第三章可逆矩阵二、逆矩阵的概念和性质定义1.1 对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B使得AB=BA=E,则称方阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵,记作A−1.可逆矩阵称为非奇异矩阵，不可逆方阵称为奇异矩阵.1.2 逆矩阵的运算性质性质1可逆矩阵的逆阵是惟一的.证明:设A是可逆矩阵,若设B和C是A的逆矩阵,则有AB=BA=E,AC=CA=E,可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C.所以A的逆矩阵是唯一的,即B=C=A−1.§1 可逆矩阵的定义与性质一、概念的引入在数的运算中,当数a≠0时,有aa−1=a−1a=1,其中a−1=1a为a的倒数(或称a的逆);在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的乘法运算中的1,那么对于方阵A,如果存在一个矩阵B,使得AB=BA=E,则矩阵B 称为A的逆矩阵或逆阵.例设A=⎛⎜1−1⎞⎝11⎟⎠,B=⎛⎜1212⎞⎝−1212⎟⎠,由于AB=BA=E,故B是A的逆矩阵.性质2若A可逆,则A−1亦可逆,且(A−1)−1=A.(利用定义证明)性质3若A可逆,数λ≠0,则λA可逆,且(λA)−1=1λA−1(利用定义证明)1性质4若A可逆,则AT亦可逆,且(AT)−1=(A−1)T.证明AT(A−1)T=(A−1A)T=ET=E同理可得(A−1)TAT=E.故(AT)−1=(A−1)T.(利用定义证明)推广(A−1=A−1−1−11A2LAm)mLA2A1.(Ai可逆)另外,当A可逆时,规定A−k=(A−1)k.若A可逆,m为正整数时,Am也可逆,且(Am)−1=A−m=(A−1)m.65-3利用定义证明已知n阶矩阵A满足A3=O,证明:(E−A)−1=(E+A+A2).证明: 由于 (E−A)(E+A+A2)=E+A+A2− A−A2−A3=E−A3=E−O=E，同理(E+A+A2)(E−A)=E 故命题成立.性质5(AB)−1=B−1A−1,A,B可逆.利用定义证明(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AEA−1=AA−1=E同理 (B−1A−1)(AB)=E故(AB)−1=B−1A−1.课堂练习P64-3,465-4设A为对称矩阵且可逆,试证A−1也为对称矩阵. 利用A对称⇔AT=A证明:由A对称，有AT=A.易知(A−1)T=(AT)−1=A−1. 故A−1为对称矩阵.2§2 方阵可逆的充要条件与逆矩阵计算定义2.1行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵⎛⎜A11A21LAn1⎞A∗=⎜A12A称为矩阵A⎜LA⎟22n2⎟的伴随矩阵.⎜⎜LLLL⎟⎝AA⎟⎟1n2nLAnn⎠有用的结论若An=(aij)满足aij=A*ij,则A=AT.证明⎡⎢a11a12La1n⎤⎥⎡A11A21LAn1⎤AA*=⎢a21a22La⎢2n⎢⎥⎢A12A⎥22LAn2⎥⎢MMM⎥MM⎥⎣an1an2a⎥⎢⎢Mnn⎦⎣A1nA⎥2nAnn⎦⎡⎢A⎤A⎥ =⎢⎢⎥⎥=AE,同理A*A=AE.