非线性分数阶P-Laplacian方程边值问题正解的存在性

２０１４年１０月　湘南学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉａｎｇｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｏｃｔ．，２０１４　Ｖｏｌ＿３５　Ｎｏ．５　第３５卷第５期　非线性分数　阶Ｐ—Ｌａｐｌａｃｉａｎ方　程边值问题　正解的存在性　蒋园园，彭明华，邓显倡，王　珍　指导教师：王金华，向红军　（湘南学院数学与金融学院，湖南郴州摘４２３０００）　要：运用锥上的Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理和Ｌｅｇｇｅｔｔ—Ｗｉｌｌｉａｍｓ定理，考虑了一类非线性分数阶ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程正　解的存在性。获得了该边值问题存在正解的充分条件，并举例说明了所得结果的有效性．　关键词：Ｐ—Ｌａｐｌａｅｉａｎ方程；边值问题；正解；Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理；锥　中图分类号：Ｏ１７５．１３　文献标识码：Ａ　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－８１７３．２０１４．０５．０３０　１　引言　分数阶微积分是整数阶微积分的延伸与拓展，是一个研究任意阶次（实数阶次或复数阶次）的微分、积分　算子特性及其应用的数学问题的理论，其发展几乎是与整数阶微积分同步，具有广泛的理论意义与实际研究　价值．分数阶微分方程受到人们的广泛关注和研究，这与分数阶微分方程自身理论的深入发展和其在各个领　域中的应用是密不可分的．正因为如此。线性、非线性分数阶微分方程边值问题的研究引起了国内外许多学者　的广泛关注并逐渐成为了一个热点问题，见参考文献［１—５］．如：文献［３］的作者研究了边值问题：　Ｄｏ＋１１，（　）＝．厂（　，　（ｔ）），０＜ｔ＜１，１１，（０）＋ｕ（０）＝０，　（１）＋１１，（１）＝０，　其中，１＜Ｏｌ　是一个实数，Ｄ；＋是Ｃａｐｕｔｏ分数导数，．厂：【０，１］×【０，＋∞）一［Ｏ，＋∞）是连续函数，获得了该　边值问题存在多重正解的充分条件．　文献［４］的作者研究了非线性分数微分方程边值问题：　Ｄｏ＋ｕ（ｔ）＋／－（ｔ，ｕ（ｔ））＝０，０＜ｔ＜１，ｕ（ｏ）＝Ｍ（１）＝０，　其中，是１＜Ｏｌ　一个实数，Ｄ　＋是Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数导数，　：［０。１】×［Ｏ，＋∞）一【０，＋∞）是连续函　数．应用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理得到了该问题存在正解的多个结果．　随着分数阶微分方程边值问题理论的发展，分数阶Ｐ—Ｌａｐｌａｃｉａｎ边值问题的研究也逐渐成为热点，但由　于带Ｐ—Ｌａｐｌａｃｉａｎ算子的方程研究难度较大，据了解分数阶Ｐ—Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程边值问题的结果相对较少．因　此，本文考察如下非线性分数阶Ｐ—Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程边值问题：　ｆＤ：＋（　（Ｄｏ＋　（ｔ）））＝　ｔ，　（￡）），０＜ｔ＜１，　ｌｕ（０）＋ＩＺ　（０）＝０，　（１）＋　（１）＝０，Ｄｏ＋ｕ（ｆ）Ｉ　：ｏ＝０，　１　１　、　。　