2016-2017学年江西省宜春市丰城中学高三（上）第一次段
考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤9}，则M∩N=（ ） A．（1，3）
【考点】交集及其运算．
【分析】根据对数函数的单调性求出集合M，解不等式x≤9求出集合N，再进行交集运算．
2
【解答】解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x≤9}={x|﹣3≤x≤3}，
2
B．[1，3） C．（1，3] D．[1，3]
∴M∩N={x|1＜x≤3}， 故选C．
2．已知命题p：存在x0＞0，使2A．对任意x＞0，都有2x≥1 C．存在x0＞0，使2
≥1
＜1，则￢p是（ ）
B．对任意x≤0，都有2x＜1 D．存在x0≤0，使2
＜1
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由全称命题和特称命题的关系和否定规律可得． 【解答】解：∵命题p：存在x0＞0，使2
x
＜1为特称命题，
∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2≥1． 故选：A
3．、是两个非零向量，且||=||=|﹣|，则与+的夹角为（ ） A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由条件利用本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，数形结合可得与+的夹角．
【解答】解：如图所示：设=， =，则=﹣，
=+，∠AOC为与+的夹角．
以OA OB为邻边，作平行四边形OACB，则
由||=||=|﹣|，可得△OAB 为等边三角形，故平行四边形OACB为菱形， ∴∠AOC=30°， 故选：A．
4．设与是两个不共线向量，且向量+t与（﹣2）共线，则t=（ ） A．0.5
B．﹣0.5
C．﹣1
D．﹣2
【考点】平行向量与共线向量；平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据两个向量共线的条件，得存在实数λ，使+t=λ（﹣2）．由此结合平面向量基本定理列出方程组，解之可得实数t的值． 【解答】解：∵向量+t与（﹣2）共线， ∴存在实数λ，使+t=λ（﹣2），得解之得t=﹣ 故答案为：B
5．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（ ） A．1
【考点】复数求模．
【分析】变形已知条件可得z+i=
，化简可得z，可得模长．
B．2
C．3
D．4
【解答】解：∵（z+i）（1+i）=1﹣i， ∴z+i=
=
==﹣i，∴z=﹣2i
∴|z|=2 故选：B．
6．已知i为虚数单位，a∈R，若A．
B．
为纯虚数，则复数z=（2a+1）+
C．
i的模等于（ ）
D．
【考点】复数求模．
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数
，又根据
为纯虚数，列出方程组，
求解即可得a的值，然后代入复数z，再由复数求模公式计算得答案． 【解答】解：
=
=
，
∵为纯虚数，
∴，
解得：a=1． 复数z=（2a+1）+则故选：D．
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+b2﹣c2）tanC=ab，则角C的值为（ ） A．
或
B．
或
C．
D．
i=
． ，
【考点】余弦定理．
【分析】已知等式整理后，利用余弦定理，以及同角三角函数间基本关系化简，求出sinC的值，即可确定出C的度数．
【解答】解：在△ABC中，由已知等式整理得：
=
，即cosC=
，
∵cosC≠0，∴sinC=， ∵C为△ABC内角， ∴C=
或
，
故选：A．
8．若α∈（A．
，π），则3cos2α=sin（
B．﹣
﹣α），则sin2α的值为（ ）
C．
D．﹣
【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．
【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可． 【解答】解：3cos2α=sin（可得3cos2α=
﹣α），
（cosα﹣sinα），
（cosα﹣sinα），
3（cos2α﹣sin2α）=∵α∈（
，π），∴sinα﹣cosα≠0，
， ．
上式化为：sinα+cosα=两边平方可得1+sin2α=∴sin2α=故选：D．
．
9．在﹣20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为（ ） A．200
B．100
C．90
D．70
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列的前n项和公式计算即可．
【解答】解：因为在﹣20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列， 所以根据等差数列前n项和公式，这10个数的和为：
S10=故选：B．
