科普大师提出的数学趣题

数学钥匙　主持：平方　斜普太师提出　■江苏林革　２０世纪下半叶，美国科普界叱　咤风云数十年的三位大师级人物　是艾萨克・阿西莫夫、卡尔・萨根与　马丁・加德纳，堪称不分伯仲，各领　风骚。时至今日，前面两位大师均　已逝世，唯有加德纳先生依然健在　漂亮的少女；第四个是一位老妇　人。他们相互不认识。突然电源发　生了故障，电梯停住不动了，电灯　也熄了，电梯内漆黑一圆。这时发　出了一声接吻的声音，随后是一掌　打在脸上的声音。过了一会，电灯　并且老当益壮，在数学传播领域继　续发挥着无可替代的作用。这位当　代数学科普大师编制的诸多趣味　数学问题，因其令人赞叹的生活　又亮了，纳粹军官的一只眼睛下面　出现了一块猩红的伤痕。　老妇人想：“真是活该！幸亏如　今的年轻姑娘们学会了如何保护　自己。”　性、灵活性、深刻性、独创性而被广　泛流传，吸引了全世界的数学爱好　者的普遍关注。现向大家介绍其中　的几则经典趣题。　一少女寻恩：“这个纳粹分子真　怪！他没有吻我，想必是吻了这位　老妇人或者那位漂亮小伙子，真不　知道是怎么回事！”　纳粹军官在想：“怎么啦！我什　么事情也没做，可能是这个法国男　子想吻这位姑娘，她失手打了我。”　、电梯事件　第二次世界大战中德军占领　法国期间，有一天，巴黎的一家旅　馆里有四个人共乘一部电梯下楼。　其中一个是身穿军装的纳粹军官；　一这几个人的想法是不是很奇怪？那　么请你推测一下电梯里究竟发　个是当地的法国人，是反纳粹地　下组织的秘密成员；第三个是一位　生了什么事情？　１—２Ｃ　如果没有信心的话，你永远也不会有快乐。——拉罗什科夫　一ｌｌ　ｌ。、　毒≯　显然这是一个非常有意思的　军官。　问题，因为从表面上来看，接吻是　男女之间的事情，可电梯里的两个　女性都确定自己没有被侵犯，这就　导致了读者的疑惑：那一记耳光又　综合上述分析可还原事件的真　相：法国小伙子是反纳粹地下组织　的秘密成员，当然仇恨纳粹军官，　于是停电时，他先亲自己的手臂一　下，然后狠狠打了纳粹军官一个耳　光，用这个巧妙方法既解心头之恨　是如何而来的？请注意，如果你也　是这样思考的话，那么你就已经陷　人到大师巧妙设置的“陷井”中了，　因为引导掉人陷井的路径正是“强　吻一被打”的常规思维。只要你能　跳出定势思维的泥沼，从背景等其　他因素综合考虑这个事件，问题就　又毫无破绽。由此可见，法国小伙　子才是耳光事件的策划和操作者。　二、谁讲真话　…　汤姆老师到一所新学校去应　聘，在面试时被问到这样的一则趣　题：假若您到一所教室里，发现教　能真相大白，并使你哑然失笑拍案　击节，　下面我们就根据当事人的想　法来进行逻辑推理。首先考虑老妇　人的想法，她认为是纳粹军官吻了　少女而挨了少女的打，这间接说明　室里有１０个同学，他们每人都和您　讲了一句话。学生１：我们１０个人　中只有１人讲假话；学生２：我们１０　个人中只有２人讲假话；学生３：我　们１０个人中只有３人讲假话；学生　４：我们１０个人中只有４人讲假话；　学生５：我们１０个人中只有５人讲　假话；学生６：我们１０个人中只有６　人讲假话；学生７：我们１０个人中　只有７人讲假话；学生８：我们１Ｏ　镪　了老妇人没有被吻；其次少女认为　是纳粹军官吻了老妇人或法国小　伙子导致被打，这也间接说明少女　没有被吻；而纳粹军官的想法证明　他什么也没有做，由此可知老妇　人、少女、纳粹军官三人与接吻无　关。那么唯一可能就是，那吻声是　一　个人中只有８人讲假话；学生９：我　们１０个人中只有９人讲假话；学生　１０：我们１０个人讲的全是假话。请　你判断这１０个人中，究竞谁讲的是　假话？（当然我们假定这１Ｏ个人的　法国小伙子自己弄出来的，而且老　妇人和少女都没有打纳粹军官，纳　粹军官也不可能打他自己，那　只能是法国小伙子打了纳粹　一　话在逻辑上都是站得住的，即不存　生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西，在于不断增　∞加更多的知识。——左拉　一　童醢螽垂童　在自相矛盾。）　这则趣题由于它风格非常独　特，令人有耳目一新之感，所以给　广大读者留下了深刻的印象。