其中，０＜ｒ＜１，１＜Ｏｔ　是实数，Ｄ　＋表示Ｃａｐｕｔｏ分数导数，　：［０，１】×［０，＋∞）一［０，＋∞）是连续函数，　（ｓ）＝　ｐ－２ｓ，Ｐ＞１，　。）一　＝　ｑ，．１＋　１＝１．运用锥上的Ｋｒ＝．ａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理和Ｌｅｇｇｅｔｔ—Ｗｉｌｌｉａｍｓ定　Ｐ理，获得了该边值问题存在多重正解的充分条件，并举例说明了所得结果的有效性．　收稿日期：２０１３—１２—１８；修回日期：２０１４—０４—０５　基金项目：湖南省大学生研究性学习和创新性实验计划项目（湘教通［２０１４］２４８号；湘南学院大学生研究性学习和创新性　实验计划项目（湘南学院院发［２０１２］１９２号）　作者简介：蒋园园（１９９２一），女，广西全州人．通信作者：向红军（１９６７一），男，湖南洞口人，教授，硕士：研究方向：微分方程．　・１　１９・　湘南学院学报（自然科学版）　２０１４年１０月（第３５卷）第５期　本文后面的内容安排如下：在第２部分中，将介绍本文需要应用的定义和引理．在第３部分中，将讨论边　值问题（１．１）多重正解的存在性．在第４部分中，运用实例证明我们的理论是有效的．　２基本定义和准备工作　首先，我们介绍一些有关分数阶微积分的基本的定义和引理．　定义２．１　一个函数ｙ：［０．ｏｏ）＿÷　的仅（　＞０）阶Ｃａｐｕｔｏ导数定义为：　Ｄ　＋ｙ（　）　ｉ南Ｊ。（￡一ｓ）　一　一　），‘　’（ｓ）ｄｓ，　其中，ｎ＝［　］＋１，［　］表示实数　的最大整数部分．　定义２．２｜９　当　＞０时，函数ｙ的　阶分数积分定义为：　＋ｙ（ｔ）　高ＪＯ（￡一ｓ）　，，（ｓ）ｄｓ，ｆ＞０・　定义２．３＿９］一个函数，，（ｔ）的　阶Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ导数定义为：　跟ｙ㈤＝而１＿（　（…）　。　，　＞０，　其中凡＝［　］＋１，［　］表示的　整数部分．　定义２．４　］若函数　：Ｋ一【０．＋∞）是连续的且对所有的　，Ｙ∈Ｋ，０鱼　１，有：　（ｔｘ＋（１一ｔ）Ｙ）　ｔ　（　）＋（１一ｔ）　（ｙ），　则称函数　是　上的非负连续凹函数．　引理２．５［３］设　＞０，则分数微分方程Ｄｏ～＋Ｍ（ｔ）＝０有解：　Ｍ（ｔ）＝Ｃ０＋ｃｌｔ＋ｃ２ｔ　＋…　＋ｃ　一１ｔ　＿。，Ｃ　∈Ｒ，ｉ＝０，１，…，ｎ一１，ｎ＝【　］＋１．　由此引理２．５，有下面的引理２．６：　弓ｌ理２．６　ｍ　设　＞０，贝０有　＋Ｄ　＋ｕ（ｔ）＝　（ｔ）＋Ｃ０＋ｃｌｔ＋ｃ２ｔ　＋．．．＋ＣｎＩｔ　一　，其中ｃ　∈Ｒ，ｉ＝０，１，…，　ｎ，　＝［　】＋１．　以下不动点定理在本文中起着重要的作用．　引理２．７　设　是一个Ｂａｎａｃｈ空间，Ｐ　ｃ　Ｘ是在　上的一个锥．假设ｎ。，ｎ　是开集，有０∈　。ｃ　Ｑ。ｃ　Ｑ：，如果Ｓ：Ｐ—Ｐ是全连续算子，有：　（１）ｌ　ｌＳ　ｌｌ≤ｌ　ｌＷ　Ｉｌ，　∈Ｐ　ｎ　ａｎｌ，且ｌＩ｜ｓ　Ｉｌ　则Ｓ在Ｐ　ｎ　ｎ　＼Ｑ，中至少有一个不动点．　引理２．８　设Ｋ是一个锥且Ｋｃ＝｛Ｙ∈Ｋ　Ｉ　ｌ１），ｌ　｝，ｌ　：　—　是全连续的，ａ是　在上的一个非负连　『　ｌＷ　ｌｌ，　∈Ｐ　ｎ　ｄＱ２，或　（２）ｌ１．ｓ　ｌＩ；兰Ｉ　Ｉｌｌ，Ｗ∈Ｐ　ｎ　ａＱｌ，且ｌＩ　５　ｌｌ　ｌｌ埘ｌｌ，Ｗ∈Ｐ　ｎ　ａＱ　，　续凹函数满足　（），）　ｌ　ｌＹ　ｌｌ，Ｙ∈Ｋｃ．