年轻人的事业_代数学的解放

第十一章 年轻人的事业 ——代数学的解放 幻灯片2

长期以来，人们习惯于把数学笼统地划分为几何学和代数学两大分支 19世纪，古老的欧氏几何发生了天翻地覆的变化 几乎在同一时期，代数学也经历着革命性的变革 幻灯片3

长期以来，人们习惯于把数学笼统地划分为几何学和代数学两大分支 19世纪，古老的欧氏几何发生了天翻地覆的变化 几乎在同一时期，代数学也经历着革命性的变革

分别从方程论和数概念扩展两条线索进行代数学革命的介绍 幻灯片4

11.1 从代数方程的解法到群论 11.1.1 问题的提出

一元高次方程→方程论→高等代数学→近世代数； 多元一次方程组→线性代数 幻灯片5

11.1.1 问题的提出

人们尝试将一般高次方程的求解归纳为低一次的方程的求解，从而得出任意高次方程的根式解。但尝试以失败告终。

到19世纪，人们主要获得了以下一些成果：

（1）鲁菲尼得出定理：如果一个方程能用根式解出，那么这一根式必定是已知方程的根和单位根的有理函数 幻灯片6

11.1.1 问题的提出

（2）高斯对代数基本定理给出完整证明。(任何复系数一元n次多项式、方程在复数域上至少有一个根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）)

（3）韦达得到根与系数的关系。 幻灯片7

11.1.1 问题的提出

（4）笛卡尔指出代数方程根的分布情况。

（5）拉格朗日认为方程根的排列理论比方程根式解的理论更有意义，比如他在分析三、四次方程解法时看到了方程根的对称性的作用，他在分析时所运用的方法实际上已经涉及一个新的数学概念，即置换群。

但是，用根号解四次以上的方程不可能问题未能得到解决。 幻灯片8

11.1.2阿贝尔

高于四次的代数方程不可根式解的问题最终由阿贝尔证明。他的在这方面的成就主要有： （1）严格证明了如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可以表示成方程的根和某些单位根的有理函数。 幻灯片9

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11.1.2阿贝尔

（2）证明了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。 幻灯片15

11.1.2阿贝尔

（2）证明了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。

（3）引入了两个新的数学概念：域和不可约多项式。第一个引入了数学结构的思想。 幻灯片16

11.1.2阿贝尔

用阿贝尔的方法可以构造任意次数的代数可解方程，但却不能判定已给方程是否可用根式求解。 幻灯片17

11.1.3伽罗瓦

阿贝尔证明了一般四次以上方程根式求解的不可能性，并没有排除高次方程的根式可解性。

确定哪些方程可用根式求解，这个工作是由伽罗瓦完成的。 幻灯片18

11.1.3伽罗瓦

伽罗瓦引入了置换群、子群、正规子群等概念。

他发现了代数方程可用根式解的基本定理——伽罗瓦定理：给定一个代数方程，设G为该方程的伽罗瓦群，它的一系列最大正规子群为Gi，则原方程可根式解的充要条件是指标[Gi/Gi+1]均为素数 幻灯片19

