高阶导数公式及拉格朗日中值定理的推广

高阶导数公式及拉格朗日中值定理的推广　王文祥杨戍　（华北科技学院基础部，北京　１０１６０１）　摘要：本文给出了在一点处高阶导数定义的一般形式．　并介绍了将拉格朗日中值定理推广到高阶导数的情形。　关键词：高阶导数公式拉格朗日中值定理推广　∑（一１）　ｃｋｍｆＥｘ。＋（ｍ—ｋ）ｈ］＿　（一１）　ｃⅡｋ［ｌｆ）【ｏ＋（ｍ＿ｋ＿１）ｈｉ　ｋ－－Ｏ　ｋ＝１　＝ｃ　ｆ（ｘ。＋ｍｈ）一Ｃ＇ｍ＋．ｆ［ｘ。＋（ｍ一１）ｈ］＋ｃ　＋。ｆ［ｘ。＋（ｍ一２）ｈｉ＋…＋　在微积分中，函数在一点的导数是函数增量和自变量增　量比的极限，拉格朗日中值定理用一阶导数给出了函数增量　和自变量增量之间的关系．但在一点的高阶导数并没有给出　定义式，同样，拉格朗日中值定理也没有讨论高阶导数情形．　本文将探讨关于高阶导数的一些结论．　（－１）　ｃ：＋。ｆ（ｘｏ）一（一１）　ｃｍｆ（ｘｏ－ｈ）　ｃｏ＝＋　ｆ（ｘ。＋ｍｈ）一Ｃ＇ｆ［ｘ０十（ｍ一１）ｈ］＋ｃ　＋　ｆ［ｘ。＋（ｍ一２）ｈ］＋…＋　ｍ＋。（－１）　ｃ：＋　ｆ（ｘ。）＋（一１）　ｃ＋Ｉｆ（ｘ。一ｈ）　＝　在同济版《高等数学》教材中，有这样一个习题：　ｘｏ＋ｈ）　设，（ｘ　）存在，则，（ｘｎ）：ｌｉｍ—ｆ（ｘｏ＋ｈ）－２ｆ（ｘｏ）＋ｆ（㈠）　ｃ　（ｍ＋ｌ－ｋ－１）ｈｊ　一ｈ　利用洛必达法则及一阶导数定义，很容易证明．下面将上　述结论推广到一般情形．我们有结论：　定理１：设ｆＩ（ｘｎ）存在，则　Ⅱ　ｉ　ｍ　Ｕ＿从而ｆｍ　Ｘｏ）＝ｌｈ　ｈ．　　．（一１）　ｃｋ＋ｌｆ［ｘｏ＋（ｍ＋１一ｋ一１）ｈ］　———　＿ｈｉ　—…’　—————一．　＋（ｎ—ｋ一１）ｈ］　证：用数学归纳法　当ｎ＝１时，即是一阶导数公式；　ｎ＝２时，即为上述结论，也是成立的．　假设ｎ＝ｍ时成立，即：　．　即　ｎ＝ｍ＋１时公式也成立．从而定理１得证．　下面我们把拉格朗日中值定理推广到高阶导数．　；￣ｇＮ２：设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内有二阶导数，则　存在∈∈（ａ，ｂ），使　州ａ）］　证：令　）－ｆ（ｘ＋字）＿ｆ（ｘ）ｊ　ａ＋ｂ卜ｐ（ａ　（ｂ）－２　）＋ｆ（ａ）　由拉格朗日中值定理，存在∈∈（ａ，ｂ），使　：。　Ｘｏ）　（一１）　ｃ　ｆ［ｘ。＋（ＩＴＩ—ｋ一１）ｈ］　———　。。—一　由函数极限与无穷小的关系，　（　）：　＿＝　兰　则当ｎ＝ＩＴＩ＋１时　ｆｌｌｌ“（Ｘｏ）＝　＋　其中　，（　卜Ｐ（ａ）　）（　一ａ　）丁ｂ－ａ　ｅ　ｆａ，　ｂ　ｒ（　）＋ｆ（ａ）＝［ｆ，　丁ｂ－ａ　）］ｂ－ａ　）・　＝　・丁ｂ－ａ　∈）　２　㈧一　．　）　ｃ　ｋｆ［ｘ０＋（ｍ—ｋ一１）ｈ］　∑　（一１）　ｃ　ｆ［ｘ０＋（ｍ—ｋ）ｈ］一．∑（一１．Ｕ　ｋ　１　一　ｈｍ＋　其中∈在∈．　丁ａ＋ｂ与∈之间，则∈　（ａ，ｂ）．　。考虑上式中的分子　（－１）　ｃ＇ｆＬｘ。＋（ｍ＿ｋ）ｈ］＿　（＿１）　ｃ　ｏ９，￣６－：　）＝　一ｒ（ｈ　ｆ（ｂ）＿２ｆ（　）＋ｆ（ａ）　（ａ’ｂ）．２－ｎ＋（ｍ－ｋ＿１）ｈ＿　～ａ　，，【　＼　／　Ｊ　＝ｃ：ｆ（ｘ。＋ｍｈ）一ｃ￣ｆ　ｃｘ。＋（ｍ一１）ｈｉ—ｃ　ｆ［Ｘｏ＋（ｍ一１）ｈ］＋　。