若存在０＜０＜６＜ｄ　使得：　（１）｛　∈Ｋ（　，ｂ，ｄ）Ｉ　（　）＞ｂ｝≠　，　（　）＞ｂ，Ｙ∈Ｋ（　，６，ｄ）；　（２）ｌ　ｙ　ＩｌＩ＜口，Ｉｌ　Ｙ　ｌ　０；ｌ　（３）　（　）＞ｂ，ｙ∈Ｋ（　，６，ｃ），ｌｆ　Ｉｌ＞ｄ，同时成立．　则Ｔ至少有三个不动点　，Ｙ：，Ｙ　满足：　ｌ　ｌＹｌ　ｆｌ＜０，ｂ＜　（Ｙ２），ｌ　ＩＹ３　ｌｌ＞口，　（ｙ３）＜ｂ．　引理２．９¨３　设Ｙ∈Ｃ【０１】，边值问题　．ｆＤ　＋“（ｔ）＝Ｙ（ｔ），０＜ｔ＜１，１＜仅　，　　ｌ　（０）＋ｕ　（０）：０（１）＋　（１）：０，，　（２・１）　有唯一解：　ｒ１　．　（ｆ）＝Ｉ　Ｇ（ｔ，ｓ）Ｙ（５）ｄｓ，　・１　２０・　蒋园园，彭明华，等：非线性分数阶ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程边值问题正解的存在性　其中，　（１一ｓ）　一　（１一ｔ）＋（ｔ—ｓ）　一　ｒ（０ｃ）　＋　　。Ｇ（ｔ，ｓ）＝　Ｆ　（　）　＋　。　Ｆ　（　一　Ｆ　（０［一１　１　，　’。一’　’…ｔ，’　（２．２）　１　）　称为边值问题（２．１）的格林函数．　引理２．１０［。　（２．２）式中定义的格林函数Ｇ（ｔ，ｓ）有以下性质：　（１）Ｇ（ｔ，ｓ）　０，（　．ｓ）∈［０，１］×【０，１】且Ｇ（ｔ，ｓ）为连续函数；　（２）存在一个正函数ｒ∈ｃ（ｏ，１），满足：　ｍｉｎ　Ｇ（ｔ，ｓ）　ｒ（ｓ）　（ｓ），ｍａｘＧ（ｔ，ｓ）　其中，　肌）＝　＋　一（０，１）．　（ｓ），ｓ∈（０，１），　３　主要结果　在本节中，我们将利用引理２．７、引理２．８讨论问题（１．１）的正解的存在性．　引理３．１边值问题（１．１）等价于积分方程：　㈩＝　Ｇ　（　（ｓ一　一　，　（下））打ｄｓ．　Ｊ。（　—ｒ　ｒ－ｉｆ（　，　（　））ｄｒ＋ｃ，　（３．１）　证明：由边值问题（１．１）及引理２．６，我们有：　（　＋ｕ（ｔ））＝ｒｏＪ（ｔ，ｕ（￡））＋ｃ　又由于Ｄｏ＋“（ｔ）Ｉ　＝０，所以得：ｃ＝０．因此，　Ｄｏ　（　（　一下　，　））ｄ丁）・　所以，边值Ｉ＇．－１题（１．１）等价于以下边值Ｉ＇．－１题：　Ｄ　￡）　（　Ｊ。（￡一下）　ｒ，　（　））ｄ　Ｊ，０＜　＜　，　＜　，　ｕ（ｏ）＋／２＇（Ｏ）＝０，　（１）＋　（１）＝０．　由引理２．９可知，边值问题（１．１）等价于积分方程（３．１）．　令Ｅ＝Ｃ［０，１］，对Ｖ　ｕ∈Ｅ，定义ＩＩ　Ｍ　ＩＩ＝ｍａｘ　Ｉ　ｕ（￡）Ｉ，记Ｋ＝｛　∈Ｅ　Ｉ　（　）　０．１／ｍ　４ｉ　ｎ／４　Ｉ　Ｈ（　）Ｉ　２　。　寺Ｉ　Ｉｕ　ＩＩ｝，并令锥Ｋ上的非负连续凹函数　为：　（　）＝，　ｍ立ｉｎ　　Ｉ　（　）Ｉ・　引理３．２假设　￡，“）在【０，１］×【０，ｏｏ）上连续，定义算子Ｔ：Ｋ—Ｅ，　）＝　则有Ｔ：Ｋ—Ｋ是全连续的．　（　ｓ一丁ｔ－，ｆ（ｒ　下））ｄ　ｄｓ・　证明：引理的证明将分为三个步骤，①证明Ｔ：Ｋ一　由引理２．１０，显然有当ｔ∈【０．１］时，Ｔｕ（ｔ）　０，且Ｔｕ（ｔ）是连续的．Ｖ　∈Ｋ，由引理２．１０，有：　。　嘶１　）＝。　≥　Ｊ。１　㈤　（　。。（　㈩　ｄｓ　ｓ—ｒ）卜　丁，“（　））ｄ　ｄｓ．　Ｉ　（ｔ）ｌ　（ｓ）　（　（ｓ—ｒ　ｔ－，ｆ（　，ｕ（　））ｄ　ｄｓ．　．ａｘ另一方面，ＩＩ“１１＝ｍ　１，１．　湘南学院学报（自然科学版）　２０１４年１０月（第３５卷）第５期　因此，可以得到ｍｉｌ／４￣／ｎ　（ｔ）４　　÷Ｉｏ　ｌ　ｕ　Ｉ【，这意味着Ｔ：Ｋ一　②　是有界算子．　设Ｐ　ｃ　Ｋ是有界的，即：存在一个正常数ｇ＞０，对所有的　∈Ｐ有ＩＩ　ＩＩ　１：０　￡　１．