环上李代数及其基环的扩张

第２６卷第４期　２　０　１　３年１　１月　青岛大学学报（自然科学版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＱＩＮＧＤＡＯ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．２６　Ｎｏ．４　ＮＯＶ．２　０　１　３　文章编号：１００６—１０３７（２０１３）０４—００２９—０４　ｄｏｉ：ｉ０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６—１０３７．２０１３．１１．０８　环上李代数及其基环的扩张　张燕燕，王宪栋，张彦芳　（青岛大学数学科　学院，青岛２６６０７１）　摘要：在有单位元的交换环Ｒ上李代数Ｌ的基础上，通过模同态，构造了Ｒ／Ｉ上的李代数，　并利用上述结论，对域上一元多项式环的李代数进行了构造。最后，证明了Ｒ的子环Ｓ上　的李代数Ｌ通过张量积尺　Ｌ的办法扩张成为环Ｒ上的李代数。　关键词：理想；李代数；基环　中图分类号：Ｏ１５２．５　主题分类号：１６ＲｌＯ；１１￥４５　文献标志码：Ａ　域上的李代数是挪威数学家ｓ．李在１９世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，这种代数结　构　是代数学中最基本的研究内容之一。文献［２］讨论了有单位元的交换环上李代数的概念，并研究了　这种代数结构的一些基本性质。本文在此基础上做进一步的研究，给出了商环Ｒ／Ｉ上的李代数，并对李代　数的基环进行适当拓广。　１　预备知识　定义１［　３　设Ｒ是有单位元的交换环，Ｌ是环Ｒ上的模，带有括积运算Ｌ×Ｌ—Ｌ，记为（ｚ，　）一［－ｚ，Ｙ］。　如果以下条件（Ｌ　）～（Ｌ。）满足，则称Ｌ为环Ｒ上的李代数：　（Ｌ　）括积运算是双线性的；　（Ｌ　）ｒｚ，ｚ］一０，对Ｌ内所有的ｚ都成立；　（Ｌ。）［ｚ［　］］＋［　［　］］＋［ｚ［ｘｙ］］一０，对所有的　，Ｙ，ｚ　Ｅ　Ｌ。　ｒ９］　定义２　设　是李代数Ｌ作为Ｒ一模的子模若ｚ∈Ｌ，　∈　，就有［　］Ｅ　，则称　为李代数Ｌ的理想。　，定义３［。　设Ｒ是环，Ｍ是加法Ａｂｅｌ群，　：Ｒ一＋Ｅｎｄ　（Ｍ）是环同态。通常，定义在Ｍ上的作用，使　（Ｍ，　）是一个左Ｒ一模。此时必有：　①Ｖ口Ｅ　Ｒ，则　（。）：Ｍ—Ｍ是自同态；　②　（ｎ）．１ｚ一口．．２７且　（ｎ）．（ｚ＋　）一ａ．（ｚ＋　）一以．１ｚ＋ｎ．　：＝：　（。）．ｚ＋　（ｎ）．Ｙ；　（　（ａ．ｂ）．３７一　（ｎ．ｂ）（ｚ）一　（口）ｔ（ｂ）（ｚ）一　．（口）（ｉｉｔ（ｂ）（　））一　（ａ）（６．ｚ）一ｎ．（ｂ．ｚ）；　④１．ａ：２一　（１）．ｚ—ＩＭ（　）一３２。７　同理，可以定义右Ｒ模。当Ｒ是交换环时，这两种Ｒ＿模结构是等价的。即，任何左Ｒ＿模也是右Ｒ一模；　反之，右Ｒ＿模也是左Ｒ一模。　定义４［　设Ｌ是环Ｒ上的李代数，　为Ｌ的理想，定义Ｌ关于　的Ｒ一商模Ｌ／Ｉ。进一步，在Ｌ／Ｉ上定义　括积：［ｚ＋　，　＋　］一［ｘｙ］＋Ｊ，Ｖｚ，Ｙ∈Ｌ。容易验证，此定义是合理的，并且Ｌ／Ｉ是环Ｒ上的李代数，　称为Ｌ关于理想　的商代数。　收稿日期：２０１３—０７—２０　基金项目：国家自然科学基金（批准号：１ｌ１７１０２１）资助。　作者简介：张燕燕，女，硕士研究生，主要研究方向：李代数与量子群。　３０　青岛大学学报（自然科学版）　第２６卷　２　主要结果　定理１　设Ｊ是环Ｒ的理想，Ｌ是Ｒ上的李代数，则ＩＬ一｛’∑剧ｌ　ｚ∈　，　∈Ｌ｝是李代数Ｌ的理想，且　Ｌ／ｉＬ可以看成商环Ｒ／Ｉ上的李代数。　