有限变形弹塑性理论及一致性算法

靛拳　背　ＡＣＴＡ　ＭＥ固体力学学报　ＣＨＡＮＩＣＡ　ＳＯ１　ＩＤＡ　ＳＩＮＩＣＡ　ＭＶ　ａ）１Ｈ．－２ｈ３　２　Ｎ０（ｘ．】２】　　有限变形弹塑性理论及一致性算法　刘学军　李明瑞　黄文彬　中用收　太　东区－应用　学研，　窀，北京．１０００８３）　摘要通过对对数应变的引用，成功地将小变形蝉塑件理论移植到有限变形之巾，ＩＢ成　ｒ一套完整的有限变形弹塑性理沦，进一步发展ｒ具有一阶精度的一敛性弹塑性算法最后，给　出儿个算侧以汪明此理论的正确性硬算法的有效‘肚．　关键词有限ＪＬ，自限变形，弹塑性，一・敛　算法　１引言　对于一般的弹塑性金属材料，当进入塑性变形后，其塑性变形部分具有体积不变性，在　小变形理论中表示为应变张量的第一不变量，．＝０．对于有限变形所常用的Ｇｒｅｅｎ一１；ｚｇｒａｌ３ｇｅ　膻变，其，　＝０与体积不变不等价．凼此，在应Ｉ｝｛＿｛时将有　大困难而对数廊变止好满足其第　不变量，．＝０与体积不变假设等价战我们借鉴小变形甥性理论，将对数麻变引入副有限　变形弹塑－性之中，最终形成一套有限变形弹塑性理论．此外，还住文『１，２］Ｌ｝＿ｌ提出的小变形弹　性＿致性算法基础之［－，对此理论加以改造　发展，使之成功地廊用于有　变形弹塑性　计　算中．　２应变及其相应共轭应力的选择　２．１对数应变的引入　首先　１人变形梯度张量Ｆ．　设　是变形体某点在初始构形的位置向量，　是陔点在当前构形的似　¨口Ｊ量　＝Ｘ（　）　』　分量形式为　：　（　．）　巾此，变形体的变形梯度张量定义为Ｆ＝３ｘ１３Ｘ，其分量形式为　＝ｒ　，．７　．对此帐　作极　分解可得　Ｆ＝　Ｕ＝ＶＲ　其中，　为单位正交张量，代表变形梯度张量Ｆ的刚体转动部分，Ｕ、Ｖ为对称正定张龄，代　表Ｆ的纯变形部分，ｕ、Ｉ，可分别称为　伸长张量和左伸长张量．　由此，对数应变定义为ｓ＝ｈａ（　．将　分解为Ｕ＝Ｑ’Ｄ　Ｑ，其中Ｑ是甲他』　交的，Ｄ　２（ＸＸ）０３　１５收　ｊ第１稿．２０００—１０　ｏ９收到修＿曲稿　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　刘学军等：　自限变形弹颦性　论硬一致性算法　＝ｄｉａｇｆ　．，　，Ｕ　），其中　，　．　叫做主伸长，它们是　的特征值．＿Ｆ足对数应变公式仃Ｊ　转变为　ｓ＝ｉｎ（Ｕ）＝Ｑ。ｄｉａｇ（Ｉｎ（Ｕ１），Ｉｎ（Ｕ　），Ｉｎ（　））Ｑ＝Ｑ　ｄｉａｇ（￡１．ｅ！，Ｅ　）Ｑ　这时变形体体积变化量Ｊ＝ｌＦｌ＝ｌ，Ｊ，ｌ：Ｕ．＊　：＊Ｕ　．金属在塑性状态时．体积不变，则Ｊ　＝１而此时，对数应变张量的第不变量　，ｌ＝Ｅ　＝Ｅｌｌ＋ｅ　＋￡　＝Ｉｎ（Ｄ’１）＋Ｊｎ（　）＋ｌｎ（￡　１　：Ｉｎ（Ｕｌ×Ｕ　×　）＝Ｉｎ（Ｊ）＝ｉｎ（】）＝０　此，有限变形下对数应变的第一不变量，　依『口是变形体体积变化的度量．类似，亦可｛　剥　数应变的偏量　＝￡　一ｄ口（￡¨）／３＝∈，一（１／３）　ｌｎ（１　Ｕ　１）＝￡　一ｄ．．Ｉｎｔｌ　Ｕ　Ｉ　ｊ　于是，埘数应变张量偏量为ｓ　＝ｉｎ（Ｕ／ｆ　Ｕ　）．用来度量变形体除体积变化外的变形部分．　