，定理３：设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内有ｎ阶导数，则存　在∈　（ａ，ｂ），使　ｃ　ｆ［Ｘ０＋（ｍ一２）ｈ］＋…＋（一１）ｍｃｍｆ（ｘ。）一（一１）ｍｃ：ｆ（ｘ。一ｈ）．　由于Ｃ　ｉ＋ＬＪ　ｉ＋ｌ则：　．（　）“　㈠，　ｃ　ｋｆｆ　］　方法，同时，进行有意识的强化训练；自学例题、图解分析、推　理方法、理解数学符号、温故知新、归类鉴别等。学生在应用这　些方法求知的过程中，掌握相应的数学能力，形成创新技能。　（四）开发情感智力教育，培养创新个性品质　美国学者阿瑞提在《创造的秘密》一书中提出：“尽管创造　者要具有一定的智力．但高智商并不是高创造力的先决条　件。”可见，创新过程并不仅只是纯粹的智力活动过程，而且需　要以创新情感为驱动力，以良好的个性品质作后盾。在数学教　学中．激励学生要树立周恩来同志“为中华之崛起而读书”的　远大理想；具有像爱迪生发明灯丝一样的坚定信念。在“问题　数学”中培养学生具有敢于求异、敢于创新的气魄，自主探索，　发现问题、提出问题；利用“挫折数学”，培养学生坚韧不拔，持　之以恒，不怕困难和挫折的顽强意识和良好的人格特征，从而　培养学生健康的创新精神和个性品质。　参考文献：　［１］许双德，王呈义主编．数学教育学［Ｍ］．石油大学出版　社，１９９３：２０９．　宅　试周刊２（）１１年第２５期　论数学建模的教学理念　关于知识、能力、素质的综合培养　熊志平　（五邑大学数学学院，广东江门摘要：对于一个大学生来说．学习知识、培养能力和提　高素质是保证其健康成长的相辅相成的三个重要的方面，非　此不能达到德智体诸方面的全面成长，也不利于他们今后的　５２９０２０）　可持续发展。数学建模的教学是传授知识、培养能力和提高素　质的统一体．推动着这三方面的有机结合和相互促进。　关键词：数学建模　教学理念　实践能力　素质教育　近年来，大学生学习知识、培养能力和提高素质的综合培　养成了热门的话题Ⅲ【　。国内教育界为了加强大学生的综合素　质教育，采取了一些积极的措施，取得了一些效果，但也出现　了一些不尽如人意的情况，最突出的表现是将素质教育看成　课堂教学以外的东西，想方设法在外面加进来。对于一个学生　来说．学习知识、培养能力和提高素质是保证其在学校中健康　成长的相辅相成的三个重要的方面，非此不能达到在德智体　诸方面的全面成长，也不利于他们今后的持续发展。因此，学　校教育，应该是传授知识、培养能力和提高素质的统一体，教　学改革应该推动这一方面的有机结合和相互促进，而不是相　互隔离，甚至对立。数学建模的教学也不应该例外。基于数学　建模这门学科的特点，我们可以理直气壮地说：数学建模的教　学及竞赛是实施综合素质教育的有效途径，搞好数学建模教　学就能体现素质教育，不需要搬救兵。　数学建模的重要地位　如果将数学建模教学仅仅看成是知识的传授（特别是那　种照本宣科式的传授）．那么即使包罗了再多的定理和公式，　一、可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用；而掌握了　数学建模的思想方法和精神实质。就可以由不多的几个公式　演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。