【单元练】深圳南联学校初中部九年级数学下册第二十七章《相似》经典练习题(培优提高)

一、选择题

1．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作

EF//BC，交AD于点F，过点E作EG//AB，交BC于G，则下列式子一定正确的是（ ）

A．

AEEF ECCDB．

BFEG CDABC．

AFBC FDGCD．

CGAFC BCAD解析：C 【分析】

根据平行线分线段成比例性质进行解答便可． 【详解】 解：∵EF∥BC，

AFAE， FDEC∵EG∥AB，

∴∴∴

AEBG， ECGCAFBC， FDGC故选：C． 【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段． 2．若A．5 解析：C 【分析】

abcab，则的值为（ ） 234bcB．

1 5C．5 D．

1C 5abck，则a2k，b3k，c4k，然后代入求值即可． 234【详解】

设解：设

abck，则a2k，b3k，c4k， 234ab2k3k5k===﹣5， bc3k4kk故选：C． 【点睛】

∴

本题考查了比例的性质、分式的求值，设参数求解是解答的关键．

3．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA3OD，OB3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段I的两个端点上．若AB12cm，则CD的长是（ ）

A．3cm 解析：B 【分析】

B．4cm C．6cm D．8cmB

首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解. 【详解】

∵OA=3OD，OB=3OC， ∴

OAOB3， ODOC∵AD与BC相交于点O， ∴∠AOB=∠DOC， ∴△AOB∽△DOC， ∴

ABOA3， DCOD∵AB12cm

AB124cm, 33故选B. 【点睛】

∴CD=

本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.

4．如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是A1,2，B1,1，C3,1，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF与ABC成位似图形，且相似比

为2:1，则线段DF的长度为（ ）

A．25 解析：A 【分析】

B．2 C．4 D．5A

根据位似图形的性质可得DF=2AC，然后根据两点间的距离公式求出AC即可解决问题． 【详解】

DEF与ABC是位似图形，且相似比为2:1，

∴DF=2AC，

解：∵∵AC3112225，

∴DF25． 故选：A． 【点睛】

本题考查了位似图形的性质和两点间的距离，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 5．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（ ） A．1:2 C．1:2 解析：A 【分析】

根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答． 【详解】

解：∵对应高之比是1：2， ∴相似比=1：2， ∴对应周长之比是1：2． 故选：A． 【点睛】

本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．

6．已知四个数2，3，m，3成比例的线段，那么m的值是（ ） A．3

B．

B．1:4 D．2:1A

23 3C．2 D．23B

解析：B 【分析】

利用比例线段的定义得到2：3m：3，然后根据比例性质求m即可． 【详解】

根据题意得2：3m：3， 所以3m23， 所以m23． 3故选：B． 【点睛】

本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

7．如图，在矩形OABC中，点A和点C分别在y轴和x轴上．AC与BO交于点D，过点C作CEBD于点E，DE2BE．若CE5，反比例函数y点D，则k（ ）

k(k0,x0)经过x

A．2 解析：B 【分析】

B．35 2C．36 D．30B

作DF⊥OC于F，根据矩形的性质和相似三角形的性质求得OD=3，OE=5，根据勾股定理求得OC【详解】

解：作DF⊥OC于F，

30，然后通过三角形相似求得DF和OF，从而求得D的坐标，代入解析式即可

求得k的值．

在矩形OABC中，∠OCB=90°，OD=BD，

OCEBCE90,

∵CE⊥OB，

CEOBEC90, OCECOE90, COEBCE,

COE∽BCE,

CEOE, BECE∴CE2BEOE,

∵DE2BE，CE5, 设BEx,则DE=2x，ODBD3x, ∴OE=5x， ∴

52x5x,

解得，x=1（负根舍去）， ∴OD=3，OE=5，

∴OCOE2CE2525230,

∵∠OFD=∠OEC=90°，∠DOF=∠EOC， ∴△DOF∽△COE，

DFOFOD, CEOEOCDFOF3, 即5530∴∴OF306,DF, 22306∴D的坐标为2,2，

∵反比例函数y∴kk

（k＞0，x＞0）经过点D， x

30635, 222故选：B． 【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求得D的坐标是解题的关键．