０　ｕ　｝，Ｍ∈尸，贝０有：　令Ｎ＝ｍａｘ｛Ｉ，（　，“（　））Ｉ＋　Ｉ　㈤ｌ＝ｌ　Ｇ　（　（ｓ一　一　，　（丁））打）　Ｉ　≤（　）　因此，　（Ｐ）是一致有界．　（　ｒ）ｒ－ｌｄ￣）ｄｓ＝（　）　（等）　≤（　）　胁　．　③Ｔ等度连续．　由ｃ（ｔ，　）在［０，１］×［Ｏ，１］上连续，它在［０，１］×［０，１］上一致连续．因此，固定的ｓ∈［０，１】，对任意　＞０，存在一个常数６＞０，对任意的ｔ。，ｔ２∈【０，１】，Ｉ２１一　２　ｌ＜６，有：　ｊ　Ｇ（　ｓ）一Ｇ（　ｓ）ｌ＜（ｒｒⅣ（ｒ），　ｓ．　所以．　１　ｕ（ｆ２）一　１）ｌ　ｃ（ｔ２，ｓ）一Ｇ（ｆｌ　（　）　Ｉ　Ｇ　＿Ｇ（　（　・　ｓ一　一　，ｕ（　ｄ７）　证毕．　即　（Ｐ）是等度连续的．由Ａｒｚｅｌａ—Ａｓｃｏｌｉ定理，可得　：Ｋ　Ｋ是全连续的．　记，Ａ＝（　）　，Ｂ＝（　）　…ｆ３／４　ｓ　ｓ．　定理３．１设　，ｕ）在［０，１】×［０，ｏｏ）上连续，假设存在两个正常数ｒｚ＞ｒ・＞０，有：　（　・）　）≤　【、　，（　）∈　０，１　×　０，ｒ２　；　（　）厂（　）≥　ｊ，（　）∈　ｏ，ｌ　×　０　；　则边值问题（１．１）至少有一个ｉｔ！解ｕ，满足ｒ　｛ｌ　ｕ　ＩＩ＜』　．　证明：由引理３．２知７１：Ｋ—Ｋ是全连续的．因此，当且仅当ｕ满足算子方程　＝Ｔｕ时，边值问题（１．１）有一　个正解“＝Ｍ（ｔ）．　设Ｐｌ：＝｛　∈Ｋ　Ｉ　Ｉ　ｌＭ　＜ｒｌ　１．Ｖ　ｕ∈ｏＰ１，￡∈［０，１】，由（Ｈ２）有：　Ｉ１　（ｆ）　Ｇ　（　…（ｓ—　）卜　（ｒ））ｄ　）　（ｓ一丁）ｒ－　ｒ））ｄ丁）　ｆ３／４　～ｍｉｎ　Ｇ　（　≥ｒＢＬ（　）　Ｊｆ３ｌ／４４㈤肌　ｒ）　：　ＩＩ　．　所以【　ＩＴｕ【Ｉ＞ＩＩ　Ｍ　ｌｌ，ｕ∈ＯＰ　．　设Ｐ　：＝｛“∈Ｋ　Ｉ　ＩＩ　Ｍ　Ｉｌ＜ｒ　｝．Ｖ　∈ＯＰ　，ｔ∈［０，１］，由（日　）有：　Ｉ　）ＩＩ＝　∞　（　．（ｓ　．ｒ）　１　７２．　蒋园园，彭明华，等：非线性分数阶ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程边值问题正解的存在性　ｍａｘ　ｆ￣Ｇ　咖　（　丁　ｒ　））ｉｔＴ）ｄｓ　㈦　（　…）ｒ－ｌｄ＂ｒ）ｄｓ≤７－　（　）　胁　凶　＝ＩＩ训．　所以【　ＩＴｕ　ｌ　ｌｌ　ｌｌｌ，　∈ＯＰ　．　因此，由引理２．７的（２），问题（１．１）至少有一个正解ｕ，满足ｒ。≤１ｌ　ｕ　ｌＩ＜ｒ：．　定理３．２假设，（ｔ，　）在【０，１］Ｘ［Ｏ，ｏｏ）上是连续的，存在常数０＜０＜ｂ＜ｃ，满足以下条件：　（　）ｆ（ｔ，ｕ）＜　（署），（　）∈［０，１］×［０，口］；　（　）Ｉ厂（ｔ，ｕ）＞　（鲁），（　，　）∈【　１，　３］×【６，ｃ］；　（　）ｆ（ｔ，“）　（暑），（　，　）∈［０，１］×【０，ｃ】・　则边值问题（１．１）至少有三个正解“　，“：，　，且　ｍａ　ｘ。　１　ｍ　ｉｎＩ　ａ　ｘＩ　ｕ２（　）Ｉ＜ｍ　２（　）Ｉ－＜－Ｃ　Ｉ“１（　）ｌ＜０，ｂ＜ｌ／４／４　。　ｌ　呱ｌ　。＜ｍａｘＩ　ｕ３（　）Ｉ　ｍ　ｉ　ｎ１／４Ｉ　Ｍ３（　）ｌ＜６・　／４　证明：由引理３．２，有　：Ｋ—Ｋ是全连续的．因此，当且仅当ｕ满足算子方程　＝Ｔｕ时，边值问题（１．１）有　一个解　：　（ｔ）．下面证明在定理的条件下，算子　满足引理２．８的所有条件：　（１）如果　∈　，有Ｉｌ“１ｌ　，由（日　），可以得到：　Ｉ　（Ｉ￡）ｌｌ：　Ｉ　（ｆ）ｌ＝　ｌ　Ｇ（　）　（　Ｔ一　Ｍ（　（　所以　：Ｋ—ｃ（ｓ一下）　，ｕ（　））打ｄｓ　ｌ　）　一　ｃ）＞６．显然，｛Ｍ∈Ｋ（　，６，ｃ）Ｉ　（“）＞６）≠　打）　７－　（　）　ｏ，一　，同样的，如果Ｍ∈Ｋ—，由（　）有Ｉ　ＩＴｕ　Ｉｌ＜。．