD． （1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）取AB中点F，作GF⊥AB，交EB于点G，若AD＝8，BD＝4，求EG的长．
24．像
＝3、
＝a（a≥0）、
＝b﹣1（b≥0）……
两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
（1）请写出以下代数式的一个有理化因式：
（a≥0，b≥0） ，
（2）化简：
（3）当2≤a≤4时，直接写出代数式
+…+
； ；
的最大值： ．
25．【建模】某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，设y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格，则y与x的关系式为 ．
【探究】根据函数的概念，彤彤发现：y是x的函数．结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图象与性质展开探究．请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整： （1）列表：
x y
… …
﹣4
﹣3
﹣1
0
…
…
（2）在平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数图象：
（3）观察图象，彤彤发现以下性质：
①该函数图象是中心对称图形，对称中心是 ； ②该函数值y不可能等于 ；
③当x＞﹣2时，y随x的增大而 （填“增大”或者“减小”），当x＜﹣2时，亦是如此．
【应用】根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：粽形香囊越多，所购买物品的
平均价格越 （填“高”或者“低”），但不会突破 元．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列卡通图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．. B．.
C．. D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B．
2．下列计算正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【解答】解：A、B、原式＝2C、原式＝D、原式＝故选：C．
3．下面的说法正确的是（ ）
A．为确保“嫦娥五号”探测器顺利发射，对其全部零件进行普查 B．为了解我市中小学生课后的手机使用情况，选择普查 C．为了解市民垃圾分类的响应情况，选择普查
与
不能合并，所以A选项的计算错误；
，所以B选项的计算错误； ＝＝
，所以C选项的计算正确； ，所以D选项的计算错误．
D．为了解我市老年人参加晨练的情况，选择普查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．为确保“嫦娥五号”探测器顺利发射，适合对其全部零件进行普查，故A选项符合题意；
B．为了解我市中小学生课后的手机使用情况，适合抽样调查，故B选项不合题意； C．为了解市民垃圾分类的响应情况，适合抽样调查，故C选项不合题意； D．为了解我市老年人参加晨练的情况，适合抽样调查，故D选项不合题意． 故选：A．
4．下列约分正确的是（ ） A．
B．
C． D．
【分析】根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断． 【解答】解：A.
，故此选项不符合题意；
B.，故此选项不符合题意；
C.的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；
D.故选：D．
，正确，故此选项符合题意；
5．下列关于反比例函数y＝的描述，正确的是（ ） A．它的图象经过点（，4）
B．图象的两支分别在第二、四象限 C．当x＞2时，0＜y＜4 D．x＞0时，y随x的增大而增大
【分析】直接利用反比例函数的性质分别判断得出答案．
【解答】解：A、当x＝时，y＝16，即它的图象经过点（，16），故不符合题意； B、反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，故不符合题意；
C、反比例函数y＝的图象每个象限内，y随x的增大而减小，所以当x＞2时，0＜y＜4，故符合题意；
D、反比例函数y＝的图象每个象限内，y随x的增大而减小，所以当x＞0时，y随x的增大而，故不符合题意． 故选：C．
6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论中错误的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是正方形 C．当AC＝BD时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形
【分析】利用矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；
B、当∠ABC＝90°时，可以得到平行四边形ABCD是矩形，不能得到正方形，故错误， C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确； D、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确； 故选：B．
7．一只不透明的袋子中装有2个红球，4个黑球，6个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生的可能性最大的是（ ） A．摸出红球
B．摸出黑球
C．摸出白球
D．摸出黄球
【分析】哪种颜色的球的个数最多，摸出该颜色球的可能性最大，据此可得．
【解答】解：∵不透明的袋子中装有2个红球，4个黑球，6个白球，这些球除颜色外都