8．如图，已知在ABC中，点D、E分别是AB和AC的中点，BE、CD相交于点

O，若SDOE2，则SBOC（ ）

A．4 C．8 解析：C 【分析】

B．6 D．10C

1BC，DE∥BC，得到△DOE∽△COB，根据相似三角形的2面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】

根据三角形中位线定理得到DE=∵D、E分别是AB和AC的中点，

1BC，DE//BC， 2∴DOE∽COB，

∴DE221SDOEDE∴， ，即S4SCOBBCBOC解得，SBOC8， 故选：C． 【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

9．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为72,63，则另一个三角形的最小内角为（ ） A．72 解析：C 【分析】

根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得． 【详解】

由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为72,63， 则另一个三角形的第三个内角为180726345， 因此，另一个三角形的最小内角为45， 故选：C． 【点睛】

B．63

C．45

D．不能确定C

本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．

10．如图，要使ABCACD，需补充的条件不能是（ ）

A．ADCACB C．

B．ABCACD D．ADBCACDCD

ADAC ACAB解析：D 【分析】

要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例． 【详解】 ∵∠DAC=∠CAB

∴当∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD． 故选：D 【点睛】

本题考查相似三角形的判定方法的开放性的题，相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．

二、填空题

11．如图，在平行四边形ABCD中，E在AD上，

AE2，CE交BD于F，则ED1S△BCF:S△DCF__________．

3【分析】证明可得结合三角形面积公式即可求得结

果【详解】在平行四边形ABCD中∵∴∵∴故答案为：3【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定

解析：3 【分析】

证明DEF【详解】

BCF，可得

BFCB3，结合三角形面积公式即可求得结果． DFED1在平行四边形ABCD中，ADBC，AD//BC，

AE2ED1，AEEDAD，∴

AD3ED1DFEDED1． ∵AD//BC，BFBCAD3SBCFBF3． ∴

SDGFDF∵

故答案为：3． 【点睛】

本题考查了三角形相似的性质与判定，解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．

12．如图，在RtABC中，ACB90，AC5，BC12，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE8，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA________．

1PB的最小值为3【分析】在BC上截取CF＝连接PFCPAF通过证明

△ACP∽△PCF可得则PA+PB＝PA+PF当点A点P点F共线时PA+PB的最小值为AF由勾股定理可求解【详解】解：如图：在BC上截取CF＝连接P 解析：【分析】 在BC上截取CF＝PA

241 34PF1，则，连接PF，CP，AF．通过证明△ACP∽△PCF，可得

BP3311+PB＝PA+PF，当点A点P，点F共线时．PA+PB的最小值为AF，由勾股定理可求33解． 【详解】

解：如图：在BC上截取CF＝

4，连接PF，CP，AF． 3

∵DE＝8，P是DE的中点， ∴CP＝

1DE＝4 2∵AC5，BC12，

4CP41，CF31； ∵

BC123CP43CPCF，且∠FCP＝∠BCP BCCP∴△PCF∽△BCP，

∴∴

PFCF1， BPCP3∴PF＝∵PA+

1BP， 31PB＝PA+PF， 31PB的最小值为AF 3当点A、点P、点F共线时，PA+∴AF＝AC2CF2＝241． 316241． 25＝93故答案为：【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，添加恰当的辅助线是解答本题的关键． 13．如图，直线AF//BE//CD，直线AC交BE于B，直线FD交BE于E，

AB2cm，BC1cm，EF1.8cm，求DE的长为______cm．

09【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即

可【详解】解：∵∴即：∴DE=09cm故答案为：09【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理熟练运用定理是解答此题的关键

解析：0.9 【分析】

直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】

解：∵AF//BE//CD，

ABEF BCDE21.8 即：=1DE∴DE=0.9cm 故答案为：0.9 【点睛】

∴

此题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用定理是解答此题的关键

14．如图，已知菱形ABCD的边长为4，点E、F分别是AB、AD上的点，若BE＝AF＝1，∠BAD＝120°，

GF＝_____． EG【分析】过点E作EM∥BC交AC下点M点根据

菱形的性质可得△AEM是等边三角形则EM=AE=3由AF∥EM对应线段成比例即可得结论【详解】解：过点E作EM∥BC交AC于点M∵四边形ABCD是菱形∴A

1解析：

3【分析】

过点E作EM∥BC交AC下点M点，根据菱形的性质可得△AEM是等边三角形，则EM=AE=3，由AF∥EM，对应线段成比例即可得结论． 【详解】

解：过点E作EM∥BC交AC于点M，

∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝4，AD∥BC，

∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°， ∴△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3， ∵AF∥EM，