通过将对数应变的变形与变积的成功分解，使我们能够将内能分解成为变形能与变积　能之和．由此可见，通过引ＡＴＩ￣数应变，我们可以将小变形塑性理论中相应部分引人柏限　变形塑性理论而无须改动．但是．小变形中的弹靼性应变分解假设ｅ＝ｓ　＋ｅ　将小再成立　２．２共轭应力的引入　与对数应变相共轭的应力在文献［３］中已有很好地阐述，本文只将结果列出来．　首先设　．、Ｈ．分别为ｙ的特征值与特征向量，没ＡＮ．分别为Ｕ的特征值与持矾向　量，则　．＝Ａ　、　．＝　．．　．，定义：　为Ｃａｕｃｈｙ应力张量，ｆ＝如为Ｋｉｒｃｈｈｏｆｌ应力张量，了１＝　馏为旋转ＫｉＨ　ｈｈｎｆｌ应　力张量，将Ｋｉｍｈｈｏｆｆ应力张量、旋转Ｋｉｒｅｈｈｏｆｆ应力张量用分量表示法表示为　３、　．，　ｔ＝∑　｜Ｈ．　Ｒ”Ｔ＝∑Ｔ　Ｎ　Ｎｉ　ｔ１　｝　本文将与对数应变在能量上成共轭的应力记为如Ｆ形式　ｎ＝∑ｎｕＮ｝ｇ　Ｎ　３　由文献［３］可知，其分量表示如下　＝　，　：　Ｉ２、　等　，㈤　式中，≠Ｊ．＾，≠＾，　对于有限变形来说，以上廊　及应变足普遍适用的．不过人们常　的大多是各１６１同性　材料．对于各向同性弹性材料，与对数应变　共轭的应力被简化成旋转Ｋｉ。　ｈｈ。ｆｉ腹力　ｊ　＝了１＝曰　馏　ｆ４】　．　以下假设所讨论材料全部是各向同性弹性材料．这将给木理论带来很大的简化３有限变形弹塑性理论及一致性算法　为有限变形弹塑性理论及一致胜算法　小变形的掸塑性婵沦及一致性算法有柑似之　处，故首先简单介绍小变形弹塑性理论及　致性算法，之后再导人有限变形弹魈，　沧及一　维普资讯 http://www.cqvip.com

・２６　同体力学学报　２００２　ｑ第２３卷　致性算法．　３．１小变形塑性理论基础　从一定意义上讲，全部小变形弹塑｝生理论的理论基础是关于应变的两个和分解：应变中　纯变形部分与纯体积变化部分的和分解，这使我们能够将内能分解成为变形能　ｊ变积能之　和；应变中弹性部分与塑性部分的和分解．此分解导致了内力功对弹｝生功　与坦性功　的　成功分解．由此两种分解而引出了小变形弹塑性理论　３．２小变形弹塑性一致性积分算法　一股的应力更新公式为　ｄ．　ｌ　ｒｌ　ｃ　＋ｌｌ　ｒ　．＋Ａｏ　其中，△　＝Ｉ　Ｊ“　－　Ｄ　ｄｅ由于无法精确求积，使更新的应力值不精确，并且导致了平衡方　程的不精确性，由此导致解的误差，此误差不仅不可估计，且可能随载荷步数的增加，『啊飘离　精确解．同时又由于在切线刚度中要利用应力值．所以应力的不精确性也就不能推导出精确　的切线方程，也就影响了牛顿迭代的收敛率．为得到较好的近似解，人们发展＇广各种近似方　法，但实际都不能达到令人满意的效果．由于一致性积分算法能够知道此算法的解与精确的　解具有一阶近似，从而可以估计精确解的范围困为近似解的表达是精确的，由此可以导出　乎衡方程的精确表达式，得出相对于此近似解曲线的一致切线模量的精确表达式，由此，可　以很容易地推导出牛顿迭代格式中切线刚度矩阵墨的精确的表达式，达到渐近二次收敛　率　最终，得出一套具有一阶近似的小变形弹塑性的一致睫算法．有关内容详见：１．２：．　３．