相同，
∴袋中白球的个数最多， ∴摸出白球的可能性最大， 故选：C．
8．如图，将边长为2的正方形ABCD绕顶点C逆时针旋转得到正方形A′B′C′D′，P是CD的中点，Q是对角线B′D′的中点，则旋转过程中PQ的最大值为（ ）
A．2
B．
+1
C．3
D．
+1
，再利用Q是
【分析】连接CQ，如图，先根据正方形和旋转的性质得到B′D′＝2对角线B′D′的中点得到CQ＝
，P是CD的中点得到PC＝CD＝1，利用三角形三
边的关系得到PQ≤CQ+CP（当且仅当C、P、Q共线时取等号），从而得到PQ的最大值． 【解答】解：连接CQ，如图，
∵正方形ABCD绕顶点C逆时针旋转得到正方形A′B′C′D′， ∴B′C＝CD′＝2，∠B′CD′＝∠BCD＝90°， ∴B′D′＝
B′C＝2
，
∵Q是对角线B′D′的中点， ∴CQ＝B′D′＝∵P是CD的中点， ∴PC＝CD＝1，
∵PQ≤CQ+CP（当且仅当C、P、Q共线时取等号）， ∴PQ的最大值为故选：B．
+1． ，
二．填空题（共8小题） 9．使分式
有意义的x的取值范围为 x≠1 ．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0进行计算即可． 【解答】解：∵分式∴x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为：x≠1．
10．2021年，常州市继续实施“生态绿城”建设工程，林业部门考察某种树苗在一定条件下的移植成活率，统计出如表数据： 移植总数 成活数量
成活频0.820 率
则可估计该种树苗在一定条件下移植成活的概率是 0.9 ．（精确到0.1） 【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【解答】解：根据表格数据可知： 该树苗移植成活的频率近似值为0.9， 所以估计这种树苗移植成活的概率约为0.9． 故答案为：0.9．
11．已知近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距x（cm）的反比例函数，若500度的近视眼镜
0.866
0.923
0.885
0.890
0.915
0.906
0.898
0.901
82
433
923
1770
4450
7321
9063
13472
18025
100
500
1000
2000
5000
8000
10000
15000
20000
有意义，
镜片的焦距是20cm，则200度的近视眼镜镜片的焦距是 50 cm．
【分析】因为近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，可设出函数式，根据500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m可确定系数，从而求出y与x之间的函数关系式，然后再把y＝200代入解析式求出x即可． 【解答】解：设y＝
∵500度的近视眼镜镜片的焦距是20cm， ∴500＝
，
解得：k＝10000， ∴y＝
，
＝50，
当y＝200时，x＝
∴200度的近视眼镜镜片的焦距是50cm． 故答案为：50．
12．“任意画一个菱形，它的对角线相等”是 随机 事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）．
【分析】根据菱形的性质、随机事件的概念解答即可． 【解答】解：∵菱形的对角线可能相等，有可能不相等， ∴“任意画一个菱形，它的对角线相等”是随机事件， 故答案为：随机．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若边AB＝4，∠BAD＝60°，则对角线AC的长为 4
．
【分析】根据菱形的性质和含30°的直角三角形的性质得出OB，OA，进而解答即可．
【解答】解：∵菱形ABCD，AB＝4，∠BAD＝60°， ∴AC⊥BD，∠BAO＝30°， ∴OB＝2，OA＝2∴AC＝2OA＝4故答案为：4
， ， ．
14．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F、G分别是BE、AB的中点，连接FG，若FG＝5，BC＝8，则CD的长为 14 ．
【分析】先由中位线定理求出AE的长度，再用勾股定理求出DE的长度，然后用角平分线的定义判断出△BCE是等腰直角三角形求出CE，从而得出结论． 【解答】解：连接AE，如图所示：
∵点F、G分别是BE、AB的中点， ∴GF是△BAE的中位线， ∵GF＝5， ∴AE＝2GF＝10， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠D＝∠ABC＝∠C＝90°， ∴DE＝
＝
＝6，
又∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠ABC＝45°， 又∵∠C＝90°，
∴∠BEC＝45°， ∴CE＝BC＝8，
∴CD＝DE+CE＝6+8＝14． 故答案为：14．
15．已知实数a、b、c满足|a﹣3|+
，则b﹣a+c＝ 0 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得：b﹣5≥0，5﹣b≥0，从而b＝5，代入原方程得：|a﹣3|+
＝0，根据非负数的性质求出a，b，最后代入求值即可．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：b﹣5≥0，5﹣b≥0， ∴b＝5， ∴|a﹣3|+
＝0，
∴a﹣3＝0，c+2＝0， ∴a＝3，c＝﹣2，
∴b﹣a+c＝5﹣3+（﹣2）＝0， 故答案为：0．
16．如图，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上有两点A、B，连接OA、OB、AB，并延长AB，交x轴正半轴于点C，若点C坐标为（4，0），AB＝2BC，S△OBC＝4，则k的值为 6 ．
