知识讲解 物理学中整体法与隔离法

物理学中整体法与隔离法

编稿：李传安 审稿：张金虎

【高考展望】

本专题主要讨论利用整体法与隔离法分析解决物理问题的方法。整体法与隔离法是高中物理的基础知识，是高中物理中处理物理问题的常用方法和重要方法，也是历年高考热点。

整体法与隔离法不仅适用于静力学和牛顿运动定律，而且在动量定理、动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律、能量的转化和守恒定律、热学、电学、光学中均可应用。 【知识升华】

有相互作用的两个物体或两个以上的物体所组成的比较复杂的系统，分析和解答这类问题，确定研究对象是关键。对系统内的物体逐个隔离进行分析的方法称为隔离法；把整个系统作为一个对象进行分析的方法称为整体法。

在解决具体物理问题的时候，整体法的优点是只须分析整个系统与外界的关系，避开了系统内部繁杂的相互作用，更简洁、更本质的展现出物理量间的关系．缺点是无法讨论系统内部的情况。一般来说，能用整体法的时候，优先使用整体法，这样便于减少计算量。隔离法的优点在于能把系统内各个物体所处的状态、物体状态的变化的原因以及物体间相互作用关系分析清楚，能把物体在系统内与其他物体相互作用的内力转化为物体所受的外力，以便应用牛顿第二定律进行求解。 【方法点拨】

隔离法的缺点是涉及的因素多、比较繁杂。一般地说，对于不要求讨论系统内部情况的，首选整体法，解题过程简明、快捷；要讨论系统内部情况的，那么就必须运用隔离法了。实际应用中，隔离法和整体法往往同时交替使用。这种交替使用，往往是解决一些难题的关键和求解基础。 【典型例题】

类型一、整体法和隔离法在平衡状态中的应用

例1、（2016 海南卷）如图，在水平桌面上放置一斜面体P，两长方体物块a和b叠放在P的斜面上，整个系统处于静止状态。若将a和b、b与P、P与桌面之间摩擦力的大小分别用f1、f2和f3表示。则（ ）

A．f1=0，f2≠0，f3≠0 B．f1≠0，f2=0，f3=0 C．f1≠0，f2≠0，f3=0 D．f1≠0，f2≠0，f3≠0

【思路点拨】分别对a、ab以及abP整体进行受力分析，根据平衡条件可明确各研究对象是否受到摩擦力的作用。

【答案】C

【解析】对a物体受力分析如图可知：

a物体受重力、支持力的作用，有沿斜面向下滑动的趋势，因此a受到b向上的摩擦力，

f10；

再对ab物体整体受力分析如图可知：

ab物体受重力、支持力的作用，有沿斜面向下滑动的趋势，因此b受到P向上的摩擦力，f20；

对ab物体及P组成的整体受力如图所示：

由平衡条件可知，整体在水平方向不受外力，f30；故只有C正确，ABD错。 故选C

【总结升华】“整体隔离法”是力学中的重要方法，一定要熟练掌握，注意对于由多个问题组成的系统，不涉及内力时优先考虑以整体为研究对象。 举一反三

【变式】在粗糙水平面上有一个三角形木块，在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量m1和m2的物体P和Q，如图所示．若两物体分别沿左右两斜面匀速下滑过程中，三角形木块静止，则粗糙水平面对三角形木块的下列正确中的是（ ）

A.有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右 B.有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左

C.有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因为m1、m2、θ1、θ2的数值并来给出

D.以上结论都不对 【答案】D 【解析】两小物体虽然是运动的，但只要物体的加速度相同，则多个物体一定可以看作是一个整体处理。将三个物体看作整体，则整体受重力和支持力，因水平方向没有外力，故木块不受地面的摩擦力，故D正确；故选D． 例2、如图，质量为mB=24kg的木板B放在水平地面上，质量为mA=22kg的木箱A放在木板B上。一根轻绳一端拴在天花板上，轻绳与水平方向的夹角为=37° 。 已知木箱A与B之间的动摩擦因数1=0.5 ，现用水平方向大小为200N的力F将木板B从木箱A下面匀速抽出 （sin37°≈0.6 ，cos37°≈0.8 ，重力加速度g取10m/s²），求木块B与地面之间的动摩擦因数2的大小为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】A 【思路点拨】“将木板B从木箱A下面匀速抽出”，说明B所受合力为零，受力平衡。先隔离A求出绳子的拉力，再取整体求木块B与地面之间的动摩擦因数。 【解析】对物体A受力分析如图甲，由题意得 FTcosFf1 ① FN1FTsinmAg ② Ff11FN1 ③ 由①②③得 FT1mAg，代入数据解得FT100N。 cos1sin 对物体A、B整体受力分析如图乙，由题意得 FTcosFf2F ④ FN2FTsin(mAmB)g ⑤ Ff22FN2 ⑥ 由④⑤⑥得 2FFTcos (mAmB)gFTsin