３基于对数应变的有限变形弹塑性理论　在形成本有限变形弹塑性理论时，仍希望借鉴小变形理论中有价值的内容与小变形理　论对应，当采用对数应变Ｅ＝　（￡，）作为应变的量度时．应变对偏量与球量的和分解得以成　立，于是内力功对变形功与变积功的和分解同时得以成立由此，可以将小变形塑性理论中　相应部分引人有限变形塑性理论而无须改动应变对弹性与塑性的和分解显然是不成直　的　．目前基本上认同有限变形梯度的积分解Ｆ＝Ｆ　Ｆｔ，　．这事实上是对构形的分解没　．＝，）　是初始构形，ｘ　是最终的构形．经弹’陛卸载后得到一个中间构形　，则Ｆ＝ｄｘ　ｘ　＝Ｆ　．注意：中间构形ｘ　并不要求能实际』　存在和实现．如上所述作积分解　Ｆ＝　ｃ５）　ｘ　，。　０　２／Ｆ）ｘ　ｃ．由ｘ　到ｘ：是纯弹性的，所以０　／３ｘ！＝Ｆ　，由ｘ：到　ｌ是纯塑性的．所以　假设空同速度为　＝ｖ（　）　则空间变形速度梯度为　Ｌ＝　ｐ＝０（ｒ（Ｘ））／Ｏｘ：ＦＦ　＝（Ｆ　Ｆ一十，　Ｆ　）（Ｆ　。。，　）＝，Ｊ　＋，Ｊ　（６）　其中　Ｌ　：　一Ｆ‘．　：Ｆ　。　Ｆ　（７　．Ｉ））　将空问变形速度梯度对称化及反对称化　ｄ＝ｓｖｎｍ（Ｌ）＝（，Ｊ＋Ｌ　）／２．　Ｗ＝，ｓｋｅｗ（，Ｊ）：（Ｌ—Ｌ　）／２　（８）　因为塑陆部分体积不变，有　ｄｅｔ（　。）：１　（９）　所以ｄｅｔ（Ｆ）＝ｄｅｔ（Ｆ　）＞０．于是变形梯度的弹性部分　可以有极分解　＝　（１０）　维普资讯 http://www.cqvip.com

第ｌ期　刘学军等：　有限变形弹塑性理论及一豉性算法　由此．１本文可定义对数形式的弹性应变部分为　Ｅ　＝Ｉｎ（　）　在这里，将式（７ｂ）进行重新定义　Ｌｐ：　Ｆ　显然　与　是由一个相似变换得到的，两者有相同的特征值　类似地，将　对称化与反对称化．对称部分如下　１　＝ｓｙｍｍ（Ｌ　）＝（　＋　）／２　同文［１０］，假设反对称部分　＝ｓｋｅｗ（　１＝（　一　）／２＝０，亦即　Ｗ＝Ｗ　由呔（１２）、（１３）及（１４）可得塑性变形梯度率为　ｐ：ＤＰ　的对称部分　称为塑性应变张量的速度张量．　设塑性强化模型是随动强化．并引人　是Ｃａｕｃｈｙ应力　＝Ｊ６黾Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ直力　口是ｂａｃｋ　ｓｔｒｅｓｓ，描述了随动强化　是　的应力偏量　＝ｄｅｖ（　）（定义同小变形）　ｓ＝　一Ｂ，Ｓ称为移位应力偏量　定义等效应力　＝（３／２・Ｓ：Ｓ）”　＝（３／２）　ｌ　ｓ　ｌ　屈服面方程　＝　一　＝０　如节２　２所述，与对数应变相共轭的旋转Ｋｉｒｃｔｄａｏｆｆ应力ｒ可定义为　Ｔ　Ｔ　Ｔ＝ＪＲ　ｄ　＝Ｒ　ｆ　则旋转应力偏量　：ＲＪ　Ｒ　为应用方便，我们娄似定义旋转ｂａｃｋ　ｓＬｒ￣ｓｓ为　＂　他　ｒ　Ｂ　＝ＪＲ　ＢＲ　巾此可以得到移位旋转应力偏量为　Ｓ　＝ＪＲ　ＳＲ　＝Ｔ　一Ｂ　敝等效旋转应力可记为　：（３／２・Ｓ　：Ｓ　）　。／Ｊ　将式（１８）对旋转Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ应力了１求导并单位化，得到屈服面的外法向单位向量为　：（０ｑＪｌ＜７Ｔ）：（３／２）“　Ｓ　／（　１　将本构关系记为张量形式　：Ｈ：Ｅ　２７・　（１１）　（１２）　（１３）　（１４）　（１５）　【１６）　暑ｉ　丝　维普资讯 http://www.cqvip.com