⎢O⎢⎣A⎥⎥⎦例 求A=⎛⎜ab⎜⎞⎝cd⎟⎟⎠的伴随矩阵A*.解:A*=⎛⎜d−b⎜⎞⎝−ca⎟⎟⎠.定理2.1设A为n阶方阵,A∗是A的伴随矩阵,则AA∗=A∗A=AE.定理2.2方阵A可逆的充要条件是A≠0，且 A−1=1AA*，其中A∗为矩阵A的伴随矩阵.注:定理2.2不仅给出了A可逆的充要条件,而且提供了一种求A逆的方法.3证明若A可逆，即有A−1使AA−1=E.副产品1故AA−1=A⋅A−1=E=1,所以A≠0.A−1=A反之,当A≠0时,副产品∗∗AA∗=A∗A=AE⇒AA=AA=(A*)−1=AAAAE,按逆矩阵的定义得,A可逆,且A−1=A∗A.副产品A*=AA−1同理可得A21=6,A22=−6,A23=2,A31=−4,A32=5,A33=−2,⎛26−4⎞得A∗=⎜⎜−3−65⎟⎜⎟,⎝22−2⎟⎠故⎛A−1=1AA∗=1⎜26−4⎞2⎜−3−65⎟⎛⎜13−2⎞⎜−32−352⎟⎟=⎟.⎜⎝22−2⎟⎠⎜⎝11−1⎟⎠定理2.3 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是存在n阶矩阵B,使AB=E(或BA=E),且当A可逆时,B=A-1. 推论2.1 对于n阶矩阵A,B,只要有AB=E,则A,B都可逆,且互为逆阵. (弱化了定义的要求)⎛例2.1求方阵A=⎜123⎞⎜221⎟⎜⎟的逆矩阵.⎝343⎟⎠123解QA=221=2,∴A−1存在.343A2111=2143=2,A12=−33=−3,A13=2,例 设A=⎛⎜ab⎜⎞−1⎝cd⎟⎟,⎠若ad−bc≠0,求A.解:A−1=A*1⎛A=ad−bc⎜d−b⎜⎞⎝−ca⎟⎟⎠.⎛27⎞−1如 ⎜⎜1⎛4−⎝−34⎟⎟⎠=29⎜7⎜⎞⎝32⎟⎟⎠逆矩阵的求法1. 方阵A可逆的充分必要条件是A≠0.若矩阵A可逆,A−1=A∗A.2. 方阵A可逆的充分必要条件是存在n阶 矩阵B,使AB=E. 当A可逆时,B=A−1.3. 初等变换法(稍后讲)4例2.2 已知B=(E+A)−1(E−A),求(B+E)−1. 证明： 由B=(E+A)−1(E−A),得 (E+A)B=E−A，B+AB+A−E=0,A(B+E)+B−E=0,A(B+E)+B+E=2E,(A+E)(B+E)=2E, A+E2(B+E)=2E,(B+E)−1=12(A+E).P72-A3设方阵A满足方程A2−A−2E=0,证明:A+2E可逆,并求它的逆矩阵.分析:往求(A+2E)−1,利用A2−A=2E 观察(A+2E（)A+？E）=E的倍数。解:(A+2E)(A+kE)=A2+(2+k)A+2kE,由A2−A=2E,令2+k=−1,k=−3,于是(A+2E)(A−3E)=A2−A−6E=2E−6E=−4E,则(A+2E)−1=−14(A−3E).课堂练习P72 A9,A10,A11P72-A3设方阵A满足方程A2−A−2E=0,证明:A可逆,并求它的逆矩阵.解: 由A2−A=2E,得A(A−E)=2E,AA−E2=E,故A−1=12(A−E).P72-A3设方阵A满足方程A2−A−2E=0,A−1=12(A−E),证明:A+2E可逆,并求它的逆矩阵.解: 由A+2E=A2知(A+2E)−1=(A2)−1=(A−1)2.