GFAF1， GEEM31故答案为：．

3【点睛】

∴

本题考查了平行线分线段成比例，菱形的性质，熟练运用菱形的性质、等边三角形性质是解题的关键．

15．如图，点D是ABC的边AB上的一点，DE//BC交AC于点E，作DF//AC交

BC于点F，分别记ADE，BDF，平行四边形DFCE，ABC的面积为S1，S2，

S3，S有以下结论：

①若S1S2，则DE为ABC的中位线；

②若S1S3，则2BC3DE； ③SS1S2；

2④S32S1S2．

其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都填上）①②③④【分析】①根据

相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AD=BD求出AE=CE即可得出答案；②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AM=2MN即可得出答案；③由平行线可得对应线段成比例再

解析：①②③④ 【分析】

①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AD=BD，求出AE=CE，即可得出答案； ②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AM=2MN，即可得出答案；

③由平行线可得对应线段成比例，再由相似三角形的面积比等于对应边的平方比，进而代入求解即可；

④先判断出△BFD∽△DEA，然后根据面积比等于相似比的平方得出△ABC的面积，进而根据S3=SABC-SADE-SDBF可得出答案 【详解】

解：①、∵DE∥BC，DF∥AC， ∴△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC， ∵S1=S2，

(AD2BD2)() ABAB∴AD=BD， ∵DE∥BC， ∴AE=EC，

∴DE是△ABC的中位线，∴①正确；

②、过A作AN⊥BC于N，交DE于M， ∵DE∥BC， ∴AN⊥DE， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴DE=CF， ∵S1=S3，

1DEAMCFMN 2∴AM=2MN， ∵DE∥BC， ∴△ADE∥△ABC，

DEAM2MN2 BCAN2MNMN3∴2BC=3DE，∴②正确； ③、∵DE∥BC，DF∥AC

∴四边形DECF是平行四边形， ∴DE=CF，DF=CE，

∵相似三角形的面积比等于对应边的平方比，

S1SADS2BD ,ABABSS1SS2SADBD1 ABABSS1S2 ∴SS1S2；∴③正确；

2④∵由题意得：△BFD∽△DEA， ∴可得：

BDADs2s1S21S1S2（面积比等于相似比的平方）， S1BDAB

S2x 设S1∵SABC=S，

S2BD2() SAB∴可得SS1S22S1S2 S1S22S1S2，∴④正确； S1又∵△ADE、△DBF的面积分别为S1和S2，

S3SABCSADESDBF2S1故答案为：①②③④． 【点睛】

本题考查了面积及等积变换、相似三角形的性质和判定等，难度适中，对于此类题目要先根据相似得出比例式，然后根据比例的性质得出要求图形的面积表达式，进而得出答案． 16．已知x:y:z3:2:1，则

xyz的值为________．2【分析】根据可设代入原

xyz式即可求解【详解】∵∴设∴故答案为：2【点睛】本题考查了比例的性质利用设k法表示出xyz求解更简便

解析：2 【分析】

根据x:y:z3:2:1，可设x3k，y2k，zk，代入原式，即可求解．

【详解】

∵x:y:z3:2:1， ∴设x3k，y2k，zk，

xyz3k2kk4k2． ∴

xyz3k2kk2k故答案为：2． 【点睛】

本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．

17．如图，D是AC上一点，BE//AC，BEAD，AE分别交BD、BC于点F、

G，12．若DF8，FG4，则GE________．

12【分析】利用AAS判定△FEB≌△FAD得BF=DF根据

有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△BFG∽△EFB根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF2=FG•EF由条件可求出EF长则GE长可

解析：12 【分析】

利用AAS判定△FEB≌△FAD，得BF=DF，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可得到△BFG∽△EFB，根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF2=FG•EF，由条件可求出EF长，则GE长可求出． 【详解】 解：∵AD//BE， ∴∠1=∠E． 在△FEB和△FAD中