证明：　∑（１）首先说明，ＩＩ　是Ｌ的理想　∑ＩＬ是Ｌ的Ｒ一子模：①若∑捌，∑ｙｕ∈ＩＬ，则∑剧＋∑３ｒｕ　Ｅ　ＩＬ；　②愚∑删一∑ｋｚｖ　Ｅ　ＩＬ，愚Ｅ　Ｒ。　∑对“，口Ｅ　Ｌ，Ｌ是Ｒ上的李代数，有［　，　］Ｅ　Ｌ，从而『∑删，“］一∑ｚ［　，“］Ｅ　ＩＬ。　由此可知ＩＬ是Ｌ的理想。　（２）Ｌ／ＩＬ可以看成Ｒ／Ｉ上的李代数。加法、作用及括积定义如下：　１）Ｖ　ｃｃ—ｚ＋ＩＬ，　一　＋ＩＬ　Ｅ　Ｌ／ＩＬ，令　＋ｙ＝＝＝　＋ｙ，　即，（ｚ＋ＩＬ）＋（　＋ＩＬ）一（　＋　）４－ＩＬ。　∑　２）对Ｖ忌一是＋　Ｅ　Ｒ／Ｉ，　—ｚ＋ＩＬ　Ｅ　Ｌ／ｉＬ，令是　—ｋ：ｃ，　即（是＋　）（ｚ＋ＩＬ）一妇＋ＩＬ；　３）Ｖ　一　＋ＩＬ，　：＝：　＋ＩＬ　Ｅ　Ｌ／ＩＬ，令［　，　］＝＝＝［ｚ，　］，　即［ｚ＋ＩＬ，３，＋ＩＬ］一［ｚ，３，］＋ＩＬ。　容易验证定义是合理的，且关于这两个运算，Ｌ／］Ｌ是一个Ｒ／Ｉ－模。　（Ｌ　。）括积是双线性的：　［　，　］一［（走＋Ｊ）（１ｚ＋ＩＬ），ｙ＋ＩＬ］一［尼ｚ＋ＩＩ　，　＋ＩＩ　］一是［ｚ，　］＋ＩＬ一　［　，　］　同理，［　，ｚ　］一ｚ［ｊ，　］。　［　＋　，　＋　］一［（ｚ　＋３２　）＋ＩＬ，（　＋　：）＋ＩＬ］一［　，　］＋［　，　］＋［　，　］＋［　，　］　（Ｌ　）［　，互＝］一６，对Ｖ　Ｅ　ｉｉ　－成立。　（Ｌ　。）　［　［　，　］］＋［歹［　，　］］＋［　［　，　］］一ｏ，对此直接计算可知，此雅可比等式亦成立。因此，　Ｌ／ＩＬ是Ｒ／Ｉ上的李代数。　设Ｓ　ｃ　Ｒ是子环，若Ｌ是环Ｒ上的李代数，则Ｌ也是子环Ｓ上的李代数。反之，在适当条件下，Ｓ上的　李代数可以拓广成Ｒ上的李代数。　设Ｌ是域ｓ上的　维李代数，ｅ　，ｅ　”，ｅ　是一组基，Ｘ是Ｌ的线性变换，使得Ｘ（ｅ　，ｅｚ，…，ｅ　）一　（ｇｌ，Ｐ２，…，　）Ａ，Ａ一（ｎ　）　×　，Ｅｅ　，ＰＪ］一　假设下列等式成立：　定理２设Ｌ，ｓ，ｘ如上，Ｓ［ｚ］是域Ｓ上的一元多项式环。通过ｘ定义变量　在Ｌ上的作用，进而定义　Ｓ［ｚ］在Ｌ上的作用，则Ｌ是ｓ［ｚ］上的李代数。　证明：对“Ｅ　Ｌ，定义ｚ．“一Ｘ（“），则有＿ｚ．（“＋　）一　．“＋　．　，ｚ．（　）＝　（ｚ．“），　Ｅ　Ｓ。　通常，考虑如下映射：Ｓ［ｚ］×Ｌ—Ｌ，（ｆ（ｚ），　）一厂（Ｘ）（　）。　对Ｖ　ｆ（ｚ）Ｅ　Ｓ［ｚ］，　，　Ｅ　Ｌ。由于厂（Ｘ）：Ｌ—Ｌ是Ｌ的线性变换，必有：　（１）（－厂（　）＋ｇ（ｚ））．“一厂（Ｘ）（“）＋ｇ（Ｘ）（“）一厂（ｚ）（“）＋ｇＣｒ）（“），即右分配律成立。　（２）厂（ｚ）（“＋口）一ｆ（Ｘ）（　＋　）＝＝＝－厂（Ｘ）（　）＋厂（Ｘ）（　）一ｆ（ｚ）．“＋ｆ（ｚ）．　；　（３）（－厂（　）ｇ（　））．　一（厂（Ｘ）ｇ（Ｘ））（　）一ｆ（Ｘ）（ｇ（Ｘ）（　））一ｆ（ｚ）（ｇ（　）．　）；　（４）１．ｚ一．７２。由此可知，Ｌ是Ｓ［－ｚ］一模。　第４期　张燕燕，等：环上李代数及其基环的扩张　］。　３１　最后，根据上述假设可以推出：Ｘ（Ｅｅ　，ｅ　］）一［　，ｅ　］一Ｅｅ　，　从而，Ｘ（［“，　］）一［ｘ　，　］一［“，　］，其中　代数定义知，Ｌ是Ｓ　Ｉｘ］上的李代数。　Ｅ　Ｌ。由此可以验证Ｌ满足（Ｌ　）～（Ｌｓ），由环上李　注记１上述假设中的等式是一般性条件，比较复杂。对一些特殊的情况，可以举出一些实例。例如，对三　维单李代数Ｌ，通过一些简单的计算可以得到某些适当的线性变换ｘ。特别，当Ｘ一０时，退化为Ｓ上的李　代数。　定理３　设Ｌ是环ｓ上的李代数，ｓ是Ｒ的子环，则张量积Ｒ　Ｌ是可以看成Ｒ上的李代数。　证明：考虑映射Ｒ×Ｒ　Ｌ—Ｒ　Ｌ，（ｒ，∑　（１）对Ｖ　ｒ　Ｅ　Ｒ，Ｖ　ｒ　Ｉｚ　Ｅ　Ｒ　Ｌ，　）一∑，７一　ｚ　。　