2016挑战中考数学压轴题因动点产生的直角三角形问题

2016挑战中考数学压轴题因动点产生的直角三角形问题

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．

（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值； （2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；

（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C运动，可以体验到，CG＝2GB保持不变，△ABC的形状在改变，EA＝EM保持不变．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E在射线CD上运动，可以体验到，△AEG可以

两次成为直角三角形． 思路点拨

1．第（1）题中的△CEF和△CAF是同高三角形，面积比等于底边的比．

2．第（2）题中的△ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．

3．第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论． 满分解答

（1）如图2，由CE//AB，

CE3得EF． AFBA13由于△CEF与△CAF是同高三角形， 所以S△CEF∶S△CAF＝3∶13．

（2）如图3，延长AG交射线CD于M． 图2

CG由CM//AB，得CM2．所以CM＝2AB＝ABBG26．

由CM//AB，得∠EMA＝∠BAM． 又因为AM平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM．

所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝

132169÷12＝． 1324 图5 图6 考点伸展

第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．

如果用四点共圆，那么很容易．

如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．

上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：

如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt△AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝PA＝PG．

所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．

如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，

又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋

∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．

所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．

图7 图8

例2 2014年苏州市中考第29题

如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的式子表示a； （2）求证：AD为定值； AE（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14苏州29”，拖动y轴正半轴上表示实数m的点运动，可以体验到，点E、D、F到x轴的距离都为定值．

思路点拨

1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，

点D的坐标也可以写出来．点E的纵坐标为定值是算出来的．

12．在计算的过程中，第（1）题的结论am及其变形am1反复用到．

223．注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G．

满分解答

（1）将C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，

1得－3＝－3am2．因此am．

2（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)2－4， 得A(－m, 0)，B(3m, 0)，F(m, －4)，对称轴为直线x＝m．

所以点D的坐标为(2m,－3)． 设点E的坐标为(x, a(x＋m)(x－3m))． 如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．

'DD'由于∠EAE′＝∠DAD′，所以EE．因此AE'AD'a(xm)(x3m)3xm3m．

21所以am(x－3m)＝1．结合am，于是得到x

＝4m．

当x＝4m时，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以点E的坐标为(4m, 5)．

DD'3所以AD． AEEE'5图

图3

2

（3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,－3)、F(m,－4)，

可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．

那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．

证明如下：作FF′⊥x轴于F′，那么GFFF'4． ADDD'3ADGF因此AE．所以线段GF、AD、AE的534长围成一个直角三角形．

此时GF′＝4m．所以GO＝3m，点G的坐标为(－3m, 0)．

考点伸展

第（3）题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边．

ADGF此时AE．因此GF34m． 5334所以GO(341)m．此时

G(m34m,0)．

例3 2013年山西省中考第26题

如图1，抛物线y1x423x42与x轴交于A、B

两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．

请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．

思路点拨

1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．

2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．

3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．

满分解答

（1）由y1x4231x4(x2)(x8)24，得A(－2,0)，

B(8,0)，C(0,－4)．

（2）直线DB的解析式为y1x4． 2由点P的坐标为(m, 0)，可得M(m,1m4)，213Q(m,m2m4)42．

21所以MQ＝(1m4)(m2431m4)m2m824．

当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．

解方程1m4去）．

此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．

所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．

所以四边形CQBM是平行四边形．

2m88，得m＝4，或m＝0（舍

图

图3

（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．

考点伸展

2

第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为

1(x,(x2)(x8))4．

BH1①如图3，当∠DBQ＝90°时， QG所．GBHD2以

1(x2)(x8)148x2．

解得x＝6．此时Q(6,－4)．

DH②如图4，当∠BDQ＝90°时， QG所2．GDHB以

14(x2)(x8)42x．

解得x＝－2．此时Q(－2,0)．

图

3

图4

例4 2012年广州市中考第24题

3如图1，抛物线y8x23x34与x轴交于A、B

两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． ．．．．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．

请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，

当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．

思路点拨

1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．

2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．

3．灵活应用相似比解题比较简便．

满分解答

3（1）由y8x233x3(x4)(x2)48，

得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．

（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．

过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与

AC交于点H．

由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以

DGCO3BGAO4．

99所以DG3BG，点D的坐标为(1,)． 444因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG． 而D′H＝DH，所以D′G＝3DG27．所以D′4的坐标为(1,27)． 4 图2 图3 （3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．

