试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b的值为( ) A．﹣10
B．﹣14
C．10 D．14
参考答案：
B
【考点】一元二次不等式的应用． 【专题】计算题．
【分析】将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数a，b，从而求出所求．
【解答】解：∵不等式ax+bx+2＞0的解集为（﹣，） ∴﹣，为方程ax+bx+2=0的两个根 ∴根据韦达定理： ﹣+=﹣ ① ﹣×= ② 由①②解得：
2
2
∴a+b=﹣14 故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题．
2. 设，不等式的解集是，（ ）
A．1∶2∶3 B．2∶1∶3 C．3∶1∶2 D．3∶2∶1 参考答案： B 略
3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B． D．参考答案： C
4. 设F1（－4，0），F2（4，0）为定点，动点M满足是（ ）.
A．椭圆 B．直
线 C．圆 D．线段
，则动点M的轨迹
C．
参考答案：
D
5. 已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一
点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若h1+2h2+3h3+4h4=
====k，则
类比以上性质，体积为y的三棱锥的每个面的面积分别记为Sl，S2，
S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若
====K，则H1+2H2+3H3+4H4=（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】类比推理．
【分析】由====k可得ai=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四
个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积． 【解答】解：根据三棱锥的体积公式V=Sh， 得： S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=V 即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V， ∴H1+2H2+3H3+4H4=故选B．
6. 下列说法正确的是 （ ）
A、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形 C、梯形一定是平面图形 D、三条直线两两相交，则这三条直线共面
，
参考答案：
C
7. 设，，且，则的最小值为 ．
参考答案：
略
8. 球面上有四个点P，A，B，C，若PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的球面面积为( )
A． B． C．3πa2 D．
参考答案： C
考点：球的体积和表面积． 专题：计算题．
分析：PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积．
解答：解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且
PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为 故选C．
点评：本题是基础题，考查球的内接体知识，球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，分析出，正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在．
，所以这个球面的面积
．
9. 已知且到A．
船在灯塔的距离为
北偏东
，则
且到的距离为2km，船在灯塔西偏北
两船的距离为
km C．
km
km B．
km
D．参考答案： D
10. 已知命题A.命题C.命题
，命题
是假命题 B.命题
是真命题 D.命题
是真命题 是假命题
，则( )
参考答案：
C 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．
参考答案：
630. 【分析】
分别计算第三个格子与第一个格子同色，以及第三个格子与第一个格子不同色，所对应的不同涂色方法，即可求出结果.
【详解】用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，
若第三个格子与第一个格子同色， 则有
种涂色方法；
若第三个格子与第一个格子不同色， 则有综上，共有故答案为630
【点睛】本题主要考查排列中的涂色问题，根据分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.
12. 下列命题中：（1）若
；
（2）函数
且
的图象恒过定点Ａ，若Ａ在
满足
，
满足
，则
种涂色方法；
种涂色方法.
上，其中周期的函数，若值域为
则的最小值是
在
； （3）设上的值域为
是定义在Ｒ上，以１为，则
在区间
上的仅有２
； （4）已知曲线与直线
个交点，则； （5）函数图象的对称中心为（2，1）。
其中真命题序号为 ．
参考答案：
（2），（3），（5） 略
13. 曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积是 ．
参考答案：
2π
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】根据余弦函数的对称性，可知①与②，③与④的面积分别相等，所以曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积即为x轴上方矩形的面积，由此可得结论．
【解答】解：根据余弦函数的对称性，可知①与②，③与④的面积分别相等， ∴曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积即为x轴上方矩形的面积 即1×2π=2π，
∴曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积是2π， 故答案为：2π．
14. 已知抛物线C：y2=﹣4x的焦点F，A（﹣1，1），则曲线C上的动点P到点F与点A的距离之和的最小值为 ．
参考答案：
2
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P、A和P在准线上的射影点Q三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x， ∴2p=4，可得焦点为F（﹣1，0），准线为x=1 设P在抛物线准线l上的射影点为Q点，A（﹣1，1）
则由抛物线的定义，可知当P、Q、A点三点共线时，点P到点（﹣1，1）的距离与P到该抛物线焦点的距离之和最小， ∴最小值为1+1=2． 故答案为：2．
【点评】本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q和焦点F距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．
15. 已知，则________.