同体力学学报　２００２年第２３卷　其中　／／　＝　８　Ｆ＋８　＊１＋勰函　１　２５１　根据有限变形的关联流动法则可得　。＝ｓｙｍｍ（　１＝　（ｒ，圣　Ｔ）＝（３１２）　，（Ｊｓ　）＝（３，２　Ⅳ　＝【２６）　（２７）　（２／３），册　＝日　，（　）＝（２／３）　印　（Ｈ为硬化系数）　同小变形塑性理论一样．可证明ｅ＋ｐ＝　，其中ｅ　：（（２／３）ｄ　，　是等效塑性应变率，　后将　筒记为　．　由此形成了有限变形弹塑性理论的基奉方程组（５）、（１０）、（１１）、（１５）、『】８），（２５）、ｔ　＿９６）、　（２７）．与小变形弹塑性类似，本文提Ｈｊ具有一阶精度的一致｝生有限变形弹塑　算法．　３．４基于变形梯度积分解Ｆ＝Ｆ　的一致ｒＩ生算法　该算法的核心问题是如何对　＝Ｆ　进行积分同小变形一样，人　Ｊ是无法将其精　确形式求出米的为了能够求得一个与已知精确解的误差为一阶的近似解．仍采用ｒ义中点　法对其进行积分为表达方便，假没在￡　时刻的基本变量值：　：，Ｂ　、　纠正两部分．下面．本文列出具体实现步骤：　（１）求出Ｆ　（２）求出弹性变形梯度预测值Ｆ　．．＝Ｆ　．　（　．），从而得到　。　以１技　时刻　的位移“　．．为已知，问题是怎样精确地更新这些变量．该～致性算法分为弹性预删及塑性　．，＝　・　（３）求出右伸长张量的预测值　．　。＝（ｃ　．　（４）求出转动张量预测值　；　ｌ１＝Ｆ　．（　（６）构造弹性试探应力（即预测值）　．．）　（５）由此求出弹性对数应变预测值　【＝Ｊ　＝Ｉｎ（￡　）　．．＝丑：Ｅ　＝（・）：　．　．．．　卢　（７）检查屈服条件（１　８）是否满足　“　＝　一　（　。）≤０　（８）如果满足此条件．则令其它一切变量（・）　否则转至（９）　（９）由以下三式经过牛顿迭代即可求出ｒ　，　（ａ）采用局部迭代来求解满足公式　’：ｓ一　（　＋口）＝０的ｐ　…Ｉ　（ｂ）Ｔ…ｔ＝Ｈ：（Ｅ：　（ｃ）对（２７）积分得到　一　Ｖ　…，．）（其中Ｎ　川由式（２４）定出）　＝　＋（２／３）　：，　ｃ　１０）由式（２６）求出塑性对数应变增量△　一　，＝　ｌｖ　【Ｉ１）更新等效塑性应变　ｃｌ２）更新翅性应变　（Ｊ３）更新弹　应变　（１４）更新　（１５）由式（Ｊ２）　＝Ｆ　：　ｆ　，＋　＋△　．．～△　，　，　＝ｅｘｐ（　Ｉ．　：　）　．，　＝　，．＝　＝ｅｘｐ（Ｅ：…，）　积分，得Ｆ｛　由此完成全部变量更新　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　刘学军等：　有限娈形弹塑性理论及　敏　符法　’２９　４平衡方程及一致性切线刚度矩阵　牛顿迭代法是求解非线性问题非常有效的方法，为了能应用此迭代法．须列出平衡方程　并求出相应的一致切线刚度矩阵的精确表达式，这样才能使得其良好的收敛性得以体现　在这里，首先推导出基于初始构形上的相应迭代矩阵因为第一类Ｐｉｏｌａ—Ｋｉｒｅｈｈｏｆｆ应力　Ｐ　位移梯度Ｏｕ／ＯＸ在能量上共轭，故本文选择此共轭对来列平衡方程．　