2021-2022学年人教A版高中数学必修一课时达标检测(六) 函数的概念 Word版含解析

一、选择题

1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( ) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1

D．f(x)＝－x

解析：选C 验证C，f(x)＝x＋1. ∵f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2，

∴f(2x)≠2f(x)，即f(x)＝x＋1不满足f(2x)＝2f(x)，故选C. 2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A．f(x)＝x＋1·x－1， g(x)＝x＋1x－1

B．f(x)＝(2x－5)2，g(x)＝2x－5 C．f(x)＝1－x1＋x

x2＋1，g(x)＝x2＋1

D．f(x)＝x4x，g(t)＝

tt2

解析：选D A中，f(x)＝

x＋1·x－1的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝

x＋1x－1的定义域为{x|x≥1

或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝(

2x－5)2的定义域为



xx≥52



，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．C中，f(x)＝1－x

1＋x

x4

x2＋1与g(x)＝x2＋1

的对应关系不同，不相等．D中，f(x)＝x＝

x(x>0)与g(x)＝

tt

2＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同，它们相等．

3．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )

解析：选C A中的值域不是[0,1]，B中的定义域不是[0,1]，D中的图形不是函数的图象． 4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A．y＝x B．y＝

1x C．y＝1

x

D．y＝x2＋1

解析：选B y＝x的值域为[0，＋∞)，y＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋

∞)．

5．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为－25

4，－4，则m的取值范围是( ) A．(0,4] B.－25

4，－4 C.32，3



D.3

2，＋∞

解析：选C 当x＝0，x＝3时，y＝－4， 当x＝32时，y＝－25

4.

∴m∈32，3，选C. 二、填空题

6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________． 解析：由题意3a－1>a，得a>12. 答案：1

2，＋∞ 7．设f(x)＝

11－x

，则f(f(x))＝________. 解析：f(f(x))＝11

x－11－

1＝1－x－1＝x.

1－x

1－x答案：x－1

x(x≠0，且x≠1)

3

8．若函数f(x)＝

x－1

mx2＋x＋3的定义域为R，则m的取值范围为________．

解析：要使原函数有意义，必须mx2＋x＋3≠0，由于函数的定义域是R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数

x恒成立．

当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意． 当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，解得m>1

12. 故综上可知，m的取值范围是



mm>112



. 答案：1

12，＋∞ 三、解答题

9．(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2＋1)的定义域； (2)已知f(x＋1)的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域．

解：(1)∵函数f(x2＋1)中的x2＋1相当于函数f(x)中的x，∴0≤x2＋1≤1， ∴－1≤x2≤0，∴x＝0， ∴f(x2＋1)的定义域为{0}． (2)∵f(

x＋1)的定义域为[0,3]，

∴0≤x≤3，∴1≤

x＋1≤2，

∴f(x)的定义域为[1,2]．

10．试求下列函数的定义域与值域： (1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}； (2)f(x)＝(x－1)2＋1； (3)f(x)＝5x＋4

x－1；

(4)f(x)＝x－x＋1.

解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．

(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}． (3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝5x＋49

x－1＝5＋x－1，所以函数的值域为{y|y≠5}．

(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1， 故函数的定义域是{x|x≥－1}． 设t＝

x＋1，则x＝t2－1(t≥0)，

于是f(t)＝t2－1－t＝t－122－5

4. 又因为t≥0，故f(t)≥－5

4.

所以函数的值域是



y

y≥－54

.

11．已知函数f(x)＝x2＋1，x∈R.

(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值； (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．

解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0； f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0； f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.

(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：由题意得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)， ∴对任意x∈R，总有f(x)＝f(－x)． 12．已知函数f(x)＝x2

1＋x2

. (1)求f(2)＋f12，f(3)＋f13的值； (2)求证：f(x)＋f1x是定值；

(3)求f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2 017)＋f12 017的值． 解：(1)∵f(x)＝x2

1＋x2

，

12

∴f(2)＋f12＝2221＋22＋＝1，

1＋122

1f(3)＋f13＝32321＋32＋1＝1.

1＋32

12

2(2)证明：f(x)＋f1x2＋1x2

xx＝x11＋x2＋1x＝21＋x2＋x2＋1＝x2＋1＝1.

1＋(3)由(2)知f(x)＋f1x＝1， ∴f(2)＋f12＝1，f(3)＋f13＝1， f(4)＋f14＝1，…，f(2 017)＋f12 017

＝1. 11＋…＋f(2 017)＋f1＝2 016. ∴f(2)＋f＋f(3)＋f232 017