代入数据解得20.3。故选项A正确。

【总结升华】（1）在分析两个或两个以上物体间的相互作用时，一般采用整体法与隔离法进行分析。（2）采用整体法进行受力分析时，要注意各个物体的状态应该相同。本题中如果用力将木板B从木箱A下面匀加速抽出，显然不再是平衡状态了，状态发生了变化 ，就不能用整体法求解了。（3）当直接分析一个物体的受力不方便时，可转移研究对象，先分析另一个物体的受力，再根据牛顿第三定律分析该物体。 举一反三

【变式1】如图所示，轻绳的一端系在质量为m物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套子在粗糙水平杆MN上，现用水平力F拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动，则在这一过程中，水平拉力F、环与杆的摩擦力Ff和环对杆的压力FN的变化情况是（ ）

A．F逐渐增大，Ff保持不变，FN逐渐增大 B．F逐渐增大，Ff逐渐增大，FN保持不变 C．F逐渐减小，Ff逐渐增大，FN逐渐减小 D．F逐渐减小，Ff逐渐减小，FN保持不变 【答案】D

【解析】竖直方向受力较少，整体在竖直方向受两个力：重力竖直向下，环对杆的支持力必然向上，FN=mg，所以环对杆的压力FN保持不变。 再隔离开来看水平方向，作受力图

θ减小，竖直方向：FTcosmg，绳拉力FT减小； 水平方向：FFTsin，则力 F减小；

再用整体法看水平方向， F=Ff ，所以摩擦力Ff逐渐减小。 故正确选项为D。

【高清课堂：牛顿第一定律、牛顿第三定律例3】

【变式2】如图所示，四块质量均为m的木块A、B、C、D被两块相同的竖直木板静止夹住。则（ ）

A. B施于A的静摩擦力大小为mg，方向向下

B.木板施于D的静摩擦力大小为2mg, 方向向下 C. C受到静摩擦力的合力大小为mg，方向向上 D. C施于B的静摩擦力为0 【答案】ACD

【解析】 首先对四个物体整体分析，受力如图1，f2mg，木板施于D的静摩擦力大小为2mg， 方向向上，B错。对A，取A为研究对象受力如图2，A要平衡，右侧必然受向下的静摩擦力（等于mg），A正确。

对C选项，C处于静止，合力为零，受力如图3，C受到静摩擦力的合力大小应等于C的重力，方向向上。C正确。

对D选项，分析B受力，受力如图4，B受重力，A对它的摩擦力大小为mg，方向向上， 可见B已经平衡了，所以C对B没有静摩擦力，D正确。 类型二、整体法和隔离法在动力学问题中的应用

由于系统内物体间没有相对运动，即整体内每个物体都具有相同的速度和加速度，这是整体所受的合力提供整体运动的加速度。这种情况利用整体法，更容易把握整体的受力情况和整体的运动特点。对于“连接体”求相互作用力问题，先利用整体法求出加速度，再利用隔离法求出相互作用力。

例3、如图所示光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是mg，现用水平拉力F拉其中一个质量为2m的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为（ ）

A.

3mg5 B.

3mg 4 C.

3mg D. 3mg2

【答案】B

【思路点拨】求“轻绳对m的最大拉力”是典型的“连接体”问题，应该应用整体法和隔离法求解。

【解析】先利用整体法：以四个木块为研究对象，由牛顿第二定律得F6ma ① 再利用隔离法：绳的拉力最大时，m与2m间的摩擦力刚好为最大静摩擦力mg, 以2m（右边的）为研究对象，受力图如图，则Fmg2ma ②