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11.1.3伽罗瓦

伽罗瓦基本定理给出了任一代数方程可根式解的充要条件 幻灯片28

11.1.3伽罗瓦

伽罗瓦基本定理给出了任一代数方程可根式解的充要条件

他提出的“群”概念。使得人们发现，代数能够处理的不一定是以实数或复数为对象所

组成的集合，只要满足一定的运算律都可作为代数的研究对象。从此，数学研究的对象大大地扩展了 幻灯片29

11.1.3伽罗瓦

伽罗瓦提供了一种更为一般的解决问题的方法。即：当一个问题难以处理时，可将它置于一个整体结构之中来考虑，甚至可以将它置于另一个同构的数学结构中去考察。 幻灯片30

11.1.3伽罗瓦

如伽罗瓦本人对高次方程根式可解性问题的讨论，就是将代数方程根与代数方程系数域对应起来构造相应的置换群，把方程有无根式解的问题转化成对群的结构的分析 幻灯片31

11.1.4 代数结构的思想

阿贝尔和伽罗瓦的成果开创了用结构思想处理问题的新方法。

对许多不相联系的代数抽出它们共同的内容来进行综合的研究，可以提高效率。例如，把群与几何联系在一起研究，可以用“群”来统一几何学。 幻灯片32

11.1.4 代数结构的思想

F*克莱因在爱尔朗根纲领中指出，现存的几何学都可以用群予以分类，可以用群给几何学以统一的定义。 幻灯片33

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11.1.4 代数结构的思想

在几何中，把平面变到自身的映射称作变换。容易验证合同变换具有以下性质： ⑴ 合同变换的逆变换还是合同变换； ⑵合同变换的积仍是合同变换；

⑶ 在合同变换下，共线点变为共线点，共点线变为共点线，射线变为射线，角变为角，三角形仍变为三角形，且对应角相等，因而对应的三角形全等。 幻灯片35

11.1.4 代数结构的思想

在克莱因看来，每种几何都可以由变换群来刻画。例如平面上的欧氏度量几何是研究在平移、旋转、反射组成的变换下的不变量的性质，这些平移、旋转、反射组成一个变换群。若将这个变换群增添位似变换，则在这个扩大的群下，这时的几何称为平面相似几何。由这个观点，所有现存几何都可归入射影几何之中，因为它们的变换群都是射影几何变换群的子群。 幻灯片36

平移变换群反射变换群旋转变换群变换群（加入位似变换）射影几何变换群

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11.1.4 代数结构的思想

每一种几何学都可以看作是在某种变换群下几何图形不变性质和不变量的科学体系 幻灯片38

11.2 代数学的扩张

下面以数系扩展为线索讨论代数学的发展 幻灯片39

11.2.1 哈密顿与“四元数” 哈密顿生平 幻灯片40

11.2.1 哈密顿与“四元数”

哈密顿环游世界问题：把一个正十二面体的20个顶点看成是世界上20个著名的城市，玩游戏的人从某一城市（即正十二面体的某一顶点）出发，沿着正十二面体的各条棱前进，要求将所有城市无一遗漏且不重复地全部通过．那么，怎样找到这条路线呢？即，能否遍历正12面体的每个顶点一次且仅一次后回到原地。 幻灯片41

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11.2.1 哈密顿与“四元数”

哈密顿在数学上最大的贡献是发现了四元数。

首先，哈密顿建立起复数（即二元数）的逻辑基础：复数a+bi的符号意义只能理解为是实数的有序数对（a,b），并在其上定义了加法和乘法。 幻灯片46

11.2.1 哈密顿与“四元数” 如a,b,c,d∈R,

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)即(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i;

(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)即(a+bi)×(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i； 并且(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d，即a+bi=c+di当且仅当a=c,b=d。 幻灯片47

11.2.1 哈密顿与“四元数”

不能将a+bi理解成实数a和虚数bi的和，而是理解为有序实数对（a,b），因为只有这样，在实数中所满足的运算律，才能合理地在复数中得到体现，这样他就成功地把复数的逻辑基础建立在了实数的基础上 幻灯片48

11.2.1 哈密顿与“四元数”

实数与直线上的点是一一对应的，复数与二维空间中的点（二维向量）是一一对应的，自然的想到，是否有新的数与三维空间中的点（三维向量）一一对应呢？ 幻灯片49

11.2.1 哈密顿与“四元数”

可以要求新的数系必须由实数出发，借助于有限个不同的单位建立起来，如a+bi+cj；并且保持实数运算的全部运算律（加、减、乘、结合律、交换律、分配律，除法可以施行）和“模法则”， 幻灯片50

11.2.1 哈密顿与“四元数”

按以上要求将二元数向三元数的扩展是不可能的 幻灯片51

11.2.1 哈密顿与“四元数”

放弃乘法交换律，那么，数概念的扩充是可能的，而且仅有一种可能，即由复数系（二元数系）扩充到四元数系 (a+bi+cj+dk，其中 )

ijkijk1222

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11.2.1 哈密顿与“四元数”

如果不放弃乘法交换律，而是减弱乘法结合律，且换之以交错律（aa）b=a(ab),a(bb)=(ab)b，那么，数的概念扩充就有且仅有两种可能：四元数系、八元数系 幻灯片53

11.2.1 哈密顿与“四元数”

如果不放弃乘法交换律，而是减弱乘法结合律，且换之以交错律（aa）b=a(ab),a(bb)=(ab)b，那么，数的概念扩充就有且仅有两种可能：四元数系、八元数系 若取消乘法结合律，则有无限多种扩充形式 幻灯片54

11.2.1 哈密顿与“四元数”

哈密顿的工作向数学界表明，在代数中，也可以像非欧几何那样，在一组代数公理系统中去掉几条或添上几条，就会得到新的代数