三角函数是中学数学学习中重要的基本初等函数

1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数

f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR．

（Ⅰ）求函数

π3πf(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在区间，上的最小值和最大值．

84πf(x)2cosx(sinxcosx)1sin2xcos2x2sin2x．

4解析：（Ⅰ）

因此，函数

f(x)的最小正周期为π．

（Ⅱ）解法一：因为

ππ3π3π3πf(x)2sin2x在区间，上为增函数，在区间，上为

488843πf2，8π3π3ππf2sin2cos1，

4424减函数，又

πf0，8故函数

π3πf(x)在区间，上的最大值为2，最小值为1．

84πf(x)2sin2x在长度为一个

4y 解法二：作函数

周期的区间

π9π，上的图象如下：由图象得函数f(x)842O 2在区间

π3π，上的最大值为2， 843πf1． 4 x

最小值为

点评：本题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数

yAsin(x)的性质等基础知识，考查基本运算能力．利用三角公式将所给函数化为一个角的三

角函数，然后借助其性质直接求解是研究三角函数的性质的常规思路.凭借函数图象研究函数性质，可以使问题得以形象直观展示出来易于解决. 【相关高考1】（湖南文）已知函数

πππf(x)12sin2x2sinxcosx．

888求：（I）函数

f(x)的最小正周期；（II）函数f(x)的单调增区间．

析

：

解

f(xx．

x2π)4xxπ42c2（I）函数

xπ4πsπi4n(2ππ； 2π（II）当2kππ≤2x≤2kπ，即kπ≤x≤kπ（kZ）时，函数f(x)2cos2x是

2π增函数，故函数f(x)的单调递增区间是[kπ，kπ]（kZ）．

2f(x)的最小正周期是T【相关高考2】（湖南理）已知函数

1πf(x)cos2x，g(x)1sin2x．

212（I）设x（II）求函数h(x)f(x)g(x)x0是函数yf(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值．

的单调递增区间． 解析：（I）由题设知因为x所

以

1πf(x)[1cos(2x)]．

26π πkπ，即2x0kπ（kZ）． 66．

当

所以2x0x0是函数yf(x)图象的一条对称轴，

11πg(x0)1sin2x01sin(kπ)226k为偶数时，

113πg(x0)1sin1，

2644当k为奇数时，g(x0)1π151sin1．

2644（II）h(x)f(x)g(x)1π11cos2x1sin2x 262311π3131π3cos2xsin2xcos2xsin2xsin2x． 2622222232当2kππππ≤2x≤2kπ232，即kπ5ππ≤x≤kπ（kZ）时， 1212函数h(x)1π35ππsin2x是增函数，故函数h(x)的单调递增区间是kπ，kπ2321212（kZ）．

2．根据函数性质确定函数解析式 例

2

（

江

西

）

如

图

，

函

数

y3 O A P x πy2cos(x)(xR，>0，≤0≤)的图象与y轴相交于点(0，3)，且该函数的最小

2正周期为． （1）求和的值； （2）已知点

πA，0，点P2是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y032，

πx0，π时，求x0的值．

2解析：（1）将x0，y3代入函数y2cos(x)cosπ3，因为0≤≤，所以

22

π

6

．

由已知Tπ，且0，得2π2π2． Tπ（2）因为点A3ππ．所以点P的坐标为2x0，3． ，0，Q(x0，y0)是PA的中点，y0222π5π3π， y2cos2x的图象上，且≤x0≤π，所以cos4x02662或x0又因为点P在

7π5π19π5π11π5π13π2π≤4x0≤，从而得4x0或4x0，即x066666663数中的参数的值，根据题意图象与

3π． 4解析：本题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.解决本题的关键是在于根据图象性质确定所给函

y轴相交于点(0，3)建立等式关系凭借的限制条件就能确定的

值；本题的第二问实际是已知三角函数值求角问题，利用中点公式借助点Q(x0，y0)将点P表示出来代入函数式，凭借特殊角的三角函数值求角即可.