由于根据① ②不能求出轻绳对m的最大拉力， 再隔离右上方的m，对其进行受力分析如图

有

mgTma ③，联立以上三式得Tmg 故B正确。

34【总结升华】应明确解题思路：应用整体法和隔离法求解；理解“最大拉力”与“最大静摩擦力”相对应。 举一反三

【变式1】如图所示，水平地面上两个完全相同的物体A和B紧靠在一起，在水平推力F的作用下运动，FAB代表A、B间的作用力，则（ ）

A.若地面是完全光滑的，则FAB=F B.若地面是完全光滑的，则FAB1F 2C.若地面的动摩擦因数为μ，则FAB=F D.若地面的动摩擦因数为μ，则FAB1F 2【答案】BD

【解析】设物体的质量为m，且与地面间有摩擦，A、B加速度相同，以整体为研究对象， 由牛顿第二定律有F2mg2ma， 隔离B，由牛顿第二定律有FABmgma 联立解得FAB1F. 21F.故选项BD正确。 2若地面是完全光滑的，同理FAB【变式2】光滑的水平面上叠放有质量分别为m和m/2的两木块。下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组成的系统象一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（ ）

A．

2f3f4ff B． C． D．

kkkk

【答案】C

【解析】物体做简谐运动，取整体为研究对象，弹簧的弹力充当回复力。取上面的小物块为研究对象，则是由静摩擦力充当回复力。当两物体间的摩擦力达到最大静摩擦力时，两物体达到了简谐运动的最大振幅。又因为两个物体具有共同的加速度，根据牛顿第二定律对小物体有f113f，答案为C。 ma，取整体有kx(mm)a，两式联立可得x22k类型三、整体法和隔离法在动能定理、能量转化和守恒定律中的应用

例4、（2015 福建卷）如图，质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点，一质量为m的滑块在小车上从A点静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g。

（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力；

（2）若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车，已知滑块质量mM,在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的22倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，求： ①滑块运动过程中，小车的最大速度vm； ②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s。

【答案】：（1）3mg （2）①vm1gR②s=L/3 3

【解析】（1）由图知，滑块运动到B点时对小车的压力最大，从A到B，根据动能定理：

mgR在B点：

12mvB0 2

2vBFNmgm

R联立解得： FN=3mg，根据牛顿第三定律得，滑块对小车的最大压力为3mg （2）①若不固定小车， 滑块到达B点时，小车的速度最大，根据动量守恒可得：

mv′=Mvm

从A到B，根据能量守恒：

112 mgRmv2Mvm22联立解得：vm1gR 3②设滑块到C处时小车的速度为v，则滑块的速度为2v，根据能量守恒：

mgR解得：v11m(2v)2Mv2mgL 2211gRgL 33小车的加速度：a22根据vmv2as

mgM1g 2解得：s=L/3

举一反三 【变式】如图所示，A、B是位于水平面上的质量相等的小滑块，离墙壁距离分别为2L和L，与水平面间的动摩擦因数均为μ，今给A以某一向左的初速度使A向左滑动，假定A、B之间及B与墙壁之间的碰撞时间很短，且均无能量损失，若要使A始终不向右滑动，A的初速度最大不超过多大？

【答案】v06gL

【解析】A以v0向左作匀减速运动，与B碰后速度交换，A静止，B以v0向左作匀减速运动，与墙碰后向右作匀减速运动，若B运动到A处速度刚好减为零，则v0就是使A始终不向右滑动的最大速度．

用整体法考虑，研究对象取A、B组成的系统，研究过程取从A开始运动到B刚好停止的全过程．由动能定理得

12 mgLmg2L0mv02解得v06gL 说明：①本题整体综合分析了研究对象和运动的全过程．②动能定理（以及动量定理）一般适用于一个物体，但也适用于一个物体系．利用动能定理整体法解题时，要注意系统内力做功之和必须为零，否则系统外力做功之和不等于系统的动能增量． 类型四、整体法和隔离法在动量定理、动量守恒定律中的应用

当所求的物理量只涉及运动的全过程而不必分析某一阶段的运动情况时，可通过整体研究运动的全过程解决问题。运用动能定理、动量定理和动量守恒时，只需分析运动的初态和末态，而不必追究运动过程的细节，这对于处理变力问题及难以分析运动过程和寻找规律的问题，显示出极大的优越性。

例5、质量为m的人原来静止在甲船上，乙船上无人，甲、乙两船质量均为M并静止在水平面上。现甲船上的人水平跳到乙船上，而后再跳回甲船，求两船速率之比v甲:v乙. 【答案】M:(Mm)