又A−1=12(A−E),得2(A+2E)−1=⎡⎢11⎣2(A−E)⎤⎥⎦=(A−E)24=14(A2−A−A+E)=114(2E−A+E)=4(3E−A)A9设3阶方阵A,B满足A−1BA=6A+BA,且⎡ A=⎢1/3⎤⎢1/4⎥,⎢⎥⎣1/7⎥⎦求B.⎛⎛λ1⎞⎜1⎞⎟有用结论 C=⎜O⎟−1⎜λ1⎜⎟,C=⎜⎜⎝λ⎜O⎟⎟⎟,λi≠0n⎟⎠⎜1⎝λ⎟n⎠5A9解:由A−1BA=6A+BA,有BA=6A2+ABA,BA−ABA=6A2,(E−A)BA=6A2,⎡2/3⎤−1⎡1/3⎤B=6(E−A)−1A=6⎢⎢3/4⎥⎢1/4⎥⎢⎣6/7⎥⎥⎢⎦⎢⎥⎣1/7⎥⎦⎡3/2⎤⎡1/3=6⎢⎤⎢4/3⎥⎢1⎥⎢⎥ /4⎣7/6⎥⎢⎦⎢⎥⎣1/7⎥⎦⎡1/2⎤⎡3=6⎢⎤⎢1/3⎥⎥=⎢⎥⎢⎢2⎥⎣1/6⎥⎦⎢⎣1⎥⎦A10 解:由A*BA=2BA−4E,有(A*−2E)BA=−4E,B=−4(A*−2E)−1A−1.⎡1⎤由于A=⎢⎢−2⎥⎡1⎤−1⎥，则A=⎢⎢−1/2⎥⎥,A=−2,⎢⎣1⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎡A*=AA−1=⎢−2⎤⎢1⎥,⎢⎣−2⎥⎥⎦⎡1⎤故B−1=⎢⎢−1/2⎥⎢⎥.⎣1⎥⎦A10设3阶方阵A,B满足A*BA=2BA−4E,且⎡1⎤ A=⎢⎢−2⎥⎢⎥,⎣1⎥⎦求B−1.⎡−2⎤A*=AA−1=⎢⎢1⎥,⎢⎣−2⎥⎥⎦⎡−4⎤−1⎡−1/4⎤(A*−2E)−1=⎢⎢−1⎥=⎢⎢−4⎥⎥⎢−1⎥⎣⎦⎢⎣−1/4⎥⎥⎦于是B=−4(A*−2E)−1A−1⎡−1/4⎤⎡⎤⎡1⎤=−4⎢⎢−1⎥⎥⎢1⎢−1/2⎥⎥=⎢⎢−2⎥⎢⎣−1/4⎥⎥⎦⎣⎢1⎥⎦⎣⎢1⎥⎦A11若P−1AP=Λ，求An.提示:若P−1AP=Λ，则A=PΛP−1,从而An=PΛP−1PΛP−1LPΛP−1=PΛnP−1.63. 初等变换法思考1.设方阵A经过有限次初等变换到方阵B,则若A≠0,必有B≠0.Ari↔rjkrBi+rj3cj2. ErOOO=0, E=0.定理2.4 方阵A可逆充分必要条件是A可以经过有限次初等变化化为单位矩阵.TsLT2T1AQ1Q2LQt=E定理2.5 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1P2LPl,使A=P1P2LPl定理2.6 方阵A可逆充分必要条件是A可以只经过初等行(列)变化化为单位矩阵E.P−1−1−1AP1−1−1lPl−1LP1A=E,−lLP2P1=E利用初等行变换求逆阵的步骤是(常用):(1)构造矩阵(AME);(2) (AME)⎯初等行变换⎯⎯⎯→(EMA−1) 定理2.4方阵A可逆充分必要条件是A可以经过有限次初等变化化为单位矩阵.证明:必要性 设A为n阶可逆矩阵,则有A≠0.由于A可以经过有限次初等变换化为标准形及A≠0,知标准形的行列式不为零,故必为单位阵E.充分性 若A可以经过有限次初等变换化为单位阵E,则有初等矩阵P1,LPS,Q1LQt,使得PSLP1AQ1LQt=E,从而PSLP1AQ1LQt=E=1,可见A≠0，故A可逆.利用初等变换求逆阵的方法P68当A≠0时，由 A=P1P2LPl，有(P−1P−1−1−1−1−1−1ll−1LP1)A=E,及 ( PlPl−1LP1)E=A,∴ P−11−1lP−l−1LP1(AE)=[(P−1−1−1−1−1−1lPl−1LP1)A(PlPl−1LP1)E)]=(EA−1)即对n×2n矩阵(A E)施行初等行变换，当把 A变成E时,原来的E就变成A−1.