=100，
10．已知{an}是首项为的等差数列，Sn为数列的前n项和，若S6=2S4，则a7=（ ） A．
B．
C．﹣
D．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【解答】解：∵S6=2S4，a1=， ∴
+
d=2
，
解得d=． 则a7=故选：D．
11．已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
=．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x＞2恒成立，求出右边函数的最小值，即可求k的最大值．
【解答】解：f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立， 即k＜
对任意x＞2恒成立．
令g（x）=，则g′（x）=，
令h（x）=x﹣2lnx﹣4（x＞2），则h′（x）=1﹣=所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增． 因为h（8）=4﹣2ln8＜0，h（9）=5﹣2ln9＞0，
，
所以方程h（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（8，9）．
当2＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0， 所以函数g（x）=
在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．
又x0﹣2lnx0﹣4=0，所以2lnx0=x0﹣4，故1+lnx0=x0﹣1，
所以[g（x）]min=g（x0）=
=
=x0∈（4，4.5）
所以k＜[g（x）]min=故整数k的最大值是4． 故选：B．
=x0∈（4，4.5）．
12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有
=1，则不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|的解集为（ ） A．（﹣∞，0） （0，1）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
B．（﹣∞，1）
＞﹣1，且f（1）
C．D．（﹣1，0）∪（0，3） （﹣∞，0）∪
xx
【分析】由题意可得函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，f（log2|3﹣1|）+log2|3﹣1|xx
＜f（1）+1，可得﹣2＜3﹣1＜2，且3﹣1≠0，由此求得x的范围．
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有
＞﹣1，即
＞0，
故函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，
xxxx
由不等式f（log2|3﹣1|）＜2﹣log2|3﹣1|，可得f（log2|3﹣1|）+log2|3﹣1|＜2=f（1）+1， xxxx
∴log2|3﹣1|＜1，故﹣2＜3﹣1＜2，且3﹣1≠0，求得3＜3，且x≠0，
解得 x＜1，且x≠0， 故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．一艘客轮自北向南航行，上午8时在灯塔P的北偏东15°位置，且距离灯塔34海里，下午2时在灯塔P的东南方向，则这只船航行的速度为 【考点】解三角形的实际应用．
【分析】根据方向角的定义即可求得∠APB=120°，求出PB，在△ABP中利用余弦定理求得AB然后求解速度．
【解答】解：由题意P到AB的距离为：34cos75°， PB=34
cos75°=
=17
﹣17．
海里/小时．
在△PAB中，AB==
这只船航行的速度为：故答案为：
．
海里/小时．
=17
．
14．数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：an+m=an+am+nm，则a100= 5050 ． 【考点】数列递推式．
【分析】令m=1，an+1=an+1+n′⇒an+1﹣an=1+n再利用累加法求得a100． 【解答】解：令m=1，an+1=an+1+n⇒an+1﹣an=1+n，再利用累加法求得：
a100=（a100﹣a99）+（a100﹣a99）+（a99﹣a98）+…+（a2﹣a1）+a1=100+99+98+…+2+1=5050 故答案：5050．
15．已知f（x+1）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），则f（﹣）的值为
．
【考点】函数的值．
f=f【分析】（x+1）是周期为2的奇函数，可得f（x）为周期为2的函数，即f（x+2）（x）．由f（x+1）是奇函数，有f（﹣x+1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x），即可得出． 【解答】解：∵f（x+1）是周期为2的奇函数， ∴f（x）为周期为2的函数， 即f（x+2）=f（x）．