【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥x轴，可得一对直角相等，再由公共角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形BCD与三角形ACE相似，由相似得比例，根据三角形OBC面积与B坐标求出BD的长，进而求出AE的长，设出A与B坐标，分别代入反比例解析式得到a与b的关系式，再根据四边形AODB面积＝三角形AOB面积+三角形BOD＝三角形AOE面积+梯形AEDB面积，且三角形AOE面积＝三角形BOD面积，得到梯形AEDB面积＝三角形AOB面积，根据题意求出AOB面积，即为梯形AEDB面
积，利用梯形面积公式表示出a与b的关系式，两式联立求出a与b的值，确定出A与B的坐标，即可求出k的值．
【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥x轴， ∴∠BDC＝∠AEC＝90°， ∵∠BCD＝∠ACE， ∴△BDC∽△AEC， ∵AB＝2BC， ∴BC：AB＝1：2， ∴BC：AC＝1：3，
∴BD：AE＝BC：AC＝1：3， ∵S△BOC＝4，OC＝4， ∴BD＝2， ∴AE＝3BD＝6，
设A（a，6），B（b，2），可得6a＝2b，即b＝3a①， ∵S△AOE+S梯形AEDB＝S△AOB+S△OBD，且S△AOE＝S△OBD， ∴S梯形AEDB＝S△AOB＝2S△BOC＝8，
∴（BD+AE）•ED＝8，即×（2+6）×（b﹣a）＝8， 整理得：b﹣a＝2②， 把①代入②得：3a﹣a＝2， 解得：a＝1，
把a＝1代入①得：b＝3， ∴A（1，6），
把A坐标代入得：k＝6． 故答案为：6．
三．解答题 17．计算： （1）（2）
； ．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的乘除法法则运算． 【解答】解：（1）原式＝3＝
+2
；
+2
﹣2
（2）原式＝＝＝4
．
18．计算： （1）（2）
；
．
【分析】（1）根据异分母分式，先换成同分母，然后利用分式的加法即可解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以解答本题． 【解答】解：（1）＝＝＝1；
（2）＝＝＝
．
19．解方程： （1）（2）
；
．
【分析】去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，检验即可． 【解答】解：（1）去分母得：2x＝5（x+3）， 解得：x＝﹣5
检验：x＝﹣5时，x（x+3）≠0， ∴x＝﹣5是原方程的解；
（2）去分母得：8+x2﹣4＝x （x+2）， 解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0， ∴x＝2 是增根，原方程无解．
20．为庆祝中国共产党诞辰100周年，某校举行“青春心向党，筑梦新时代”艺术节活动，分为A朗诵、B合唱、C舞蹈、D小品剧一共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加其中的一项，小明随机调查了部分学生的报名情况，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 200 人； （2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中“C”部分的圆心角是 36 °；
（4）若全校共有1800名学生，请估计该校报名参加小品剧比赛的学生有多少人？ 【分析】（1）根据选择A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数； （2）根据（1）的结果及图中的数据可以计算出选择C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）再根据选择C的人数，即可计算出扇形统计图中C部分的圆心角的度数； （4）根据统计图中的数据，可以计算出该校报名参加小品剧比赛的学生有多少人． 【解答】解：（1）本次调查的学生总人数是120÷60%＝200（人）， 故答案为：200；
（2）B合唱人数为：200×26%＝52（人）， C舞蹈人数为：200﹣120﹣52﹣8＝20（人）， 补全条形统计图如下：
（3）扇形统计图中C部分的圆心角是：360°×故答案为：36； （4）1800×
＝72（人），
＝36°，
答：估计该校报名参加小品剧比赛的学生共有72人．
21．常州地铁2号线预期今年下半年开通，在地铁区间施工过程中，每间隔一段就需要设置一段联络通道，具有维修、排水、消防、疏散等功能，但施工难度较大．在建设一段长度为30米的联络通道时，若工程队在修建了10米后，引进新技术，效率比原来提高了20%，结果共用20天完成任务．在引进新技术前，工程队每天修建多少米？
【分析】设在引进新技术前，工程队每天修建x米，则在引进新技术后，工程队每天修建（1+20%）x米，根据“在建设一段长度为30米的联络通道时，若工程队在修建了10米后，引进新技术，效率比原来提高了20%，结果共用20天完成任务”列出方程并解答． 【解答】解：设在引进新技术前，工程队每天修建x米，则在引进新技术后，工程队每天修建（1+20%）x米，
根据题意，得解得：x＝．
+＝20．
经检验：x＝是原方程的解．
答：在引进新技术前，工程队每天修建米．
22．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（1，2）、B（n，﹣1）两点． （1）求m、n的值；
（2）根据图象，直接写出不等式kx+b＜的解集．
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数的解析式，即可求出m的值，再把B（n，﹣1）代入反比例函数解析式即可求出n的值； （2）结合图象得到不等式kx+b＜的解集即可．