利用初等变换求逆阵的方法P68当A≠0时，由 A=P1P2LPl，有A(P−1−1−1=E,及E(P−1−1−1−1lPl−1LP1)lPl−1LP1)=A,⎛⎜A⎛⎜⎞A(P−11−1−1−1−1l⎝E⎟⎟⎠(PlPl−1LP1)=⎜P−⎜l−1LP1)⎞⎝E(P−1⎟⎛E⎜⎞−1⎟⎟,lP−1l−1LP−11)⎟=⎜⎠⎝A⎠即对2n×n矩阵⎛⎜A⎜⎞⎝E⎟⎟施行初等列变换，⎠当把 A变成E时,原来的E就变成A−1.7利用初等列变换求逆阵的步骤是（不常用）:(1)构造矩阵⎜⎛A⎜⎞⎝E⎟⎟⎠;(2) ⎛⎜A⎞⎝⎠⎯初等列变换⎯⎯⎯→⎛⎜E⎜⎜⎞E⎟⎟⎝A−1⎟⎟⎠⎛⎜10−2−110⎞0−2r+r3−⎜0−2−5−21⎟31⎛−1⎜1352⎞⎟⎜⎟∴A=⎝00−1−1−11⎟⎜−−3⎟.⎠−5r3+r2⎜22⎝11−1⎟⎠⎛⎜10013−2⎞⎜0−2036−5⎟−12r⎜⎟2⎝00−1−1−11⎟⎠−r3例2.4 P69⎛⎜10013−2⎞⎜010−3−35⎟课后练习P72 A1⎜2⎟⎝00111−21⎟⎠⎛13−2⎞且A−1=⎜⎜−32−352⎟⎟,B−1=⎛⎜3−1⎞⎜⎝11−1⎟⎠⎝−52⎟⎠,由于AXB=C,所以X=A−1CB−1.X=A−1CB−1⎛3−2⎛−21⎞=⎜1⎞⎜−32−352⎟⎛⎟⎜13⎞⎜20⎟⎟⎛⎜3−1⎞⎟=⎜⎜10−4⎟⎟.⎜⎝11−1⎟⎠⎜⎝31⎟⎠⎝−52⎠⎜⎝−104⎟⎠⎛123⎞例１设 A=⎜⎜221⎟⎜⎟,求 A−1.⎝343⎟⎠解⎛123100⎞(AE)=⎜⎜221010⎟⎜⎟−2r1+r2⎝343001⎟⎠−3r1+r3⎛⎜123100⎞⎛10−2−110⎞⎜0−2−5−210⎟r2+r1⎜⎜0−2−5−210⎟⎜⎟⎟⎝0−2−6−301⎟⎠−r2+r3⎜⎝00−1−1−11⎟⎠⎛123⎞例设A=⎜⎜221⎟⎜⎟,B=⎛⎜21⎞⎛⎜⎟,C=⎜13⎞⎜20⎟⎟⎝343⎟⎠⎝53⎟⎠,⎜⎝31⎟⎠求矩阵X使满足AXB=C.123解QA=221=2≠0,B=21=1≠0,34353∴A−1,B−1都存在.例2.5类似(自己做)8小结A−1存在⇔A≠0.逆矩阵的计算方法(1)利用公式A−1=A∗A;(2)初等变换法(AME)⎯初等行变换⎯⎯⎯→(EMA−1) ⎛⎜A1⎞设A=⎜⎜A⎟2⎟⎜⎜O⎟,⎝A⎟s⎟⎠若Ai≠0(i=1,2,L,s),则A≠0,并有⎛A−1⎜1⎞A−1o⎟A−1=⎜⎜2⎟⎜⎜oO⎟.A−1⎟⎝s⎟⎠2.设B=⎛⎜B⎜1⎞⎟⎟,−1=⎛⎜B−12⎞⎟⎝B⎠则B⎜−12⎟.⎝B1⎠⎛⎜B1⎞⎛⎜B−1s⎞⎟设B=⎜B⎟⎜2⎟,则B⎜N⎟⎜⎜N⎟−1=⎟⎜⎜B−1⎟2⎟⎝Bs⎟⎠⎜⎝B−11⎟⎠这里Bi≠0(i=1,2,L,s).求逆阵的特殊情形A为分块对角矩阵,其中Ai(i=1,2,Ls)都是方阵.⎛⎜A1⎞A=⎜A2O⎟⎜⎟⎜⎜OO⎟,⎝A⎟s⎟⎠分块对角矩阵的行列式具有下述性质:A=A1A2LAs.重要结论1.设A=⎛⎜A1⎞⎛⎞⎜⎝A⎟,则A−1=A−112⎟⎜⎜A−1⎟⎠⎝2⎟.⎠⎛⎜A1⎞⎟⎛A−11设A=⎜⎜A2⎟⎜⎞⎜O⎟,则A−1=⎜A−1⎟2⎟⎜⎝A⎟⎜⎜O⎟⎟s⎟⎠⎜⎝A−1s⎟⎠这里Ai≠0(i=1,2,L,s).