由f（x+1）是奇函数，有f（﹣x+1）=﹣f（x+1）， 即f（x）=﹣f（2﹣x），
故f（﹣）=f（）=﹣f（）=﹣f（﹣）， 而﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1）， ∴f（﹣）=﹣2×∴f（﹣）=故答案为：
16．已知函数f（x）=x2﹣2x+a，g（x）=x+，若对于∀x1∈[﹣1，0]，∃x2∈[1，8]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数的a取值范围是 [5，5.5] ． 【考点】全称命题；二次函数的性质．
2【分析】由∀x1∈[﹣1，0]，∃x2∈[1，8]，使得f（x1）=g（x2），可得f（x）=x﹣2x+a在
×=，
． ．
x1∈[﹣1，0]的值域为g（x）=x+在x2∈[1，8]的值域的子集，构造关于a的不等式组，可得结论．
2
【解答】解：当∀x1∈[﹣1，0]时，由f（x）=x﹣2x+a得，对称轴是x=1，
f（1）=﹣1+a是函数的最小值，且f（﹣1）=3+a是函数的最大值， ∴f（x1）∈[﹣1+a，3+a]；
g（x）=x+在x2∈[1，8]的值域为[4，
]
又∵∀x1∈[﹣1，0]，∃x2∈[1，8]，使得f（x1）=g（x2），
∴[4，]⊇[﹣1+a，3+a]．
∴，解得5≤a≤5.5．
综上所述实数a的取值范围是[5，5.5]． 故答案为：[5，5.5]．
三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余每小题10分，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC中，a2+c2=b2+（Ⅰ）求∠B的大小； （Ⅱ）求
cosA+cosC的最大值．
ac．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=（Ⅱ）由（I）得：C=值．
222【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a+c=b+222∴a+c﹣b=
，进而得到答案；
cosA+cosC的最大
﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得
ac．
ac．
=
=
，
∴cosB=
∴B=
﹣A，
﹣A）
（Ⅱ）由（I）得：C=∴==
cosA+cosC=cosA﹣cosA+
cosA+cos（
sinA
cosA+sinA ）．
），
=sin（A+∵A∈（0，
∴A+故当A+即
∈（=
，π）， 时，sin（A+
）取最大值1，
cosA+cosC的最大值为1．
18．已知函数f（x）=2sinx•cosx+2
cos2x﹣
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足f（﹣
）=
，且sinB+sinC=
，求bc的值．
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
【分析】（1）f（x）解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函数的单调性确定出f（x）的单调递减区间即可； （2）由f（x）解析式，以及f（﹣用正弦定理化简，求出bc的值即可． 【解答】解：（1）f（x）=2sinx•cosx+2∵ω=2，∴f（x）的最小正周期T=π， ∵2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z， ，kπ+
）+
]，k∈Z； ]=2sinA=
，即sinA=
，
cos2x﹣
=sin2x+
cos2x=2sin（2x+
），
）=
，求出A的度数，将sinB+sinC=
，利
∴f（x）的单调减区间为[kπ+（2）由f（﹣∵A为锐角，∴A=
）=2sin[2（﹣，
由正弦定理可得2R===，sinB+sinC==，
∴b+c=×=13，
由余弦定理可知：cosA=整理得：bc=40．
==，
19．已知等差数列{an}满足a1=9，a3=5． （1）求等差数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn，及使得Sn取最大值时n的值． 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知列式求出公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）写出等差数列的前n项和，然后利用配方法求得Sn的最大值及Sn取最大值时n的值．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 由a1=9，a3=5，得
∴an=9+（n﹣1）（﹣2）=11﹣2n； （2）
当n=5时取最大值25．
20．正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0 （1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn=
