上海市2013年高考一轮复习—幂函数、指数函数与对数函数1

知识梳理

考点1、幂、指数、对数运算 1、分数指数幂：amna;anmmn1nam(a0,m,nN*,n1)

2、指数与对数：（1）指数式与对数式的关系abNlogaNb(a0,a1,N0) （2）指数运算和对数运算的性质： ①指数运算性质：aa=amn

mnannm ；(a)a ；(ab)ab；ma；

amnmnnnn②对数运算性质：loga(MN)logaMlogaN；logaMlogaMlogaNN；

logaMNNlogaM；

③对数的换底公式及恒等式：

malogaNN；logNlogbN；logb1；lognNmlogaN

aaanlogbalogba考点2、幂函数、指数函数与对数函数

一、幂函数的定义 1、

形如：yxR,为常数的函数叫幂函数。

2、幂函数的图象与性质

(1)图象过点(1,1)，(2)当为奇数时，是奇函数，当为偶数时，是偶函数，(4)掌握8类常见的幂函数的图象：y=x0,y=x3图象不经过第四象限。y=x,y=x,y=x,y=x1,y=x2,

31223,y=x2,

二、指数函数

1、定义：形如y=a（a>0,且a≠1）的函数叫做指数函数。 2、指数函数y=a（a>0,且a≠1）的图象和性质：

xx

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图象 a>1 01、定义：形如y=logax (a>0,a≠1)的函数叫做对数函数。 2、对数函数的图象与性质： 图象 a>1 0对数函数：ylogax(a0,a1)图象恒过点(1,0)，指数函数

yax(a0,a1)与对数函数

ylogax

(a0,a1)互为反函数，其图象关于直线yx对称，单调性与a的值有关，在解

题中，往往要对a分a1和0a1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。

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考点1、幂、指数、对数运算 例1.计算下列各式的值

1⑴(21)2(9.6)0(8)3(3)224272 ; ⑵ log4327lg25lg47log723.

例2.1、① ⑤

yx2312； ②

yx4； ③yx213； ④

yx1；

32yx； ⑥

yx；⑦

yx12；⑧

yx。

（1）画出以上函数的图像

（2）选出分别满足下列的函数的序号： 1）满足过原点且递增；

2）不过原点且递减； 3）关于

y轴对称且与坐标轴无交点

4）关于原点对称，过原点； 5）关于原点对称，不过原点。

2.（1）若幂函数

（2）幂函数

考点2、定义域、值域问题 例1.（1）函数y＝（x－2x）（2）.（3）.

2

y(m3m3)x2m2m2的图象与坐标轴无交点，求m；

f(x)xmm2(mZ)是偶函数，且在0,上是减函数，求f(x)的解析式；

2－12的定义域是__________；

ylgxlg(53x)的定义域为____________；

y21x3的值域为____________；

12

（4）.函数y＝log(x－6x＋17)的定义域为___________；值域为____________。

22

（5）.若函数y=log2（kx+4kx+3）的定义域为R，则实数k的取值范围是________。

（6）若函数y=lg（ax+2x+1）的值域为R，则实数a的取值范围为________。

2

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xxy4323的值域为1,7，则x的范围是 （ ）

（7）已知函数

（A）

2,4 （B）(,0) （C）(0,1)2,4 （D）,01,2

f(x)3x(0x≤2)的反函数的定义域为（ ）

B．(1，9]

C．(0，1)

D．[9，)

（理）函数

A．(0，)

考点3、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质 例1（1）若loga2（A）0a（2）xlogb20,则 （ ）

b1 （B）0ba1 （C）ab1 （D）ba1

1,2时，不等式(x1)2logax恒成立，则a的取值范围是 （ ）

11,2 （D）,2

2（A）(0,1) （B）(1,2) （C）

（3）设

2f(x)lg(a)是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是（ ）

1x(1,)

A．(1,0) B．(0,1) C．(,0) D．(,0)（4）函数

ylog2x42(x0)的反函数是（ ）

A.C.

y4x2x1(x2) B.y4x2x1(x1) y4x2x2(x2) D.y4x2x2(x1)

x1（5）已知函数ya（a0且a1）的图象如图，则函数yax的图象可能是（ ）

例2、比较大小 （1）0.40.220.221.6 （2）log0.10.4log10.42log30.4lg0.4

（3）a

b,ab,aa 其中0ab1

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例3、求下列函数的单调区间及值域:

(1)

y13x25x； (2)y124xx；

（3）y＝log2(x－6x＋5) (4)y ＝x2

34

例4、要使函数

例5、讨论函数y ＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性。 练习： （1）函数

45y12x4xa在x,1上y0恒成立。求a的取值范围。

f(x)log5(2x1)的单调增区间是_______________；

1（2）幂函数的图象过点(2,4), 则它的单调递增区间是_______________；

（3）

f(x)为奇函数且x0时，f(x)10x，当x0时，解析式为____________

axya(a0,a1)在1,2上最大值比最小值大2，则a_________

（4）函数

（5）方程9x63x70的解是_________。

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1（6）函数y2（7）log21x2|x|2的值域是

10，则x________ 4x1

（8）函数f(x)a（9）将函数

1(a0,a1)的图象恒过定点 ．

ylog2x的图象向左平移一个单位，得到图象C，再将C向上平移一个单位得到图象C，

1

1

2

则C2的解析式为_____ __。 （10）函数

若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如右图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( )

