第十一章曲线积分与曲面积分

第十一章曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分 积分类型 计算方法 典型例题 参数法（转化为定积分） 第一类曲线积分 （1）L:y(x) IIf(x,y)ds f((t),(t))'2(t)'2(t)dt L曲形构件的质量 （2）L:质量=线密度弧长 bx(t)2 If(x,y(x))1y'(x)dx (t)ay(t)（3）rr()xr()cos()L: yr()sinP189-例1 P190－3 If(r()cos,r()sin)r2()r'2()d  平面第二类曲线积分 （1） 参数法（转化为定积分） x(t)L:(t单调地从到) y(t)P196-例1、例2、例3、例4 LPdxQdy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt （2）利用格林公式（转化为二重积分） 条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D） ②P，Q具有一阶连续偏导数 结论：LPdxQdy(DQP)dxdy xyP205－例4 P214-5(1)(4) IPdxQdy L 变力沿曲线所做的功 满足条件直接应用应用：有瑕点，挖洞 不是封闭曲线，添加辅助线（3）利用路径无关定理（特殊路径法） QP ②PdxQdy0 等价条件：①Lxy③PdxQdy与路径无关，与起点、终点有关 LP211-例5、例6、例7 PdxQdy具有原函数u(x,y) ④（特殊路径法，偏积分法，凑微分法） （4）两类曲线积分的联系 IPdxQdy(PcosQcos)ds LL 空间第二类曲线积分 L（1）参数法（转化为定积分） PdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](t) Q[(t),(t),(t)](t)  R[(t),(t),(t)](t)}dt条件：①L封闭，分段光滑，有向 ②P，Q，R具有一阶连续偏导数 IPdxQdyRdz（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分） 变力沿曲线所做的功 应用：第一类曲面积分 投影法 PdxQdyRdzL结论： QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxy P240-例1 满足条件直接应用不是封闭曲线，添加辅助线If(x,y,z)dv：zz(x,y) 投影到xoy面 2If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y))1zx2zydxdy Dxy曲面薄片的质量 质量=面密度面积 P217-例1、例2 类似的还有投影到yoz面和zox面的公式 （1）投影法 1Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz ○ Dyz ：zz(x,y)，为的法向量与x轴的夹角 第二类曲面积分 前侧取“+”，cos0；后侧取“”，cos0 2Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx ○ IPdydzQdzdxRDyzP226-例2 流体流向曲面一侧的流量 ：yy(x,z)，为的法向量与y轴的夹角 右侧取“+”，cos0；左侧取“”，cos0 3QdxdyQ(x,y,z(x,y))dxdy ○Dyz：xx(y,z)，为的法向量与x轴的夹角 上侧取“+”， cos0；下侧取“”，cos0 （2）高斯公式 右手法则取定的侧 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧 条件：① ②P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论：PdydzQdzdzRdxdy(PQR) xyzP231-例1、例2 满足条件直接应用应用： 不是封闭曲面，添加辅助面（3）两类曲面积分之间的联系 PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS P228-例3 转换投影法：dydz(

所有类型的积分：

z)dxdyxdzdx(z)dxdy y1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限； ○

2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； ○

3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。 ○