2020年秋季苏科版九年级上册知识强化练习
1.4 用一元二次方程解决问题
一．选择题
1．方程x3＝x的解是（ ） A．0 2．方程A．无解
B．1
（x﹣2）＝0的解为（ ） •
B．x＝1
C．x＝2
D．x1＝1，x2＝2
C．0或1
D．0或1或﹣1
3．下列方程中，有实数根的方程是（ ） A．
＝0
B．
+1＝0
C．
＝3
D．
+
＝1
4．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，商家决定降价销售，在连续两次降价x%后，售价降为810元，则x为（ ） A．5
B．10
C．19
D．81
5．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A．x（x+1）＝110 C．x（x+1）＝110
B．x（x﹣1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
6．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ） A．（1+n）2＝931
B．n（n﹣1）＝931
C．1+n+n2＝931
D．n+n2＝931
7．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（ ） A．2.25%（1﹣2x）＝1.21% C．1.21%（1+x）2＝2.25%
B．1.21%（1+2x）＝2.25% D．2.25%（1﹣x）2＝1.21%
8．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2
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﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（ ） A．1﹣二．填空题 9．方程10．方程
＝﹣x的解是 ．
的解是 ．
B．3﹣
C．1+
D．3+
11．方程（x﹣1）4＝16的根是 ．
12．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ． 13．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．
14．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 cm．
三．解答题
15．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒． （1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽； （2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
16．甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
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（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
17．随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 18．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．回顾旧知，类比求解 （1）填空： 解方程
＝﹣1
解：去分母，两边同乘以x﹣1 得一元一次方程1＝﹣（x﹣1） 解这个方程，得：x＝0． 经检验，x＝0是原方程的解． ↓类比 解方程
＝3
解：去根号，两边同时平方 得一元一次方程 ．
解这个方程，得：x＝ ． ． （2）运用上面的方法解下列方程： ①②
﹣2＝0；
+3x＝1．
19．阅读，我们可以用换元法解简单的高次方程，解方程x4﹣3x2+2＝0时，可设y＝x2，则原方程可比为y2+3y+2＝0，解之得y1＝2，y2＝1，当y1＝2时，则x2＝2，即x1＝
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，
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x2＝﹣﹣
；当y2＝1时，即x2＝1，则x1＝1，x2＝﹣1，故原方程的解为x1＝
，x2＝
，x3＝1，x4＝﹣1，仿照上面完成下面解答：
（1）已知方程（2x2+1）2+2x2﹣3＝0，设y＝2x2+1，则原方程可化为 ； （2）仿照上述解法解方程：（x2﹣2x）2﹣3x2+6x＝0．
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参考答案
一．选择题 1．解：x3＝x， x3﹣x＝0，
x（x+1）（x﹣1）＝0， x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1， 故选：D． 2．解：∵∴
（x﹣2）＝0， •
＝0或x﹣2＝0，
解得：x＝1或2， 检验：当x＝2时，所以方程的解是x＝1， 故选：B．
3．解：A、两边平方得x2+4＝0，此方程没有实数解，原方程无解； B、变形为
＝﹣1，两边平方得x﹣2＝1，解得x＝3，经检验，原方程无解；
没有意义，
C、两边平方得x+1＝4，解得x＝3，经检验，原方程的解为x＝3； D、因为x﹣3≥0且3﹣x≥0，则x＝3，此时方程无解． 故选：C．
4．解：依题意，得：1000（1﹣x%）2＝810， 解得：x1＝10，x2＝190（不合题意，舍去）． 故选：B．
5．解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝110． 故选：D． 6．解：由题意，得 n2+n+1＝931， 故选：C．
7．解：经过一次降息，是2.25%（1﹣x）， 经过两次降息，是2.25%（1﹣x）2，
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则有方程2.25%（1﹣x）2＝1.21%． 故选：D．
8．解：∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2＝x+1，