值得　一该题颇有新意，人物众多，叙　述方式都有相近之处，仅有一字之　差，但相互间的联系很难弄清，极　易产生思维混乱和理解障碍，让人　不知从何下手。而事实上此题的难　度并不大，只要采用反向理解否定　提的是该题的解题思想就叫　反　证法”，这种解题思想已为人们广　泛接受和运用。你是否学会了这种　证明方　去了呢？　三、完美握手　．．ｓ　结论的方法来推断，就能轻而易举　地顺利解答。　根据题意叙述，我们知道１０　个人所说的话各不相同，那么讲真　有一天，一位先生这样说道：　“前些日子，我同我太太一起参加　了一个宴会，酒席上还有另外４对　夫妻。大家见面时相互问候，亲切　握手。当然，没有人和自己的太太　握手，自己也不会同自己握手。另　话的只能有１人。明确了这一点，　那么就可以沿着学生讲话线索顺　藤摸瓜，得到最终结果。如果学生ｌ　讲的“我们ｌ０个人中只有１人讲　假话”为真，也就是说共有９人说　真话，那么除了学生１的这句真　话，在剩下的九个人中还应有８人　外我发现，大家与一个人握过手之　后，都没有再和他（或她）进行第二　次握手。当彼此之间的握手全部结　束之后，喜欢钻牛角尖的我好奇地　询问在座的各位先生和女士，当然　也包括我太太在内，每人各握过几　也讲真话，而这与起初“讲真话的　只能有１人”的判断矛盾，所以学　生ｌ讲真话的假设应予否定。同样　道理，学生２、学生３、学生４、学生　次手？使我惊奇的是，每个人报出　的握手次数竞完全不一样，这非常　５……等人讲真话的可能性都被类　似一一排除，只有学生９所说的话　奇特。因为它牵涉到下面我要问的　一个问题：我太太同别人共握了几　“我们１０个人中只有９人讲假　次手？你从我的叙述中发现线索了　话”，即只有１人说真话，此人就是　学生９自己，与原命题判断没有矛　盾，可以成立，所以可判定学生９　讲的是真话。　么？如果暂时还没有，那么请允许　我增加一些说明，一是为了使这个　问题不至于产生歧义，二是使之更　加严密让你摸不着头脑奄　０　生并不如想象的那么美丽，亦不如想象的那样丑恶。——莫泊桑　≯‘１　ｊ　够　好：①甲与乙握手，在计算握手次　数时，甲算一次，乙也算一次。②握　手并不要求一个都不漏，可握也可　不握。就是这些，请您开动脑筋解　决这个问题吧！”　问题终于解决了，现在让我们　再来回顾一下这道被许多评论家　们誉为“完美”的题目。评论家之所　以有这样极端的观点，并不是出于　对数学学科中专业美的推崇和渲　染，而是从一个普通人的角度来审　视判定得出的，因为在日常生活中　不可或缺的数学思维如对称性、递　首先从整体上分析：既然宴会　上共有５对夫妻合计１０人，任何　人都不同自己握手，也不同自己的　配偶握手，所以，任何一个人握手　归性、消去法都在这道题的解答中　得到充分的展示。难怪对数学普及　极为重视的评论家们发自内心地　赞叹：这样的数学题目，真是太“艺　术化”了。　看出来了吗？在加德纳的巧思　的次数最多只能等于８。由于这位　先生已问其他的９人，得知他们每　人握手的次数都不一样，可见这９　个人的握手次数必定是０、１、２、３、　４、５、６、７、８，这是一个容易得出的　结论。　妙想中，一个个抽象的数学问题变　得生动活泼趣味盎然。难怪他的数　学科普作品具有全球范围内的巨　大吸引力，精巧得让人爱不释手，　品味良久，甚至令许多数学家也为　之着迷。事实上，很多青少年正是　因为加德纳的趣味数学题才对数　学产生了浓厚兴趣，甚至有家庭主　妇因其而成为趣味数学专家的事　例。正由于加德纳在数学科普领域　取得的巨大成功，人们尊称这位在　其次从细节人手：显然握手次　数为８的那一位同除了自己的配　偶以外的每个人都握过了手，所以　只有这个人的配偶才有可能是握　手次数为０的人。换句话说，握手　次数是８和握手次数是０的是一　对夫妻。这下把８、０排除后，接着　类似可以推定，握手次数是７和握　手次数是１的是一对夫妻，握手次　数是６和握手次数是２；握手次数　是５和握手次数是３的是一对夫　美国家喻户晓的传奇人物为“数学　传教士”，堪称众望所归，名符其　实。　妻。最后只剩下握手次数为４的　，可以断定，此人肯定是提出　题的那位先生的太太。　．２Ｃ，艄　胜　ｍ　兰