参考答案：
－3 【分析】
由两角差的正切公式展开，解关于
的方程。
【详解】因为，所以。
【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号。
16. 经过双曲线________________.
的右焦点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为
参考答案：
略
17. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若棱长AB=3，则点B到平面ACD1的距离为 ．
参考答案：
【考点】点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面ACD1的距离．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 则B（3，3，0），A（3，0，0），C（0，3，0），C1（0，3，3），D1（0，0，3）， =（﹣3，3，0），
=（﹣3，0，3），
=（0，3，0），
设平面ACD1的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，1，1），
∴点B到平面ACD1的距离：
d=故答案为：
=．
=．
【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2，离心率为
．
+=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为
（1）求a，b的值，
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意求得a，结合椭圆离心率求得c，再由隐含条件求得b；
（2）由（1）求得椭圆方程，设出P的坐标，得到过P的直线l的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式结合根与系数的关系求得弦长，再由点到直线的距离公式求出O到直线l的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值．
【解答】解：（1）由题设知a=2，e=∴c=
，故b2=4﹣3=1．
，
因此，a=2，b=1；
（2）由（1）可得，椭圆C的方程为．
设点P（m，0）（﹣2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）． 若k=1，则直线l的方程为y=x﹣m． 联立直线l与椭圆C的方程，
即．将y消去，化简得x2﹣2mx+m2﹣1=0．
从而有，x1+x2=，x1x2=，
因此，|AB|==
==，
点O到直线l的距离d=，
∴×|AB|×d=×|m|，
因此，（ 5﹣m2）×m2≤
（
）2=1．
又﹣2≤m≤2，即m2∈[0，4]．
当5﹣m2=m2，即m2=，m=±时，S△OAB取得最大值1．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了再由与圆锥曲线位置关系的应用，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．
19. （本小题12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的
面积，满足
（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求
的范围.
。
参考答案：
（1）C=；（2）（].
（1）由，得absinC=×2abcosC
∴tanC=,∴C=
（2） ∵△ABC是锐角△ABC且C=，∴
∴=sinA+sin(
2
)=sin(A+)∈（]
20. 关于复数z的方程z﹣（a+i）z﹣（i+2）=0（a∈R）， （1）若此方程有实数解，求a的值；
（2）用反证法证明：对任意的实数a，原方程不可能有纯虚根．
参考答案：
【考点】R9：反证法与放缩法．
【分析】（1）若此方程有实数解，设z=m∈R，代入方程利用两个复数相等的充要条件，解方程求得a的值．
（2）假设原方程有纯虚根，令z=ni，n≠0，整理可得﹣n2+n﹣2+（﹣an﹣1）i=0，利用两个复数相等的充要条件
可得论．
，由于①的判别式△＜0，方程①无解，故方程组无解，从而得到结
【解答】解：（1）若此方程有实数解，设z=m∈R，代入方程可得 m﹣（a+i）m﹣（i+2）=0，
即m2﹣am﹣2+（﹣m﹣1）i=0，∴m2﹣am﹣2=0，且﹣m﹣1=0， ∴m=﹣1，a=1．
（2）假设原方程有纯虚根，令z=ni，n≠0，则有 （ni）2﹣（a+i）ni﹣（i+2）=0，
2
整理可得﹣n2+n+（﹣an﹣a﹣2）i=0，∴．
∴对于①，由于判别式△＜0，∴方程①无解，故方程组无解，故假设不成立， 故原方程不可能有纯虚根．
【点评】本题考查两个复数相等的充要条件，用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．
21. （本小题满分12分）
已知函数
（I）求c的取值范围；
有极值。
（II）若值范围。 参考答案：
处取得极值，且当恒成立，求d的取
略
22. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，右焦点到直线x+y+1=0的距离为(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A，B的点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程. 参考答案：
.
(1)由 得
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