许多在　实际工作中成功地应用了数学建模，并取得相当突出成绩的毕　业生都有这样的体会：在工作中真正需要用到的具体学科，具　体的定理、公式和结论．其实并不很多，学校里学过的一大堆知　识很多似乎没有派上什么用处，有的甚至已经淡忘，但所受的　数学建模训练，所领会的建模思想和精神，却无时无刻不在发　挥着积极的作用．成为取得成功的重要的因素。因此，如果就事　论事．仅仅将数学建模作为知识来学习．而忽略了建模思想对　学生的熏陶．以及学生综合素质的提高，就失去了数学建模课　程最本质的特点和要求．失去了开设数学建模课程的意义。　建模能力的培养，不只是通过实际问题的解决才能得到提　高，更主要的是要培养一种建模意识，解题模型的构造也是一　条培养建模方法的很好的途径。数学是关于客观世界模式和秩　序的科学，数、形、关系、可能性、最大值、最小值和数据处理等，　是人类对客观世界进行数学把握的最基本反映。数学方法越来　越多地被用于环境科学、自然资源模拟、经济学和社会学，甚至　还有心理学和认知科学，其中建模方法尤为突出。数学建模来　源于现实，存在于现实。并且应用于现实，数学建模过程应该是　帮助学生把现实问题转化为建模问题的过程。数学建模教学是　数学活动，教师要紧密联系学生的生活环境．要重视从学生的　生活实践经验和已有的知识中学习数学建模和理解数学建模。　因此，不管从社会发展要求还是从新课标要求来看，培养学生　当ｎ＝ｌ时．即是拉格朗１３中值定理．　当ｎ＝２时．即是定理２．　＝　假设ｎ＝ｍ时成立，即：　＝　（∈）＝ｆ　１－１）　ｃｋｍｆ　ｋａ＋（ｍ－ｋ）ｂ＼　　（］Ｊ　Ｄ－ａ／ｋ＝０　Ｉｌｌ＝ｃｏ　ｆ（ｂ）ｃ０　ｆ一令‘ｐ（ｘ）：ｆ（ｘ＋ｔ）一ｆ（ｘ），其中ｔ：—　！二　．　ｍ＋ｌ　㈠，　（ｋ＋１）ａ＋（ｍ－ｋ）ｂ＋　ｂ－－ａ　Ｈ　¨　㈠）ｋｃｋ｛ｆ　ｋａ＋（ｍ＋ｌ－ｋ）ｂ　１－ｆ（ｋ＋１）ａ＋（ｍ－ｋ）ｂ　１｝　ｂ）一ｃ　ｆ＼ａｍ＋＋ｍ１ｂ）＋ｃ　ｆ　２ａ＋（ｍ－１）ｂ一１＋…　ａ　＋ｍ＋＼ｌ由假设，存在∈．Ｅ（ａ，ｂ－ｔ），使　＋（＿１）Ｏｃｍｆ（　１）＿（－１）　ｃ　ｍ　ｂ＋ｃ　２＝ｃ：＋　ｒ（ｂ）一ｃ　１　＋　，ｒ＼ａ　＋ｔ／ｆｆ　＋＋　）＝（　）　善（一　）ｋ　Ｃｍｋ　ｋａ＋（ｍ－ｋ）（ｂ－ｔ）　将ｔ：　二　代入并化简得：　ｍ＋ｌ　１＋・・・＋　（一１）　ｃ：＋，ｆ（ｍ　ａ＋＋１ｂ／＋（一１）　ｃ：：　ｆ（ａ）　‘ｐ‘ｍ　（∈）＝＼ｍ，ｂ一＋　１）　ｋｃ　‘ｐ（ｋ＋１）ａ＋（ｍ－ｋ）ｂ　”（《）ｔ：　”（∈）．　ｍ＋１　由拉格朗日中值定理．　‘ｐ　’（∈）＝ｆ』　（∈。＋ｔ）一，（《　）　．㈠　ｃ　＋ｌｆ［ｋａ＋（ｍ＋ｌｌ－－ｋ）ｂ１　从　）＝ｍｂ－＋ａ／ｌ　１　ｋ：０　…㈠）ｋＣ　＋　ｉｆ［ｋａ＋（ｍｎｌ＋　ｌ１　１－ｋ）ｂ｝　：　其中∈在∈．＋ｔ与∈。之间，则∈∈（ａ，ｂ）　则，“㈤＝＼ｍ．＼　Ｄ－ａ　ｋ）／　－Ｏ　（＿１）　ｃ　（ｋ＋１）ａｒｆ＋ｌ　（１ｍ　—－ｋ）ｂ１Ｉ　＋ｌ参考文献：　［１］同济大学数学系．高等数学（第六版）高等教育出版　社．２００７．　［２］王昆扬．简明数学分析．高等教育出版社，２００１．　［３］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法．高等教育出版　社．１９９３．　又　ｋ＝Ｏ㈠）　ｃ　ｆ４］数学手册．高等教育出版社，１９７７．