向量与三角形内心

向量与三角形内心

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）

O是ABC的重心.

证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) x1

x2x3x

(x1y)(y3

x)(x2x)y)0

(x3

x)y3

03

(y1y)(y2 O是

yy1y2

ABC的重心. OC

OA2OD0

2

ABC的重心

OAOB

A、O、D三点共线，且O分AD为2：1 O是 （2）OAOBOBOC

OC

OAO为ABC的垂心.

证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

()

0

同理OABC，OCAB O为 a

bc

ABC的垂心

O为ABC的内心.

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心 分别为方向上的单位向量， cb

bc平分 a

BAC, AO()，令

bccbcb

bc)

bc

（) 化简得(a a

bccb

aOAbOB

O为ABC的外心。

O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

(

)，

0,

，则点P的轨迹一定通过

ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示

2

ABC，D、E分别为边BC、AC的中点. 2

2

点P的轨迹一定通过ABC 的重心，即选C.

（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共 线的三个点，动点P满足 0,

，，

ABC的（ B ） A．外心

则点P的轨迹一定通过 C．重心 D．垂心

分析：分别为方向上的单位向量， 平分BAC,点P的轨迹一定通过

ABC的内心，即选

点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

，

0,

，则点P的轨迹一定通过

ABC的

（ ） A．外心 B C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC

，BE垂直AC， D、E是垂足. 点P的轨迹一定通过

ABC的垂心，即选D.

，若实数

满足：

1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足

，则的值为（ ） 2．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OA B．0 C．1 D．

22

OBOC

0，则OAOB( ) A．

3．点O在ABC内部且满足2 ABOC面积之比是（ ） C． D． 243

2，则ABC面积与凹四边形

4．ABC的外接圆的圆心为O，若 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

，则H是ABC的（ ）

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若 CAOC

AB，则O是

ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

ABC的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H， OH →→→→1ABACABAC→→→

7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足(+)·BC=0 =, 则 2→→→→|AB||AC||AB||AC|△ABC为( )

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 8．已知

ABC三个顶点A、B、C，若

，则

m(OA

OB

OC)，

ABC为（ ）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C