内力虚功　：Ｊ　ｒ　Ｉ　Ｐ３（ａｕ／　３Ｘ）ｄ　其中，￣（ａｕ／，３Ｘ）＝旦袖，旦为几何矩阵，其值取决于有限冗法巾的插值函数，与变形无关ｑ　为节点位移向量．　外力虚功　ａＷｎ　＝｝ａｑ　由８Ｗ　＝　‘可推得平衡方程式为　（口）＝１．．星‘Ｐｄ　—Ｆ＝０　ｕ　（２８１　Ｌ　由推导过程可知，上式是精确的．下一步，将推导一致｝刀线刚度矩阵的精确表达式　为　△　（ｇ）＝Ｉ　旦　（Ｏｐ／３ｑ１ｄ　口：Ｋｒ￣Ａｑ　其中３ｐ／Ｏｑ＝（３Ｐ／ＯＦ）（３Ｆ／３ｑ）＝（ＯＰ／ＯＦ）旦，故　研＝Ｉ．　旦ｌ（Ｉ）Ｐ／ｇＦ１ＨｄＶ　’　（２９）　由于以上推导过程没有涉及本构　题，故是普遍适用的．对于　？Ｐ／３Ｆ，在文［１１］中已自阐述，　这里只是将结果列出来．　设Ｄ＝，｝Ｐ／ＯＦ，经过张量求导并整理后得到其分量形式为　Ｄ　＝　Ｐ　＝占　（Ｆ　：　。）　．　…．　（Ｆ　：：　。）　＋（Ａ　。＋Ｋ　ｍ、ｆ）　．（３０）　舆中　Ａ　＝ｔ　…１　ｔ　Ｆ　ｐＵ　ｔ　、ｉ＿Ｈ　Ｌ　，Ｋ　＝　ｔ…Ｔ　＋　≮ｌ　Ｆ　ＦＵ　）　＋　．），，７　（　ｉ　．）的分量，具体公　Ｔ　㈨Ｆ．　，Ｍ　。是张量　＝０（Ｕｏ．　），『ｊ（ｃ　．）的分量，　是张量Ｌ＝　ｔ　．）的分量．　为小变形一致性弹塑性切线模量曰＝　）　（　式见［１］中小变形弹塑性一致切线模量Ｄ　＝ｄａ／ｄｔ：．　网篇幅有限，本推导所涉及的张量求导等张量运算不在此作进一步阐述．相关内容将在　另文中作进一步阐述．　下面给出算例来说明本理论的正确性及算法的有效性　５数值算例分析　在奉节中的数值算例均假定硬化函数具有如下形式　＝　（　）＝（ｄ　）［１一ｅｘｐ（一　）］＋　【　＋　【）　维普资讯 http://www.cqvip.com

・３０　固体力学学报　２００２年第２３卷　是初始屈服值，　是最终屈服常数，　．是线性屈服常数，７是指　数硬化系数，Ｋ（　）是等向硬化函数．　例１如图ｌ所示，一个中间带有一个圆洞的板条在长度方向　加均布力，研究其变形情况．由问题的对称性，我们将只计算其四　分之一．按平面应力问题计算．相应数据如下：　几何尺寸：　Ｌ＝３６　０　ｃｎ１．　＝２０（－ｍ　Ｄ＝１０　０　ｃｎｌ，　厚度：１．０　ｃｍ　材料参数：　Ｅ＝２ｏ０　ＧＰａ　¨＝２４０ＧＰａ　ｈ＝１　０　ＧＰａ．　ｙ　＝　＝　＝　Ｌ．　．１　Ｏ　０　Ｏ　２　∞　罔Ｌ橱天参数熳　网格剖分图　加载条件：　Ｍ　在两端加均布力　Ｐ．Ｐ＝１００　ｎ，ｃ　，＾是载荷系数．　本算例采用弧长法来进行跟踪计算．经２　Ｊ步计算，其中间变形图见图２，Ａ点ｒ警向位移　与荷载系数的关系见图３　＝　２　口　∞　Ｃ　亡要　ａＩ第１１冼加载时的变形图（ｂ）第２１改加载时的变形图　ｏｎ　图２塑性变形图　图３　Ａ　竖　位移ｒ　与荷载系数　Ｉ｝匀关系　表１不同加载步不同迭代步时的不平衡力州　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　刘学军等：　有限变形弹塑性理论及　致　算法　表２不同加载步不同迭代步的残余能量值／Ｎ－ｍ　’３１　椰∞∞∞∞∞鲫∞们∞　由表】及表２可以明显看出，此汁算法　有明显的渐近二次收敛率　例２研究一长方形柱上平面受压时的受力变形情况．