满足引理２．８的条件（２）．　（２）设　（ｆ）＝丁ｂ＋ｃ０　．１，有ＩＩ　ＩＩ＜ｃ且　（“）：　ｂ＋．．如果ｕ∈Ｋ（ａ，ｂ，ｃ），１／４　ｎ（　）　ａｒ　ｉ　ｎ　Ｉ　ｌ／４　／４　。　／４，则有ｂ≤ｕ（￡）　．由（　），可以得到：　（ｆ）ｌ＿。　１／ａｒ４鱼　ｉ　ｎ／　Ｉ４　０　　Ｇ（　）　（＼　　Ｉ１　ｒ　）　Ｊ　ｎ　（ｓ—　）　ｒ，ｕ（ｒ））打ｄｓ　Ｉ　（ｓ　丁　Ⅲ　ｄｓ　＞　Ｇ　（　告（　）　３／４　㈤　所以，对所有的　∈　（　，ｂ，ｃ），有　（　）＞ｂ．满足引理２．８的条件（１）．　（３）令ｃ＝ｄ，与（１）的证明类似，如果ｕ∈　（　，ｂ，ｃ），则有Ｉ　Ｉ　Ｔｕ　Ｉ　Ｉ＞ｃ＝ｄ，且　（　）＞ｂ，满足引理２．　８的条件（３）．由引理２．８，边值问题（１．１）至少有三个正解满足：　ｍ　ａｘＯ鱼　１　】Ｉ　ｕ１（　）Ｉ＜０，６＜　ｍｉ　ｎ／４　Ｉ　２（￡）Ｉ＜ｍａｘ　Ｉ　Ｍ２（　）Ｉ　，　‘　１／４立　／４　。蚓Ｏ鱼　１　Ⅱ＜ｍ。　ｍ　ｉｎ　ｌ　Ｍ３（　）Ｉ＜６・　ａｘ　Ｉ　ｕ３（￡）Ｉ　ｃ．１／４４　证毕．　３应用举例　例题１　考虑问题：　．１　，　．　湘南学院学报（自然科学版）　２０１４年１０月（第３５卷）第５期　吲１　２　＝　＋　ｔ２　１　＜ｌ’　（４．１）　（ｓ）＝ｌ　ｓ　取Ｐ＝ｑ：２，通过简单计算可得：　＿（　＝　去　２５６８，　３　．　Ｂ＝（南）　…ｆ３／４　ｓ　ｓ＝　／　，　ｒ　＝２，有：　Ｓ　０　），　ｐ　（１）　（＋　Ｍ　　＞　１　，　＋　＋　１＜０．８０８１＜　（　）０．８８６２，　）∈［０，１］×［０，２１，　．０　、，　＝　（　（２）　，“，＝　＋　＋÷　。．５＞　（　）　。．４５４４，（　，　）∈　。，　×［。，　］．　０　由定理３．１，可以知道问题（４．１）至少有一个正解　满足１／７　Ｊ　Ｉ“Ｉ　Ｉ　．　｝１　例题２　考虑问题：　１　Ｄ　１（　（Ｄ２ｏ＋“（￡）））：　，ｕ（　）），０＜　＜１，　一ｌ　ｐ　ｇ　＋　“（０）＋ｕ　（０）：０，　（１）＋ｌＺ＇（１）＝０，Ｄｏ＋“（　）Ｊ　。：０，　：（４．２）　０　＝　＞１　，其中．　Ｄ　Ⅱ古＋寺　“　，　¨　“　一一　【　ｔ＋丽Ｕ＋　１６，　＞１　＝　４　２．２５６８，　ｓ　＝　１／１０取Ｐ＝ｇ：２，由例１知：　＝０　（　）　（　）　…ｆ３／４小　，＝３　．　设ｎ：而１６：ｌ，ｃ：１０，有：　（１）　，Ｍ）　丽ｔ＋ｕ２＿＜０．０３５＜　（、２．．（２）　￡，ｕ）　ｔ＋　１】×［。，　】，　＋　１６≥３２６。７＞　（　）３．１８０７，（　，　）∈［丢，－３４］×［１，１。】，　２５６８，，．／≈。．。４Ｊ４３，（　，“）∈【。（３）　，配）　了ｔ＋　／Ｚ＋　１６　５９２９＜　（　）一４．４３ｌｌ，（ｆ，ｕ）∈［ｏ，１】×［。，１０】．　，由定理３．２，可以得到问题（４．２）至少有三个正解“　“　，　满足：　ｍａｘ　Ｉ“・（　）ｌ＜　１，１＜…。　ｍｉ　ｎ　Ｉ　ｚ（　）ｌ＜ｍａｘ　Ｉ“：（　）ｌ＜１。，　峨＜　Ｉ　ｕ　（　）ｌ＜ｌ　ｏ．　ｌ　ｕ。（　）Ｉ＜１．　・１２４・　蒋园园，彭明华，等：非线性分数阶ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程边值问题正解的存在性　参考文献：　［１］Ｄ　Ｄｅｌｂｏｓｃｏ　ａｎｄ　Ｌ　Ｒｏｄｉｎｏ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｆｏｒ　ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ａ．　ｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９６，２０４（２）：６０９—６２５．　［２］Ｈ　Ｊａｆａｎ　ａｎｄ　Ｖ　Ｄ　Ｇｅｊｊｉ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｕｓｉｎｇ　ａｄｏｍｉａｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００６，１８０（２）：７００—７０６．．　［３］Ｓ　Ｑ　Ｚｈａｎｇ．Ｐｏｓｉｔｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆｒ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｄｉｆ－　ｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，２００６，３６：１—１２．　［４］Ｚｈａｎｂｉｎｇ　Ｂａｉ，Ｈａｉｓｈｅｎ　Ｌｕ．Ｐｏｓｉｉｔｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｂｏｕｎｄａｒｙ－ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ　Ｍａｔｈ　Ａ．　ｎａｌ　Ａｐｐｌ，２００５，３１ｌ（２）：４９５—５０５．　［５］王金华，赵育林，向红军．分数微分方程ｍ点边值问题解的存在性与唯一性［Ｊ］．中山大学学报（自然科学版），２０１１，５０（１）：　１１—１５．　［６］Ｊ　Ｈ　Ｗａｎｇ，Ｈ　Ｊ　Ｘｉａｎｇ，ａｎｄ　Ｚ　Ｇ　Ｌｉｕ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｃｏｎｃａｖｅ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ　Ｏｐｅｒａｔｏｒ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍ　ａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２０１０，Ａｒｔｉｃｌｅ　ＩＤ　４９５１３８：１—１５．　［７］Ｊ　Ｈ　Ｗａｎｇ，Ｈ　Ｊ　Ｘｉａｎｇ，ａｎｄ　Ｚ　Ｇ　Ｌｉｕ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｓｈｒｅｅ—ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅｓ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ［Ｊ］．Ｆａｒ　Ｅａｓｔ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００９，３７：３３—４７．　［８］Ｉ　Ｐｏｄｌｕｂｎｙ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｉｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｔｏｒｋ：Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｒｅｓｓ，Ｌｏｎｄｉｎ／　Ｔｏｒｏｎｔｏ，１９９９．　