⎛⎛⎜1⎞3. C=⎜λ1⎞⎟⎜O⎟λ,C−1=⎜⎜1O⎟⎟,λ⎜⎟⎝λ⎜i≠0n⎟⎠⎜1⎟⎝λ⎟n⎠⎛1⎞⎛λ1⎞⎜C=⎜⎜λ⎟n⎟⎜⎟⎟,C−1=⎜⎜N⎟,λi≠0⎝λn⎟⎠⎜⎜1⎟⎝λ⎟1⎠9−14. ⎛⎜ab⎜⎞⎝cd⎟⎟⎠=1⎛ad−bc⎜d−b⎜⎞⎝−ca⎟⎟⎠,ad−bc≠0.A=⎛⎜31⎞−12⎝2⎟,A2=⎛⎜1−1⎞1⎠⎝−23⎟⎠;⎛10⎞⎛A−1∴A−1=⎜O⎞⎜0⎟⎜1OA−1⎟=⎜5⎜01−1⎟⎝⎟.2⎟⎠⎜⎜0−23⎟⎝⎟⎠复习运算性质定理2.1设A，B为n阶方阵，λ为常数，m为正整数1)λA=λnA;2)AB=AB;3)D=AODCB=AOB=AOOB=AB例2.6⎛500⎞P71设A=⎜⎜031⎟⎟,求A−1⎜.⎝021⎟⎠⎛解A=⎜500⎞⎟⎛A1O⎜031⎟=⎜⎞⎜021⎟⎝OA⎟⎝⎠⎠,2A1=(5),A−1=⎛⎜1⎞1⎝5⎟⎠;伴随矩阵的性质Ａ为n阶方阵1.AA*=A*A=AE.2.若A≠0,则A−1=A*A及A*=AA−1.3.A*=An−1.(从而A可逆⇔A*可逆)P72-4 2)4.若A≠0,则(A−1)*=(A*)−1=AA.5.(AT)*=(A*)T, 6.(kA)*=kn−1A*.7.(A*)*=An−2A.P79-63. 证明A*=An−1.证明 :1)若A=0,必有A*=0.故有A*=An−1.事实上,当A=0时,AA*=A*A=AE=O.假设A*≠0,则A*可逆,则由AA*=A*A=O,得A=O,进而A*=O.这与A*可逆矛盾.于是有A*=0.故有A*=An−1.103. 证明A*=An−1. 2) 若A≠ 0,由AA*=AE,有AA*=AE从而A⋅A*=An，即A*=An−1.课堂练习P72 A6§3 矩阵的秩一、矩阵秩的概念定义3.1 在m×n矩阵A中任取k行k列（k≤m,k≤n），位于这些行列交叉处的个k2元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式. m×n矩阵A的k阶子式共有Ckkm⋅Cn个.⎛123⎞例3.1求矩阵A=⎜⎜23−5⎟⎟的秩.⎜⎝471⎟⎠解在A中，1223≠0.又A的3阶子式只有A,且A=0,故R(A)=2.练习P72 A6−2⎡⎢A*nO⎤⎣OB−1⎥n⎦=(−2)2nA*On−1nOB−1=(−2)2nA*−12nAnnBn=2nBn定义3.2设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式Dr，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那末Dr称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A).并规定零矩阵的秩等于零.对于m×n矩阵A,有1) R(Am×n)≤min(m,n); 2) R(AT)=R(A)例2⎛⎜2−103−2⎞求矩阵B=⎜031−25⎟⎜⎟解:⎜0004−3⎟的秩.⎜⎝00000⎟⎟⎠B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行，易见B的所有4阶子式全为零.取首非零元所在的行和列即可构成一个非零3阶子式,从而R(B)=3.可见行阶梯矩阵,它的秩就等于非零行的行数.11猜想：Am×n→行阶梯形矩阵→非零行的个数=R(A).