E1EFBAFD， BEAE∴△FEB≌△FAD； ∴BF=DF，

∵∠1=∠E，∠1=∠2， ∴∠2=∠E． 又∵∠GFB=∠BFE， ∴△BFG∽△EFB，

∴

BFFG， EFBF∴BF2=FG•EF， ∴DF2=FG•EF， ∵DF=8，FG=4， ∴EF=16，

∴GE=EF-FG=16-4=12． 故答案为：12． 【点睛】

本题考查了三角形全等、相似的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定及相似三角形的判定是关键．

18．如图所示，在△ABC中DE∥BC，若SEFB2SEFD，则 DE:BC=______．

1:2【分析】由可得DF：FB=1:2又由DE∥BC可得△DFE和

△BFC相似确定DE:BC【详解】解：设为1则为2∵∴DF：FB=1:2又∵DE∥BC∴△DFE∽△BFC∴DE:BC=DF:FB=

解析：1:2 【分析】

由SEFB2SEFD，可得DF：FB=1:2，又由DE∥BC，可得△DFE和△BFC相似，确定DE:BC. 【详解】

解：设SEFD为1，则SEFB为2， ∵SEFB2SEFD， ∴DF：FB=1:2， 又∵DE∥BC， ∴△DFE∽△BFC， ∴DE:BC=DF:FB=1：2 故答案为1:2 【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于根据面积比确定边长的比. 19．如图，EF是ABC纸片的中位线，将AEF沿EF所在的直线折叠，点A落在

BC边上的点D处，已知AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为______．

14【分析】根据三角形的中位线定理结合相似三角形的性质

可以求得△ABC的面积再根据折叠的性质得到△DEF的面积从而求解【详解】∵EF是△ABC的中位线∴EF∥BCEF=BC∴△AEF∽△ACB∴∵△

解析：14 【分析】

根据三角形的中位线定理，结合相似三角形的性质可以求得△ABC的面积，再根据折叠的性质得到△DEF的面积，从而求解． 【详解】

∵EF是△ABC的中位线，

1BC， 2∴△AEF∽△ACB，

∴EF∥BC，EF=

S∴SAEFACBEF11， BC4222∵△AEF的面积为7， ∴△ABC的面积=28，

由折叠的性质得△DEF的面积为7， ∴图中阴影部分的面积为28-7-7=14． 故答案为：14． 【点睛】

本题综合考查了折叠问题，三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质．关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 20．在

ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC与

ADE相似，则AD=__________．或【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC∴当△ADE∽△ABC∴即解得：AD=3∴当△AED∽△ABC∴

16或3 3【分析】

解析：

分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可． 【详解】 如图

∵∠DAE=∠BAC， ∴当△ADE∽△ABC， ∴即

ABAD， ACAE12AD， 164解得：AD=3，

∴当△AED∽△ABC，

ABAE， ACAD124即， 16AD16解得：AD=，

316故答案为：或3

3【点睛】

∴

本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．

三、解答题

21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1x2的图象分别交x、y轴于点A、22B，抛物线yxbxc经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求此抛物线的函数解析式．

（2）过点P作PM//y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标． （3）当PBA2OAB时，求点P的坐标． 解析：（1）y【分析】

（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A、B点坐标，代入列方程组可解答；

（2）根据∠ADC=90°，∠ACD=∠BCP，可知相似存在两种情况：

①当∠CBP=90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，证明△AOB∽△BNP，列比例式可得结论；②当∠CPB=90°时，如图2，则B和P是对称点，可得P的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式可得结论；

（3）设点A关于y轴的对称点为A′，求出直线A′B的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可． 【详解】

解：（1）令x0，得y令y0，得0则A4,0，

2把A4,0，B0,2代入yaxbxca0中，

7737x2x2；（2）,5或,2；（3）3,．

22221x22，则B0,2， 21x2，解得x4， 2得164bc0，

c27b解得2，

c2∴抛物线的解析式为：y（2）∵PM//y轴， ∴ADC90， ∵ACDBCP，

∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：

①当CBP90时，如图，过P作PNy轴于N， ∵ABOPBNABOOAB90， ∴PBNOAB， ∵AOBBNP90，

7xx2．

22∴Rt△PBN∴

Rt△BAO，

PNBN． BOAO2设Px,x7x2． 2732x2x22xx0． ∴x，化简得2224解得x0（舍去）或x3． 2237373当x时，yx2x225． 222223P∴,5； 2