ｚ　；　定义ｚ　：Ｒ　Ｌ—Ｒ　Ｌ，ｚ，（∑　（２）ｚ　（∑ｒ　“　＋∑Ｆｉ　（３）ｚ　（∑ｒｉ　从而，ｚ　．（∑ｒ！　（４）ｚ　（∑Ｔｉ　∑　的李代数。　）一∑　于是，ｚ　，．（∑７＂ｉ　ｚ　）一∑（ｒ＋ｓ）ｒ　置＝：＝∑　）一∑　＋∑ｒｒ　））。　）一∑¨．　ｚ　＋∑　一ｚ　（∑　，即，保持加法。　“　）＋ｚ　（∑ｒｉ　）；　）一∑　．ｒｉ　ｏ　。　ｚ，（ｚ　（∑　ｏ　））一ｚ　（∑　）一∑ｔ＂ｉ　。。　ＹｉＸ　一∑　）＝＝＝ｚ　．（ｚ　．（∑ｒ　）一　（∑ｖｉ　∑ｓ　由此可知，Ｒ　Ｌ是Ｒ一模。现定义Ｒ　Ｌ中的括积运算：　一∑　ｏ．７：ｉｙ　一∑　Ｉｘ　，　，］　Ｖ　，　∈Ｒ，Ｖ－ｚ　，　Ｅ　Ｌ。易证，Ｒ　Ｌ满足（Ｌ　）～（Ｌ。），由环上李代数的定义可知，Ｒ　Ｌ是环Ｒ上　例子　对于尺　Ｌ，令Ｓ—Ｒ（实数域），Ｒ—Ｃ（复数域），即变为Ｃ　Ｌ。Ｌ是实数域Ｒ上的李代数，，是　理想，则Ｃ　也是Ｃ　Ｌ的理想。　事实上，由于　是李代数Ｌ的理想：对Ｖ　ｚ　Ｅ　Ｌ，ｚ　∈Ｌ，有Ｅｘ　，Ｙ　］　，且　［∑ｃ　ｚ　，∑ｄ　ｚ　］一∑ｃｉｄ　ｘｉｌ，一　即，知Ｃ　Ｉ是Ｃ　Ｌ的理想。　ｚ　一∑￣ｉｄ　［　，ｚ　］Ｅ　Ｃ　Ｌ　３　结论　因此，在有单位元的交换环Ｒ上的李代数的前提下，可以在合适的环和域上构造李代数，并通过某种形　式将基环Ｓ上的李代数扩张到扩环Ｒ上的李代数，因此，对李代数的研究进一步的讨论，有助于更好地理解　李代数这一概念。　参考文献：　Ｅｌｉ　Ｊａｍｅｓ．Ｅ．Ｈｕｍｐｈｒｅｙｓ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｌｉｅ　Ａｌｇｅｂｒａｓ　ａｎｄ　Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ　Ｉｎｃ，１９７２：１—６．　［２］黄晓敏．环上李代数扭同态的构造及其应用［Ｊ］．青岛大学学报（自然科学版），２０１２，２５（４）：２０—２２．　［３］Ｌａｎｇ　Ｓｅｒｇｅ．Ａｌｇｅｂｒａ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ　Ｉｎｃ，２００２：１５—２０．　（下转第５１页）　第４期　赵　卫，等：掺杂碳纳米管的海藻酸钠纳米纤维热稳定性研究　Ｔｈｅ　ＴｈｅｒｍＯｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｏｄｉｕｍ　Ａｌｇｉｎａｔｅ　Ｎａｎｏｆｉｂｅｒｓ　ｗｉｔｈ　Ｃａｒｂｏｎ　Ｎａｎｏｔｕｂｅｓ　ＺＨＡＯ　Ｗｅｉａ，ＸＩＡ　Ｙａｎ－ｚｈｉ　～，ＹＡＮＧ　Ｄｏｎｇ—ｊｉａｎｇ　，ＬＯＮＧ　Ｘｉａｏ—ｊｉｎｇ　，　ＰＡＮ　Ｒｕ０一ｃａｉａ，ＺＨＡＮＧ　Ｌｉ—ｊｉｅ　，ＬＩ　Ｄａｏ—ｈａｏ　，ＬＩ　Ｃｈｕｎ－ｘｉａ　（ａ．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ　ｌ￣ＣｈｅｒｒＬｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ；　ｂ．Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｆｉｂｅｒ　Ｍａｔｅｒｉａｌｓ　ａｎｄ　Ｍｏｄｅｒｎ　Ｔｅｘｔｉｌｅ，　ｔｈｅ　Ｇｒｏｗｉｎｇ　Ｂａｓｅ　ｆ。ｒ　Ｓｔａｔｅ　Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ，Ｑｉｎｇｄａ。Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｄａ。２６６０７１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｃｅｎｔｌｙ，ｅｌｅｃｔｒｏｓｐｉｎｎｉｎｇ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｗｉｄｅｌｙ　ｕｓｅｄ　ａｎｄ　ｒｅｇａｒｄｅｄ　ａｓ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｓｔ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｍｅｔｎｏｄｓ　ｏｆ　ｐｒｏｄｕｃｉｎｇ　ｎａｎｏｆｉｂｅｒｓ．　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｒｅｐｏｒｔ，ｗｅ　ｆａｂｒｉｃａｔｅｄ　ａ　ｎｅｗ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｎａｎｏｆｉｂｅｒｓ　ｗｈｉｃｈ　ｃｏｍｂｉｎｅｄ　ｓｏｄ　ｕｍ　ａｌ－　ｇｉｎａｔｅ　ｗｉｔｈ　ｃａｒｂｏｎ　ｎａｎｏｔｕｂｅｓ．　ＳＥＭ，ＦＴ—ＩＲ，ＴＧ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｗｅｒｅ　ｕｓｅｄ　ｔＯ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ　ｔｈｅ　ｎａｎｏｉｉｂｅｒｓ　ｗ　ｔｎ　ｃａｒｂｏｎ　ｎａｎｏｔｕｂｅｓ　ａｎｄ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｃａｒｂｏｎ　ｎａｎｏｔｕｂｅｓ．　Ｆｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｔｕｒｎｅｄ　ｏｕｔ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ａｖｅｒａｇｅ　ｄ　ａｍｅｔｅｒ　ｏｉ　ｔｈｅ　ｓｏｄｉｕｍ　ａ１ｇｉｎａｔｅ　ｎａｎｏｆｉｂｅｒｓ　ｗｉｔｈ　ｃａｒｂｏｎ　ｎａｎｏｔｕｂｅｓ　ｗａｓ　１　９６　ｎｍ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃａｒｂｏｎ　ｎａｎｏｔｕｂｅｓ　ｓｈｏｗｅｄ　ａ　ｇｏ０ｄ　ｄｉｓＤｅｒｓｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｎａｎｏｆｉｂｅｒｓ．Ｔｈｒｏｕｇｈ　ｔｈｅ　ＴＧ　ａｎａｌｙｚｉｎｇ，ｗｅ　ｆｏｕｎｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｔｈｅｒｍｏｓｔａｂ　ｙ　ｏ±ｓ０ｄ’ｕｍ　ａｌｇｒ　ｎａｔｅ　ｎａｎｏｆｉｂｅｒｓ　ｗａｓ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ａｄｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃａ【ｒｂｏｎ　ｎａｎｏｔｕｂｅｓ・　Ｋｅｖ　ｗｏｒｄｓ：Ｅ１ｅｃｔｒｏｓｐｉｎｎｉｎｇ；Ｓｏｄｉｕｍ　Ａｌｇｉｎａｔｅ；Ｃａｒｂｏｎ　Ｎａｎｏｔｕｂｅｓ；Ｔｈｅｒｍｏｓｔａｂｉｌｉｔｙ　责任编辑：张辉群　（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