∴x3＝x•x2＝x（x+1）＝x2+x＝x+1+x＝2x+1， x4＝x•x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（x+1）+x＝3x+2， ∴x4﹣2x3+3x＝3x+2﹣2（2x+1）+3x ＝3x+2﹣4x﹣2+3x ＝2x，
解方程x2﹣x﹣1＝0得x1＝∵x＞0， ∴x＝
，
＝1+
． ，x2＝
，
∴x4﹣2x3+3x＝2×故选：C． 二．填空题 9．解：把方程5x＝x2， ∴x2﹣5x＝0， ∴x（x﹣5）＝0， ∴x＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝0，x2＝5．
＝﹣x两边平方，得
检验：把x1＝0，x2＝5代入方程＝﹣x，
可知x1＝0是原方程的根，x2＝5是原方程的增根， 所以原方程的解为x＝0． 故答案为：x＝0．
10．解：两边平方得（x﹣2）（x﹣1）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得：x＝2或x＝1，
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又，
解得：x≥2， 则x＝2， 故答案为：x＝2． 11．解：∵（x﹣1）4＝16， ∴（x﹣1）4＝24＝（﹣2）4， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， ∴x＝3或x＝﹣1． 故答案为：x＝3或x＝﹣1． 12．解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
13．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得 （1+x）2＝169 1+x＝±13
x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人． 故答案为：12．
14．解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
，
解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x， 代入ab＝24中，得： （10﹣2x）（6﹣x）＝24， 整理得：x2﹣11x+18＝0， 解得x＝2或x＝9（舍去）， 答；剪去的正方形的边长为2cm． 故答案为：2． 三．解答题
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15．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×2）÷2＝18（cm）， 纸盒底面长方形的宽为20﹣2×2＝16（cm）． 答：纸盒底面长方形的长为18cm，宽为16cm．
（2）设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是150cm2， 依题意，得：
×（20﹣2x）＝150，
化简，得：x2﹣30x+125＝0， 解得：x1＝5，x2＝25．
当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；
当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去． 答：若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．
16．解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）； 答：这个降价率为10%；
（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y件， 根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000， 解得：y＝0（舍去）或y＝10，
答：该商品在原售价的基础上，再降低10元． 17．解：（1）设每天增长的百分率为x， 依题意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：每天增长的百分率为20%；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天， 依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500， 解得：m1＝4，m2＝25．
又∵在增加产能同时又要节省投入， ∴m＝4．
答：应该增加4条生产线． 18．（1）解方程
＝3
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解：去根号，两边同时平方 得一元一次方程 x+1＝9． 解这个方程，得：x＝8． 经检验，x＝8是原方程的解；
故答案为9，8，经检验，x＝8是原方程的解，； （2）①解：移项，
﹣2＝0， ＝2，
去根号，两边同时平方得一元一次方程 x﹣2＝4． 解这个方程，得：x＝6． 经检验，x＝6是原方程的解； ②解：移项，
+3x＝1．
＝1﹣3x．
去根号，两边同时平方得一元二次方程 9x2﹣5x＝9x2﹣6x+1． 解这个方程，得：x＝1．
经检验，x＝1不是原方程的解，原方程无解． 19．解：（1）设y＝2x2+1，
则原方程左边＝（2x2+1）2+（2x2+1）﹣4＝y2+y﹣4． ∴原方程可化为y2+y﹣4＝0． 故答案为：y2+y﹣4＝0． （2）设x2﹣2x＝y，
则原式左边＝（x2﹣2x）2﹣3（x2﹣2x）＝y2﹣3y； ∴y2﹣3y＝0， ∴y（y﹣3）＝0， ∴y＝0或3．
当y＝0时，则x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0， ∴x＝2或0；
当y＝3时，则x2﹣2x＝3， ∴x2﹣2x﹣3＝0，
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解得x＝﹣1或3．
故方程的解为x＝3或x＝2或x＝0或x＝﹣1．
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