【思路点拨】本题涉及的物理过程有：①人跳离甲船，②人跳到乙船，③人跳离乙船， ④人跳回甲船，每个过程都可用动量守恒定律列方程，如此求解，实在麻烦。若用整体思维方法，把人和甲、乙两船当成整体，对从起跳到跳回的4个过程统筹分析，当成一个大过程，则该大过程仍满足动量守恒定律。

【解析】把人和甲、乙两船当成整体，系统的动量守恒 初动量：人跳离甲船前，都静止，总动量为零 末动量：人与甲船一起运动，动量为(Mm)v甲

乙船的动量为-Mv乙（乙船的运动方向与甲船相反） 根据动量守恒定律0(Mm)v甲Mv乙 解得v甲:v乙=M:(Mm)

【总结升华】当所求的物理量只涉及运动的全过程时，可对整个运动过程进行研究，类似于对全过程应用动能定理、动量定理。 举一反三

【变式1】如图所示，甲、乙两船的总质量（包括船、人和货物）分别为10m、12m，两船沿同一直线同一方向运动，速度分别为2v0、v0。为避免两船相撞， 乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货物的最小速度。（不计水的阻力）

【答案】4v0

【解析】将两船隔离后取系统分析求解：

设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为vmin，抛出货物后船的速度为v1，甲船上的人接到货物后船的速度为v2，设船运动的方向（向右）为正方向，由动量守恒定律得 对乙船和抛出的货物组成的系统 12mv011mv1mvmin ① 对甲船和抛过来的货物组成的系统 10m2v0mvmin11mv2 ② 两船相撞应满足 v1v2 ③ 联立①②③式 vmin4v0 ④ 应用整体法和隔离法求解：

避免两船相撞的临界条件是：两船速度相同

设向右为正方向，两船速度为v，对整体应用动量守恒定律 10m2v012mv011mv11mv 解得两船速度为v16v0 11在隔离乙船，设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为vmin，应用动量守恒定律

12mv011mvmvmin

解得vmin4v0.

对动量守恒中“避免相撞”问题，可以应用整体法和隔离法求解，但与纯粹隔离后取系统分析解题相比较并没有优势，所以老师都不要求用整体法列方程求解。

【变式2】 如图所示，小车质量M＝4kg，车内壁ABC为一半径R＝2.5m的半圆，车左侧紧靠墙壁．质量m＝1kg的小滑块，从距车壁A点正上方高度为R的D点，由静止沿车内壁滑下．不计一切摩擦，取g=10m/s2．求滑块经过车右端点C时相对于地面的速度大小是多少？

【解析】小滑块由D运动至B为下落过程，由B运动至C为上升过程，在车的半圆内壁中运动时，m受变力作用，故拟考虑从功和能、动量的角度求解，并由此确定相应的研究对象。 小滑块从D运动至B的过程中，只有重力做功，故机械能守恒，为此取小滑块和地球组成的系统为研究对象，mg2R12mvB 2解得vB2gR2102.5m/s10m/s

小滑块从B运动至C的过程中，与车发生相互作用，使车向右运动．由于在水平方向上无外力作用，故系统的动量守恒，为此取小滑块和小车组成的系统为研究对象，且设小滑块运动至C点时的系统的水平速度为vCx，则有mvB(Mm)vCx 解得vCxm1vB10m/s2m/s

Mm41小滑块滑至C处后，将有沿切向方向（即竖直方向）飞出的效果，设小滑块竖直方向的速度为vCy，为求vCy，可取小滑块从D至C的全过程来研究，因只有重力做功，故机械能守恒，为此取小滑块和地球组成的系统为研究对象， 有 mgR12122，代入数据解得vCymvCy(mM)vCx30.

22 小滑块在C处相对于地面的速度为水平方向速度vCx和竖直方向速度vCy的合速度， 即 vC22vCxvCy2230m/s5.8m/s.

说明：本题综合优化运用了隔离法和整体法．从研究的对象看，由于机械能守恒，故用

整体法取小滑块和地球组成的系统为研究对象；由于动量守恒，故用整体法取小滑块和小车组成的系统为研究对象．从研究的运动过程看，为避免处理变力问题，故用隔离法取D→B的过程求解vB；为求解vCx，用隔离法取B→C的过程．为求解vCy，用整体法取D→C的全过程．最后用整体法思想，从全局考虑，将vCx和vCy合成小滑块在C处对地的速度vC。 类型五、整体法和隔离法在电路分析中的应用