如图４所示，网格刨分为：－上－，平　面为２　Ｘ　２个网格．：向为３０个网格，采用８节点元　几何参数：　Ａ＝１　ｍ．Ｂ＝１　ｍ．Ｃ＝２　ｍ　物理参数：　Ｅ＝０　２　ＭＰａ．　＝０．３　＝１．０　ｋＰａ　０＝１０，０　ｋＰａ．　ｌ＝０，０　ｋＰａ．　ｈ＝１．０　ｋＰａ．　ｙ＝０　载荷与约束条件：　ＦＮ约束．上端加压力ｐ，并使其　、Ｙ方向约束．上上：方向位移相同　征　薪　删　蛰　鄢　握　００　０　—０　２０　—０　４０　．０　６０　一ｎ８０　—１　００　一Ｉ　２０　—１　４０　－１　６０　顶端鞋向位移¨ｍ　阿４一维示意　图５　＿致性算法的精确解与近似解的埘比　下面．来检验此算法所得解与精确解的近似程度，我们知道．每种塑性算法都不ｒ　能获　得精确解．但在无限小步长情况下的解都应与精确解相一致故率文采用相对很小的加载步　长来代替精确解，而用相对较大的步长计算结果与之相比较，来看其近似程度．对于本算例．　维普资讯 http://www.cqvip.com

３２・　阎体力学学报　２（１０２龟‘第２３卷　本文采用加载步长为Ｐ＝一４００　Ｎ的计算结果来代替精确解，而用加载步长为２５Ｐ＝一　１００００　Ｎ来代表本理论计算结果具体对比如图５所示　很容易看出，本文采用的一致性算法，在步长增大２５倍时．仍能具有极高精度．现将其　巾９步的具体数值及误差分析列于表３　表３误差　６结论　（１）通过引人对数应变，将小变形弹塑性理论有关部分移植到有限变形理论中来．　（２）在一阶近似基础上，推导出了相对于替代方程组基础上的精确的应　更新公　、精　确的一致弹塑性模量、精确的平衡方程及精确的一致弹塑性切线刚度矩阵．由此，形成了一　整套一阶近似意义上的弹塑性有限变形精确表达公式，由于公式的精确性，才能保证解的精　确性．同时，才能体现出牛顿迭代的优势．也就是说在计算过程中能够达到二阶收敛率．　（３）本文中所涉及的对张量函数求导对于推导这套精确的表达公式是非常关键的．但　由于篇幅的限制，无法在本文中展开，将在另文中作详细阐述　参考文献　ｌ　Ｓｉｅｒｎ　Ｊ　Ｃ．Ｔａｙｌｏｒ　Ｒ　Ｌ　Ａ　ｔｅｔｍ￣ｌ　ｎｍｐｐｉｎｇ　ａ］ｇｏｒ￣ｌｈｍ　ｈ１　ｐｌａｎｅ￣ｒｅｓｓ　ｅｌ￣ｔｏ—ｐｌａｓｔｉｃｉｔｙ　ｌｎｔｅｍａｔｉ－ｍａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｎＪｒ　ＮＩＪ—　ｍｅｒｉｃａｌ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　Ｉｎ　Ｅｔｒｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９８６，２２：６４９～６７０　１魂祖健，李明瑞，黄文彬．牛顿选代　致性算法及其在板弹　有限元分析巾的应用力学学报，１９９０．　２２（５）：５７９—５８８　３　Ａｎｎｅ　Ｈｏｇｅｒ．