问题：经过初等变换后,矩阵的秩改变吗？定理3.1设矩阵A经过有限次初等变换化成B,则R(A)=R(B).推论3.1等价矩阵有相同的秩.推论3.2设A为mXn矩阵,P是m阶可逆矩阵,Q是n阶可逆矩阵,则R(A)=R(PA)=P(AQ)=R(PAQ)⎛⎜32050⎞例4设 A=⎜3−236−1⎟⎜⎟⎜2015−3⎟,⎜⎟⎝16−4−14⎟⎠求矩阵A的秩．复习定理2.5 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1P2LPl,使得A=P1P2LPl初等变换求矩阵秩的方法：1) 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，2) 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.解对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：⎛⎜32050⎞⎛16− A=⎜3−236−1⎟4−14⎞⎟r⎜−236−1⎟⎜1↔r4⎜3⎟⎜2015−3⎟⎜⎜20⎝16−4−14⎟⎟⎠⎜⎜15−3⎟⎝32050⎟⎟⎠−r⎛4+r2⎜16−4−14⎞−2r ⎜0−431−1⎟1+r3⎜⎟−3r⎜1+r4⎜0−1297−11⎟⎝0−16128−12⎟⎟⎠12⎛⎜16−4−14⎞ ⎜0−431−1⎟⎛16−4−14⎞⎜⎟−3r⎜2+r3⎜0−431−1⎟⎟⎜⎜0−1297−11⎟ ⎝0−16128−12⎟⎟−4r2+r⎜4⎠⎜⎜0004−8⎟⎝0004−8⎟⎟⎠⎛16−4−14−r⎜⎞⎟由阶梯形矩阵有三个3+r4 ⎜0−431−1⎜⎟非零行可知R(A)=3.⎜⎜0004−8⎟⎝00000⎟⎟⎠解对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：⎛⎜1−2−102⎞⎛⎜1−2−102⎞A=⎜−2426−6⎟⎟2r1+r2⎜0006−2⎟⎜⎜⎟⎜2−1023⎟−2r1+r⎜⎜0322−1⎟⎝33334⎟3⎟⎠−3r1+r4⎜⎝0963−2⎟⎟⎠r⎛2↔r3⎜1−2−102⎞r3↔r4 ⎜0322−1⎟⎜⎟⎜09631⎟⎜⎝00060⎟⎟⎠看例3.2. 课后练习: P78-79 A4, A5.⎛⎜1−2−102⎞例3.2设 A=⎜−2426−6⎟⎜⎟⎜2−1023⎟,⎜⎝33334⎟⎟⎠求矩阵A的秩,并求它的一个最高阶非零子式．⎛⎜1−2−102⎞⎛1−2−102⎞ ⎜0322−1⎟⎜⎜⎟−3r2+r322−1⎟⎟⎜09631⎟ ⎜03⎜⎜⎟⎜00031⎟⎝0006−2⎟⎠⎜⎝0006−2⎟⎟⎠⎛2r+r⎜1−2−102⎞⎟ 322−1⎜⎟由阶梯形矩阵有三个34⎜0非零行可知R(A)=3.⎜00031⎟⎜0006−2⎟⎟取A中对应于行阶梯形矩阵⎝的首非零元所在的行和⎠列,即第1,3,4行及第1,2,4列就可构成一个3阶非零子式.满秩矩阵与降秩矩阵P75对Amxn,当R(A)=m时,称A为行满秩矩阵,当R(A)=n时,称A为列满秩矩阵.对An,当R(A)=n时,称A为满秩矩阵,既是行满秩,又是列满秩. |A|即为它的最高阶非零子式对An, A为满秩矩阵的充分必要条件为A≠0An为满秩矩阵⇔R(An)=n⇔An≠0⇔An为可逆阵对An,当R(A)