例6、在如图所示电路中，当滑线变阻器的滑动触片P向b端移动时，电压表、电流表读数变化情况是 （ ）

A．电压表读数增大、电流表读数减小 B．电压表和电流表读数都增大 C．电压表和电流表读数都减小

D．电压表读数减小、电流表读数增大 【答案】A

【思路点拨】 P的移动，影响R3（局部），从而影响总电阻R、干路电流I、路端电压U（整体），导致各部分电路（局部）上的特性发生变化．

【解析】 对于R3，当P向b端移动时，接入电路的R3变大，使R2和R3的并联电阻R23变大．从而影响整个电路，外电阻R变大．干路电流强度（I（UEIr）变大． 所以电压表读数增大． 对于R1段电路，其两端电压（U1IR1）变小．

对于R2和R3，并联电路两端的电压（U23UU1）变大． 对于R2段电路，通过的电流强度(I2E）变小．路端电压 RrU23)变大。 R2对于电流表和R3所在的一段电路，通过的电流强度（I3II2）变小，所以电流表的读数减小．综上分析，正确选项为A。

【总结升华】本题交互运用了隔离法和整体法：对R3、U1、U23、I2、I3的分析，必须将有关的部分电路从整体电路上隔离出来．对R、I、U的分析，必须对整个电路加以考虑。 举一反三

【变式】如图所示电路，电源内阻不可忽略。开关S闭合后，在变阻器R0的滑动端向下滑动的过程中（ ）

A．电压表与电流表的示数都减小 B．电压表与电流表的示数都增大

C．电压表的示数增大，电流表的示数减小 D．电压表的示数减小，电流表的示数增大。 【答案】A

类型六、整体法和隔离法在热学中的应用

例7、一个圆筒形气缸静置于地面上，如图所示，气缸质量为M，活塞（连同手柄）的质量为m，气缸内不得横截面积为S，大气压强为P0，平衡时气缸容积为V。现用手握住手柄缓慢上提，设气缸足够长，在整个上提过程中气体温度保持不变，并不计气缸内气体的质量及活塞与气缸壁间的摩擦。求将气缸刚提离地面时活塞上升的距离。

【答案】L

V(Mm)g

S(p0SMg)【思路点拨】取活塞为研究对象，根据平衡条件求出气缸内气体的压强p1；当气缸刚要离开地面时，再取气缸为研究对象，根据平衡条件求出气缸内气体压强p2；由于初、末状态的变化过程中，缸内气体的质量和温度都保持不变，取气缸内气体为研究对象，根据玻意耳定律列方程求出活塞上升的距离。

【解析】设开始状态气缸内气体的压强为p1，气缸刚要离开地面时气缸内气体压强为p2，体积为V2。开始时，取活塞为研究对象，活塞受到重力mg、大气压强的压力p0S和缸内气 体的压力p1S而达到平衡，根据平衡条件得：p1Sp0Smg，则 p1p0mg. S 当气缸刚要离开地面时，取气缸为研究对象，气缸体受到重力Mg、外面大气压力p0S和缸内气体压强的压力p2S作用而平衡， 则 p2SMgp0S 得p2p0Mg. S 由于初、末状态的变化过程中，缸内气体的质量和温度都保持不变，取气缸内气体为研究对象，设活塞上升的距离为L，V1V，V2VLS 根据玻意耳定律有：p1V1p2V2， 即 (p0mgMg)V(p0)(VLS) SSV(Mm)g. S(p0SMg)解得活塞上升的距离为L【总结升华】取活塞为研究对象，就是把活塞隔离出来，分析其受力，取气缸为研究对象，就是把气缸隔离出来，分析其受力，本题仍然可以认为是平衡问题。 举一反三

【变式】如图所示，一圆筒形气缸静置于地面上，气缸筒的质量为M，活塞（连同手柄）的质量为m，气缸内部的横截面积为S，大气压强为P0。现用手握塞手柄缓慢向上提，不计气缸内气体的重量及活塞与气缸壁间的摩擦，若将气缸刚提离地面时气缸内气体的压强为P、

手对活塞手柄竖直向上的作用力为F，则（ ）

A． PP0mg，Fmg SB．PP0mg，FP0S(mM)g SMg，F(mM)g SMg，FMg SC．PP0 D．PP0【答案】C

【解析】此题中的活塞和气缸处于平衡状态，以活塞为对象，受力分析如图，由平衡条件得， FPSmgP0S ① 再以活塞和气缸整体为对象，则有F(mM)g ② 由①②式解得PP0

Mg，故选项C正确。 S