［９］Ｓ　Ｇ　Ｓａｍｋｏ，Ａ　Ａ　Ｋｉｌｂａｓ，Ｏ　Ｉ　Ｍａｒｉｃｈｅｖ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ａｎｄ　Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ（Ｔｈｅｏｒｅｙ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ）［Ｍ］．Ｇｏｒｄｏｎ　ａｎｄ　Ｂｒｅａｃｈ，　Ｓｗｉｔｚｅｒｌａｎｄ，１９９３：３６—３７．　［１０］Ｘ　Ｗ　Ｓｕ　ａｎｄ　Ｌ　Ｌ　Ｌｉｕ．Ｅｘｉｓｔｅｎｆｃｅ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００７，２２（３）：２９１—２９８．　［１　１］Ｍ　Ａ　Ｋｒａｓｎｏｓｅｌ　ｓｋｉｉ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄ：Ｎｏｏｒｄｈｏｆ　Ｇｒｏｎｉｇｅｎ，１９６４．　［１２］Ｒ　Ｗ　Ｌｅｇｇｅｔｔ，Ｌ　Ｒ　Ｗｉｌｌｉａｍｓ．Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｏｒｄｅｒｅｄ　Ｂａｎａｃｈ　ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．Ｉｎｄｉａｎａ　Ｕｎｉｖ，Ｍａｔｈ　Ｊ．１９７９，２８：６７３—６８８．　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　Ｊｉａｎｇ　Ｙｕａｎｙｕａｎ，Ｐｅｎｇ　Ｍｉｎｇｈｕａ。Ｄｅｎｇ　Ｘｉａｎｃｈａｎｇ，Ｗａｎｇ　Ｚｈｅｎ　Ｔｕｔｏｒｓ：Ｗａｎｇ　Ｊｉｎｈｕａ，Ｘｉａｎｇ　Ｈｏｎｇｊｕｎ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｆｉｎａｎｃｅ，Ｘｉａｎｇｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｚｈｏｕ　４２３０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａ—　ｔｉｏｎ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｗｉｔｈ　Ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ．　Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｉｎ　ａ　ｃｏｎｅ　ａｎｄ　Ｌｅｇｇｅｔｔ－Ｗｉｌｌｉａｍｓ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ｓｏｍｅ　ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｅｘａｍｐｌｅｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｔｏ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｏｕｒ　ｒｅｓｕｌｔｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｐ—Ｌａｐｌａｃｉａｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ；ｃｏｎｅ