②当CPB90时，如下图，则PB//x轴，所以B和P是对称点，

2所以当y2时，x77x22，解得x0（舍去）或x．

22∴P7,2． 2综上，点P的坐标是,5或,2．

3272

（3）设点A关于y轴的对称点为A'，则A'BAB．

∴BAOB'AO． 直线A'B交抛物线于P．

∴PBABAOBA'O2BAO． ∵A4,0， ∴A'4,0．

设直线A'B的解析式为ykxbk0． ∵B0,2． ∴4kb0．

0kb21k解得2．

b2∴直线A'B的解析式为y1x2， 21yx22由方程组，得x23x0．

yx27x22解得x0（舍去）或x3． 当x3时，y117x232． 22273,所以点P的坐标是．

2【点睛】

此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，相似三角形的性质与判定，并学会构造相似三角形解决问题．

22．已知，如图1在矩形ABCD中，AB8，BC6，点E是线段AB上的动点，连接CE，作FCCE，交AD的延长线于点F，连接EF交CD于G，设BEm． （1）求证：△FDC∽△EBC．

（2）若EGC是等腰三角形，求m的值．

（3）取EF的中点O，连接OA，若OA//CE，求△CEF的面积．

（4）如图2作AEF的外接圆，点A关于EF的对称点A落在圆上，当A恰好落在

△CEB内部（不包括边界），直接写出m的取值范围______．

解析：（1）见解析；（2）m3；（3）30；（4）【分析】

7m4 4（1）由四边形ABCD为矩形，易知△FDC，△EBC为Rt△，由FCCE，得出∠FCD+∠DCD=90°，从而得出∠FCD=ECB，有两个角相等证明相似．

（2）过点E作EH⊥CD，由等腰三角形EGC易知CH=BE=m，AE=8-m，由（1）得

△FDC∽△EBC，求出FD关系，求出m即可．

4m．再由△FAE∽△EHG找到对应边的比值列出等量3（3）由平行边形的判定得出四边AOCE为平行四边形，得出OA=CE，在Rt△△AEF中，由斜边的中线等于斜边的一半得出OACF的值即可求出△CEF的面积．

（4）有A关于EF对称点为A，得出AEEA8m，因为∠FAE=∠FCE=90°，所有由直径所对的圆周角为90°得出EF为圆的直径，要使A恰好落在△CEB内部得出

1EFOE，由（2）中得出m=3，分别求出CE、2EBEAEC，解除关于m的不等式即可． 【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°， ∵FCCE

∴∠FCD+∠DCD=90° ∴∠FCD=ECB

又∵∠FDC=∠B=90° ∴△FDC∽△EBC

（2）过点E作EH⊥CD交CD于点H，如图

∵

EGC是等腰三角形，

∴GH=HC ∵GE=m

∴HC=HG=m，AE=8-m ∠AFE=∠GEH ∠A=∠DHE ∴△FAE∽△EHG ∵△FDC∽△EBC

BEm6 FDFD84∴FDm

3∴△FAE∽△EHG

∴

GHHE AEAFm6∴8m4

m63∴

整理的m12m30

m112（舍去），m23

∴m的值为3．

（3）

∵OA//CE，OC//AE

∴四边AOCE为平行四边形，OA=CE ∵O为EF的中点，△AEF为直角三角形 ∴OA1EFOE 2∴OE=CE，△OEC为等腰三角形 由（2）问可知，m=3 ∴FD=4，CFFD2CD2166445 CEBE2CB293635 ∴SCEF1354530 2（4）

连接EA

∵A关于EF对称点为A， ∴AEEA8m ∵∠FAE=∠FCE=90° ∴FE为圆的直径

∴C始终在圆上，要使A落在△CEB内部 ∴EBEAEC 即m8mm262，

7m4 47故答案为：m4

4【点睛】

解得：

本题考查了相似三角形性质和判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理以及圆的相关知识，熟悉相关知识并能灵活运用是解题关键． 23．如图，已知ABC和点A．

（1）以点A为顶点求作ABC，使ABC∽ABC，S图，保留作图痕迹，不写作法）

ABC4SABC；（尺规作

（2）设D、E、F分别是ABC三边AB、BC、AC的中点，D、E、F分别是你所作的ABC三边AB、BC、AC的中点，求证：DEF∽DEF． 解析：（1）见解析；（2）见解析． 【分析】

