导数证明不等式题型全

导数题型一：证明不等式

不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。 一．构造形似函数型 例1．求证下列不等式

x2x2ln(1x)x（1）x x(0,)（相减） 22(1x)

（2）sinx

（3）xsinxtanxx x(0,

（4）已知：x(0)，求证

（5）已知函数f(x)ln(x1)x，x1，证明：1

2x x(0,2)（相除两边同除以x得xsinx2）

2)

1x11x1） ln；（换元：设txx1xx1ln(x1)x x1

巩固练习：

1.证明x1时，不等式2x3 2.x0，证明：ex1x

x2ln(1x) 3.x0时，求证：x21 xx2x3,　　(1x1). 4.证明: ln(1x)x231 5.证明: tanxxx3，x(0,).

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二、需要多次求导

例2.当x(0,1)时,证明:(1x)ln2(1x)x2

1例3.求证:x＞0时,exx21x

2

例4.设函数f(x)＝ln x＋时，f(x)<

三、作辅助函数型

例5.已知：a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.

例6.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx, (i)求函数f(x)的最大值；

(ii)设02a2

x－(a＋1)x(a>0，a为常数)．若a＝1，证明：当x>12122xx－－x. 2x1

巩固练习 6、证明 (1)

bablnbabaa(0ab)

(2)a0,b0,证明( （3）若0x1x2

四、同增与不同增 例7.证明：对任意x0,

例8.已知函数f(x)1

abab)aabb 22,证明:

tanx2x2 tanx1x11xlnxx1e2. xe1x1证明：. (xlnx)f(x)1,g(x)xlnxe2ex

五、极值点偏移（理科）

例9.已知函数f(x)xex(xR)．如果x1x2,且f(x1)f(x2),证明x1x22．

例10.已知函数f(x)(x1)ex，xR，其中e是自然对数的底数.若x1x2，且

f(x1)f(x2)，求证：x1x24.

六、放缩法

例11.已知：nN且n2，求证：

例12.当n2且nN*时，证明：

例13.求证：ln(n1)

11111。 lnn123n2n1111lnn. ln2ln3lnn1111（nN*）． 3572n1

巩固练习

7.证明:对任意的正整数n,不等式2…8.已知nN且n3，求证: ln3449n1ln(n1)都成立. 2nn+11111<+++LL+. 3345nln2ln3ln4lnn19.求证：×…×<(n≥2，n∈N*)． nn234ln1ln2ln(n1)lnnn210.证明：对任意的nN ，有. 

12n1n2(n1)

七、综合题型

例13.已知函数f(x)(x1)lnxx1. （Ⅱ）证明：(x1)f(x)0 .

例14.a为实数，函数f(x)e2x2a,xR （1）求f(x)的单调区间

（2）求证：当aln21且x0时，有ex2ax1

例15.已知函数f(x)axx2x12(x2x)lna（a0且a1）. 2（1）当ae时，求证:f(x)在(0,)上单调递增；

（2）当a[e,e2]U[,1)且t[1,)时,求证:f(2t1)2f(t)e3.

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