（11）函数

y3x211x0的反函数是 ．

ylog2ax1(a0)图象的对称轴为x2，则a为 （ ）

11 （A）2 （B）2 （C）2 （D）2

（12）函数 A

f(x)|logax|(a0且a1)的单调递增区间为 ( )

0,a B 0, C 0,1 D 1,

f(x)lg(2xb)（b为常数）x1,时，f(x)0恒成立，则（ ）

，若

（13）函数

（A）b1 （B）b1 （C）b1 （D）b1

（14）若（A）a2a()x,bx2,clog2x333，当x1时，a,b,c的大小关系为 （ ）

bc （B）cab （C）cba （D）acb

f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x1时，f(x)=3x1，则有

(理)设函数（ ）

132231f()f()f() B．f()f()f() 323323213321 C．f()f()f() D． f()f()f()

332233A．

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（15）已知a>0且a≠1，则在同一坐标系中，函数y＝a和y＝loga(－x)的图象可能( )

（理）函数

－xye|lnx||x1|的图象大致是（ ）

y （16）如图，曲线c1, c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象， 那么一定有（ ）

A．nn>0 D．n>m>0

xxxx(1)ya,(2)yb,(3)yc,(4)yd（17）如图为指数函数，则

c1c20xy a b c d a,b,c,d（A）a与1的大小关系为 （ ）

b1cd （B）ba1dc

O （C）1abcd （D）ab1dc

xya(b1)（18）函数

x

(a0,a1)的图象不经过第二象限，则有 （ ）

（A）

a1,b1 （B）0a1,b0 （C）0a1,b0 （D）a1,b0

（19）下列命题中正确的是（ ）

yx0A．当时，函数的图象是一条直线

B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C．幂函数的D．若幂函数

yxyx 图象不可能在第四象限内

为奇函数，则在定义域内是增函数

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1X（20）若函数f(x)=21, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( )

(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 （理）函数

yex的图象（ ）

A．与yexx的图象关于y轴对称 B．与ye的图象关于坐标原点对称 C．与yex的图象关于y轴对称 D．与yex的图象关于坐标原点对称

（21）已知函数f(x)lg1x1x,若f(a)12,则f(a)（ ）

A．

112 B．－

2 C．2 D．－2 （22）若函数y2x1m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是 （ （A）m2 （B）m2 （C）m1 （D）m1

（23）若log2a(a1)loga2a0，则a的取值范围是 （ ）

（A）(0,1) （B）(0,112) （C）(2,1) （D）(1,)

考点4、幂函数、指数函数、对数函数性质的综合问题

2例1.已知f（logax）=

a(x1)，其中x(a21)a＞0，且a≠1．

（1）求f（x）； （2）求证：f（x）是奇函数； （3）求证：f（x）在R上为增函数．（理）已知函数f(x)1f(1x)log2x。

（1）求函数f(x)的解析式；（2）求f(2)的值；（3）解方程f(x)f(2)。

例2..设函数f(x)logxx2(ab)且f(1)1,f(2)log212

（1） 求a,b的值； （2） 当x1,2时，求f(x)最大值

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）

例3..已知函数（1） （2）

例4.已知函数（1） 若

f(x)在定义域1,1上是减函数，且f(a1)f(1a2)

求a的取值范围； 解不等式：

logaax1loga1.

f(x)2x1的反函数为f1(x),g(x)log4(3x1)

f1(x)g(x)，求x的取值范围D。

（2） 设H(x)

g(x)11f(x)，当xD时，求函数H(x)的值域 2练习：

1．已知函数y＝loga(ax－x)在区间[2,4]上是增函数，则实数a的取值范围是( )

111A．(，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(，1) D．(0，)

248

2.设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则( ) A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a

x＋3

3．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点( )

10

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

1b4．若log2a＜0，()＞1，则( )

2

A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0

2

5．若不等式x－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为( ) A．[0,1) B．(0,1) C．[0,1] D．(－1,0] （理）若A={xZ2

|222x8}，B={xR||log2x|1}，则A(CRB)的元素个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6.若

f(x3)(x6)f(x)，则f(1)的值为 （ ）

log2x(x6) A 1 B 2 C 3 D 4

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7.（理）对于函数①三个命题的真假： 命题甲：命题乙：命题丙：

f(x)lg(x21)，②f(x)(x2)2，③f(x)cos(x2)，判断如下

f(x2)是偶函数；

f(x)在(，)上是减函数，在(2，)上是增函数；

f(x2)f(x)在(，)上是增函数．

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）

A．①③ B．①② C．③ D．② 8.函数

f(x)=1log2x与g(x)=2x1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）

9.给出下列四个命题： ①函数

yax（a0且a1）与函数ylogaax（a0且a1）的定义域相同； yx3和y3x的值域相同；

都是奇函数；

②函数

(12x)211③函数yx与y221x2x④函数

y(x1)2与y2x1在区间[0,)上都是增函数。

其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上） 10、设a 11、若

0,a1，如果函数ya2x2ax1在1,1上的最大值为14，求a的值。

13f(x)loga(ax2x)在x[1,]时恒正，求a的范围。

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