ｔｈｅ　ｓｔｒｅｓ￣ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　ｌｏ　ｌｅｇａｒｉｔｈｍｌｃ　ｓｔｒａｉｎ　也Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．１９８７　１２３　ｃ　１２）：１６４５—１６５６　４　ｅ　Ｐｅｒｉｃ．Ｏｖ，ｅｒ￣Ｄ　Ｒ　Ｊ．Ａｍ￣ｔｅｌ　ｎｎ　ｓｔｒａｈｔ　ｅｋ抽一曲ｓｔＩｃ畸ｈａ￣，ｅｄ　０ｎ　ｋｇａｎ“ｕｎｃ￣ｒａｉｎｓ：　、、　ｔａ如　ｉｓｓｕｅ￣．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　Ｉｎ　Ａｐｌ－ｄｉｅｄ　Ｍｅｅｈａｎｌｃｓ　Ａ．ｎｄ　Ｅｎｇｊｎｅｍｉｎｇ．１９９２．９４：３５—６１　５　Ｌｅｅ　Ｅ　Ｈ　Ｅｌａｓｔｉｃ—ｐｌａｓｐｉｃ　ｄｅｆｕｍｍｆｉｏｎ　ａｔ　ｆｉｎｉｔｅ　ｓｔｒａｉｎｓ　Ｊｏｕｎ￣ｒｌ　ｏｆ　Ａｐｐｈｅｄ　Ｍｅｃｈａｔｄｃｓ，１９６９，ｌ　６　Ｇｒｅｅｎ　Ａ　Ｅ，Ｎａｇｈｄｉ　Ｉ】Ｍ　Ａ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｔｈｅｏ￣ｏｆ　ａｒｔ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｐｌａｓｔｉｃ￣５ｏｎｔｉｎｕｔｔｍ　Ａｒｃ　Ｒａｔ　Ｍｅｘ￣ｈ　Ａ　．１９６５．１８：２５ｌ一　２８Ｉ　７　Ｎｅｎｋａｔ－Ｎａｓｓｅｒ　Ｓ　Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓ咄ｎ　ｎ】ｅａ目】ｒｅｓ　ａｌｔｄ　ｔｈｅｉｒ　ｒａｔｅｓ　ｉｎ　ｉｆｎｉｔｅ　ｄｅｆｉｍｕａｔｌｏｎ　ｅｌａｓｔｏｐｌａａｔｋ　ｉｔｙ　ｌｎｔｅｍａｔｈｍａｌ　￣ｍｒｔｍｌ　Ｏｆ　ｓ０ｌｉｄｓ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．１９７９，ｌ５：ｌ５５～ｌ６６　８　Ｎｅｍａｔ—Ｎ￣＇－ｘ＇ｒ　Ｓ．Ｏｎｆｉｎｉｔｅ，ｒｌｅｆｂｔｍａｔｉｔ￣ｎ　ｅｌａｓｔｉｃ—ｐｌａ．ｓｔｉｃｉｔ￣ｌｎｔｅｒｎａ６ｏＴｍｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　Ｓｏｌｉｄｓ　Ｓｔｅｒｅｔｓ．１９８２．Ｉ　８：８５７～８７２　９　Ｇｒｅｅｎ　Ａ　Ｅ．Ｎａｇｈｄｉ　Ｐ　Ｍ．ＳＤｒｒ　ｒｅｎｍｒｋｓ　ｏｎ　ｅｌｓａｌｉ￣ｐｌａｓｔｉｃ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｔ　ｆｉｎｉｔｅ　ｓｔＩａｉｎ　Ｉｎｌｅｒｎａｔｈｍｎｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｅｎ毋一　ｎｅｅｒｉｎｇ　ｓｃｉｅｎ∽．】９７】．（９）：１２１９—１２２９　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　０（　【ａｎ　Ｊ　Ｗ　刘学军等：　有限变形拌塑眭理论及一敛性算珐　，ＬａⅡｌ【，ＡＩｍｒｄ　Ｆｉｎｉｔｅ　ｄｄｉ，ｍｍｔｈｌｎ　ｍ］ｓｔｉｔｕｔｉｖｅ　ｅｑｔｍｔＪｏｔｔｓ　ｔｏｌｄ　ａ　ｔｉｍＰ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｐｒｏ（－ｅｄｔｔｒｅ　。