，求数列{bn}的前n项和Tn，证明：对于任意的n∈N，都有Tn
*
，
=﹣（n﹣5）2+25．
．
【考点】数列的求和；数列递推式．
22【分析】（1）因式分解可得（Sn﹣（n+n））（Sn+1）=0，从而求得Sn=n+n，从而判断出{an}
为等差数列，从而解得； （2）裂项bn=
=
（
﹣
），从而求其前n项和前证明不等式即可．
222【解答】解：（1）∵Sn﹣（n+n﹣1）Sn﹣（n+n）=0， 2
∴（Sn﹣（n+n））（Sn+1）=0， 2
∴Sn=n+n，或Sn=﹣1（舍去），
故正项数列{an}为等差数列， 其中a1=1+1=2，a2=S2﹣S1=4， 故an=2+2（n﹣1）=2n；
（2）∵bn=∴Tn===
（1﹣+﹣
=（﹣+…+） ）；
﹣
），
）
+﹣﹣
（1+﹣﹣
（．
+
故Tn＜
21．设函数f（x）=x2+（2m﹣3）x+lnx（m∈R）． （1）讨论函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）若对任意的x∈（1，2），总有f（x）＜﹣2，求m的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可；（2）结合（1），求出f（x）在（1，2）上的最大值，得到关于m的不等式，解出即可．
2
【解答】解：（1）f（x）=x+（2m﹣3）x+lnx，（x＞0），
f′（x）=x+（2m﹣3）+=
2
令g（x）=x+（2m﹣3）x+1， 2
△=4m﹣12m+5≤0即≤m≤时，
，
f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增， △＞0时，解得：m＞或m＜， m＞时，x1=3﹣2m﹣∴f（x）在（0，+∞）递增， m＜时，0＜x1=3﹣2m﹣∴f（x）在（0，3﹣2m﹣2m+在（3﹣2m+
）递减，
，+∞）递增；
＜x2=3﹣2m+）递增，在（3﹣2m﹣
，
，3﹣
＜x2=3﹣2m+
＜0，
（2）由（1）得：m≥时，f（x）在（0，+∞）递增，
故f（x）在（1，2）递增，只需f（2）=2+2（2m﹣3）+ln2＜﹣2即可，解得：m＜﹣ln2＜，不合题意，舍， m＜时，x13﹣2m﹣
＞2，
∴f（x）在（1，2）递增，只需f（2）=2+2（2m﹣3）+ln2＜﹣2即可，解得：m＜﹣ln2＜，符合题意， 故m＜﹣ln2．
22．已知函数f（x）=x3+x2﹣2x+a的图象在与y轴交点处的切线方程为y=bx+1． （I）求实数a，b的值；
22
（II）若函数g（x）=f（x）+（m﹣1）x﹣（2m﹣2）x﹣1的极小值为﹣
，求实数m
的值；
（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[﹣1，0]（x1≠x2），不等式|f（x1）﹣f（x2）|≥t|x1﹣x2|恒成立，求实数t的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（I）利用函数f（x）的图象在与y轴交点为（0，a），求a的值，利用f′（0）=b，求实数a，b的值；
22
（II）若函数g（x）=f（x）+（m﹣1）x﹣（2m﹣2）x﹣1的极小值为﹣
，分类讨论，
确定函数的单调性，即可求实数m的值；
（Ⅲ）对任意的x1，x2∈[﹣1，0]（x1≠x2），不等式|f（x1）﹣f（x2）|≥t|x1﹣x2|恒成立，则t≤|
|任意的x1，x2∈[﹣1，0]（x1≠x2）恒成立，利用导数的几何意义，即
可求实数t的取值范围．
【解答】解：（I）∵函数f（x）的图象在与y轴交点为（0，a），∴a=1，
2
又f′（x）=x+x﹣2，∴f′（0）=b=2 …
32322
（II）由（I）得f（x）=x+x﹣2x+1，g（x）=x+•mx﹣2mx，
∴g′（x）=（x+2m）（x﹣m）
2
（1）当m=0时，g′（x）=x≥0恒成立，不存在极值； …
（2）当m＜0时，由g′（x）＞0得x＜m或x＞﹣2m，由g′（x）＜0得m＜x＜﹣2m． ∴g（x）在（﹣∞，m），（﹣2m，+∞）上单调递增，在（m，﹣2m）单调递减， ∴g（x）极小值=g（﹣2m）=
=﹣
，∴m=﹣1；…
（3）当m＞0时，由g′（x）＞0得x＜﹣2m或x＞m，由g′（x）＜0得﹣2m＜x＜m， ∴g（x）在（﹣∞，﹣2m），（m，+∞）上单调递增，在（﹣2m，m）单调递减， ∴g（x）极小值=g（m）=﹣
=﹣
，∴m=
．
综上所述，实数m=﹣1或m= …
（Ⅲ）对任意的x1，x2∈[﹣1，0]（x1≠x2），不等式|f（x1）﹣f（x2）|≥t|x1﹣x2|恒成立， 则t≤|
|任意的x1，x2∈[﹣1，0]（x1≠x2）恒成立，
又在区间（﹣1，0）上一定存在x0，使f′（x0）=
322
∵f（x）=x+x﹣2x+1，∴f′（x）=x+x﹣2=（x+2）（x﹣1），
，
∵x∈[﹣1，0]，
∵f′（﹣1）=﹣2，f′（0）=﹣2， ∴t≤2…
2016年12月27日
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