【解答】解：（1）∵A（1，2）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上， ∴m＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点B（n，﹣1）也在反比例函数y＝的图象上， ∴﹣1＝， ∴n＝﹣2；
（2）如图所示，当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1， 所以不等式kx+b＜的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD． （1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）取AB中点F，作GF⊥AB，交EB于点G，若AD＝8，BD＝4，求EG的长．
【分析】（1）先由已知条件证得四边形AEBD是平行四边形，再根据等腰三角形的性质证得∠ADB＝90，即可得到四边形AEBD是矩形；
（2）连接AG，由线段垂直平分线的性质得到GA＝GB，设EG＝x，则GA＝8﹣x，在Rt△AEG中，根据勾股定理求出x，即可得到EG． 【解答】（1）证明：AE∥BC，AE＝BD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90，
∴四边形AEBD是矩形； （2）解：连接AG，
∵F是AB的中点，GF⊥AB， ∴GA＝GB，
∵四边形AEBD是矩形，AD＝8，BD＝4， ∴EB＝AD＝8，EA＝BD＝4， 设EG＝x，则GB＝GA＝8﹣x， ∵四边形AEBD是矩形， ∴∠E＝90°， 在Rt△AEG中， ∵EA2+EG2＝AG2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， ∴x＝3，
即EG＝3．
24．像
＝3、
＝a（a≥0）、
＝b﹣1（b≥0）……
两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
（1）请写出以下代数式的一个有理化因式：
（a≥0，b≥0）
（2）化简：
（3）当2≤a≤4时，直接写出代数式
﹣
，
+…+
2
+2
； ；
的最大值： 2﹣
．
【分析】（1）根据有理化因式的定义和平方差公式求解； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）利用有理化因式得到有最小值2+
，所以
+
﹣
＝有最大值2﹣
的有理化因式为
+2
；
﹣
． ；
，由于当a＝2时，
+
【解答】解：（1）2
﹣2
的的有理化因式为2﹣
；2﹣1+
+2﹣
； +
故答案为
（2）原式＝＝（3）
﹣1； ﹣
﹣+•+﹣
＝，
∵2≤a≤4， ∴当a＝2时，此时即代数式故答案为2﹣
．
+
有最小值，最小值为
＝2﹣；
+，
＝2+
，
的值最大，最大值为
的最大值为2﹣
25．【建模】某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，设y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格，则y与x的关系式为
．
【探究】根据函数的概念，彤彤发现：y是x的函数．结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图象与性质展开探究．请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整： （1）列表：
x y
… …
﹣4
﹣3 3
4
0
﹣1 1
0
… …
（2）在平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数图象：
（3）观察图象，彤彤发现以下性质：
①该函数图象是中心对称图形，对称中心是 （﹣2，2） ； ②该函数值y不可能等于 2 ；
③当x＞﹣2时，y随x的增大而 增大 （填“增大”或者“减小”），当x＜﹣2时，亦是如此．
【应用】根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越 高 （填“高”或者“低”），但不会突破 2 元． 【分析】【建模】依据平均数的算法，可得y与x的关系式；
【探究】（1）利用函数关系式，根据自变量x的值，即可得到因变量y的值； （2）依据坐标，进行描点、连线，即可得到函数图象；
（3）①由图可得，对称中心的坐标；②依据函数图象与直线y＝2无限接近，即可得出
该函数值y不可能等于2；③依据函数图象的增减性，即可得出y随x的增大而增大． 【应用】依据函数图象的增减性，即可得到y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近．
【解答】解：【建模】∵彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格， ∴y与x的关系式为故答案为：
；
，
【探究】（1）当x＝﹣4时，y＝； 当x＝﹣3时，y＝3； 当x＝﹣时，y＝4； 当x＝﹣时，y＝0； 当x＝﹣1时，y＝1； 当x＝0时，y＝；
故答案为：；3；4；0；1；； （2）如图所示：
（3）①由图可得，对称中心是（﹣2，2）；
②函数图象与直线y＝2无限接近，故该函数值y不可能等于2；
③由图可得，当x＞﹣2时，函数图象从左往右上升，即y随x的增大而增大．
故答案为：①（﹣2，2）；②2；③增大；
【应用】由图可得，当x≥0时，函数图象从左往右上升，与直线y＝2无限接近，即y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近，
故粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越高，但不会突破2元． 故答案为：高；2．
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