ｐｌａ　ｔ　ｍｌｉｄｓＣｏｍｐｕｔｅｒ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｉｎ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍｅｃｈｍ￣ｈ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎ　．ｉｓｏｌｍ—　ｐ　Ｅ　。ｈ　ｍＩ　¨Ⅷ，１９９０．７９：１７３～２０２　Ｉ魏祖健，黄文彬，李明瑞等牛顿迭代法求解有限应变弹塑性有限问题的．致性切线模　现代力学　利技进步—＿２，　编：陡逢甘』七京：清华出版丰十，１９９７：１００９～１０１４　ＦＩＮＩＴＥ　ＤＥＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　ＥＬＡＳＴＯ—ＰＬＡＳＴＩＣ　ＴＨＥＯＲＹ　ＢＡＳＥＤ　ｏＮ　ＬＯＧＡＲＩＴＨＭＩＣ　ＳＴＲＡＩＮ　ＡＮＤ　ＣＯＮＳＩＳＴＥＮＴ　ＡＬＧＯＲ１ＴＨＭ　““ｘ“ｅｊｕｎ　¨Ｍｉ　ｇｒｕｉ　Ｈｕａｒ，ｇ　Ｗｅｎｂｉ『＿　ｆ　）Ｂｅ＋ｊｉ　ｇ，ｌ｛ＸＪ０８３　，【咖　枷　如ＬｏＰ，ｒａｇ　，ｃ越舢Ａｇｒｉｃ￣ｄｔｕｍｌ￡　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ａ『＿ａｅｘ￣ｕｒａｔｅ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｅｆｏｎｎａｔｉ。ｎ　ｅｌａｓｈ｝ｌｌａｓｔｉｃ　ｌｈｅｏｒｙ　ｂａｓｅｄ。ｎ　ｔｈ　ｌ。　ｔｈｍｉｃ　ｍｉ　ｎ　ｉｓ　一ｔ　】　ｍ　ｄ　ｆｒｏｍ　ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ　ｄｅｆｏｍｍｔｉｆ１ｎ　ｅｌａｓｔ（。。ｐｌａｓｔｉｔ　ｔｈｅｆ　ｒｙＡ　ｃ。ｎ出ｔｅｒ１１　ａ］ｇｏｒｉｔｈｎ１　ｗｉｔｈ　ｆｉｒ，ｓ－ｔ－ｏｌ￣ｃｌｅｒ　．“　ｃｙ　ｉ　ｄｅｖｅ１。ｐｅｄ・Ｆｉｎａｌｌｙ，￣ｖｅｒａｌ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ㈣ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｆｉｆｃｉｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．　　ｐｉｅｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｔ＿】ｄｅｍｏｌ　ｔＰａｔｅ　ｔｈｅ　Ｖａｌｉｄｉ１ｖ。ｆ　ｆｔｆｌ　ＫｅｙⅥ１啪也　ｆｉｎｉｔｅ　ｅ］ｅｒｒｍｎｔ，ｆｉｎｉｔｅ　ｄｅｆｏｍｍｔｉ。ｎｅｌａｓｔ。一ｐｌａｓｔｉ（　ｌＫ，【　。ｎｓｊｓｋ啪ｔ　ａｌｇｏｒｉｔｈｒＩ】　，