以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．

联结GM，那么GM⊥l．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以

EM＝4．

A3在Rt△EM1A中，AE＝8，tanMEAM，所AE411以M1A＝6．

所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为y3x3． 4根据对称性，直线l还可以是y3x3． 4考点伸展

第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．

在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．

因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．

例5 2012年杭州市中考第22题

在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式； （2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

动感体验

请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．

请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．

思路点拨

1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是yk．题目中的kx都是一致的．

2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．

3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落

在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．

满分解答

（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是yk． x

当k＝－2时，反比例函数的解析式是y2． x（2）在反比例函数yk中，x如果y随x增大而增大，那么k＜0．

当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．

抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝k(x1)2是

x1225k4的对称轴

线

直

．

图1

所以当k＜0且x1时，反比例函数与二次2函数都是y随x增大而增大．

5（3）抛物线的顶点Q的坐标是(1,k)，A、24

B关于原点O中心对称，

当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．

由OQ2＝OA2，得(1)2125(k)212k24233．

解得k2，3（如图2）k32（如图3）．

图2 图3

考点伸展

如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线yk（k＞0）交于A、B和C、xD，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．

问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？

如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．

因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落

在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．

图4

例6 2011

年浙江省中考第23题

5 图

设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．

（1）已知直线①y1x2；②2yx2；③y2x2；④y2x4和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；

（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．

1

动感体验

请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，∠APB有两个时刻可以成为直角，此时△BCP∽△POA．

答案

（1）直线①和③是点C的直角线．

（2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△

BCPO2POPOA．那么CP，即．解得OP＝6或OA7PO3OP＝1．

如图2，当OP＝6时，l1：y1x6， l2：y＝－2x＋6．

如图3，当OP＝1时，y13x1．

图2

2l1：y＝3x＋1，

图3 l2：

例7 2010年北京市中考第24题

在平面直角坐标系xOy中，抛物线

ym125mxxm23m244与x轴的交点分别为原点O

和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．

（1）求点B的坐标；

（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形

QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P从O向A运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．

思路点拨

1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了． 2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长．

3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长．

4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．

满分解答

(1) 因为抛物线ym41x点，所以m此y1x42225mxm23m242经过原

3m20． 解得m2，m11（舍去）．因

5x2．所以点B的坐标为（2，4）．

(2) ①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t, 2t)．当点C落在抛物线上时，2t1(3t)4253t2．解得tOP22． 9②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得t10． 3如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时103t2t．解得t2．

如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时103t4t．解得t10． 7

图1 图2

图3

考点伸展

在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．

如图5，当P、Q重合时，两圆内切，t10． 3如图6，当两圆外切时，t30202．

图4 图6

例8 2009

年嘉兴市中考第24题

图5

如图1，已知A、B是线段MN上的两点，

MN4，MA1，MB1．以A为中心顺时针旋转点M，

以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设ABx．

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B在AN上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB和∠ACB可以成为直角，∠CBA不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当AB等于1.5时，面积达到最大值．

思路点拨

1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围．

2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．

3．把△ABC的面积S的问题，转化为S2

的问题．AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况．

满分解答

（1）在△ABC中，AC1，ABx，BC3x，所

1x3x,以 解得1x2． 13xx.（2）①若AC为斜边，则1xx23x402(3x)2，即

，此方程无实根． ②若AB为斜边，则x(3x)2221，解得x5，满3足1x2．

③若BC为斜边，则(3x)1x2，解得x4，满3足1x2．

4因此当x5或 x时，△ABC是直角三角形．33（3）在△ABC中，作CDAB于D，设CDh，

△ABC的面积为S，则S1xh． 2①如图2，若点D在线段AB上，则

1h2(3x)2h2x．移项，得

2(3x)2h2x1h2．两

边平方，得

x1h23x4(3x)2h2x22x1h21h2．整理，得

．整理，

．两边平方，得x

(1h2)9x224x16得xh228x224x162所以S12231xh2x26x42(x)24222（4． ≤x2）341S取最大值，从而当x3时（满足，≤x2）223S取最大值22．

图2 图3

②如图3，若点D在线段MA上，则

(3x)2h21h2x．

同理可得，

S2122xh2x26x44312(x)222

（1x≤4）． 3易知此时S22．

综合①②得，△ABC的最大面积为22．

考点伸展

第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设ADa，

例如在图2中，由AC1a2(3x)2(xa)22AD2BC2BD2列方程

．

整理，得a3xx4．所以

8x224x163x421a1xx22．

因此

S212x(1a2)2x26x44．