（1）分别作A'B'=2AB、A'C'=2AC、B'C'=2BC得△A'B'C'即为所求． （2）根据中位线定理易得DE= B'C'=BC、E'F'=

11111AC，DF＝BC，EF＝AB，D'E'= A'C'=AC、D'F'= 22222D'E'D'F'E'F'12，故可证△DEF∽△D'E'F'． A'B'=AB，于是

2DEDFEF【详解】 解：（1）如图1， ①作线段A'B'=2AB；

②分别以A'、B'为圆心，以2AC、2BC为半径作弧，两弧交于点C'； ③连接A'C'、 B'C'得△A'B'C'． △A'B'C'即为所求．

证明：∵A'B'=2AB、A'C'=2AC、B'C'=2BC，

A'B'A'C'B'C'2， ABACBC∴△ABC∽△A′B′C′，

∴∴

SABCSABCAB2()4． AB（2）证明：如图2，

∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点， ∴DE=

111AC，DF＝BC，EF＝AB， 222111 A'C'=AC、D'F'= B'C'=BC、E'F'= A'B'=AB， 222∵D、E、F分别是ABC三边AB、BC、AC的中点， ∴D'E'=∴

D'E'D'F'E'F'2， DEDFEF∴△DEF∽△D'E'F'． 【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 24．如图，抛物线y123xx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，22BC，点M是线段BC下方抛物线上的任意一点，点M的横坐标为m，过点M画MN⊥x轴于点N，交BC于点P．

（1）填空：A（ ， ），C（ ， ）；

（2）探究△ABC的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标； （3）探究当m取何值时线段PM的长度取得最大值，最大值为多少？ 解析：（1）-1，0；0，-2；（2）,0；（3）当m=2时，PM的最大值是2 【分析】

（1）利用抛物线解析式容易求得A、C的坐标；

（2）证明△AOC∽△COD，Rt△ACB的外接圆圆心为AB的中点，由此求得圆心的坐标即可；

（3）可求得直线BC的解析式，利用m可表示出PM的长，则可利用二次函数的性质求得PM的最大值． 【详解】

32123xx-2=0，得方程的解x11,x24 22∴A（-1,0）B（4,0），当x=0时，y=-2 ∴C（0，-2）．

解：（1）当y=0，则y（2）OA1,OC2,OB4 ∠AOC=∠COB=90°

OAOC1 OCOB2∴△AOC∽△COB ∴∠ACO=∠OBC ∠ACO+∠OCB=90°

∴

∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB

∴Rt△ACB的外接圆圆心为AB的中点， ∵A（-1,0）B（4,0）， ∴圆心的坐标（

3,0）． 2（3）C（0，-2），B（4，0） 又∵直线BC解析式

y1x2 2113p(m,m2)，M（m, m2m2）

222PM=（

113m2）-（m2m2） 2221PMm22m

21=(m2)22

2当m=2时，PM最大值=2． 【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．

25．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且ADE60． 求证：ADC∽DEB．

解析：见解析 【分析】

根据ABC是等边三角形，即可得到BC60，再根据 CADBDE，即可判定△ADC~△DEB． 【详解】

ABC是等边三角形，

∴BC60，

∴ADBCADCCAD60， ∵ADE60，

证明：∵

∴ADBBDE60， ∴CADBDE， ∴△ADC【点睛】

本题考察了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形相似的判定条件． 26．如图，在等边ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，DC（E，C△DEB．

两点不重合），当AEDDCB时，我们把

AEAD称为的“类似比”，

DBEC

（1）若（2）若

AEAD1，则“类似比”___________； DB2EC

AEADk(k1)时，求“类似比”的值（用含k的代数式表示）； DBEC（3）直接写出AED和“类似比”解析：（1）1；（2）【分析】

AE的取值范围． ECkAE0． ；（3）30AED60，

1kEC（1）先根据“类似比”的定义、等边三角形的性质可得ADE形的性质即可得；

（2）参照（1）的方法，利用相似三角形的判定与性质即可得；

BDC，再根据相似三角

ADAE0,0求出k的取值范围，再根据等边三角形的性质可求出BDECDCB的取值范围，由此即可得． 【详解】

（3）先根据（1）

ABC是等边三角形，

ACBAB60,ACBC，

由“类似比”的定义得：AEDDCB， 在ADE和BDC中，AB，

AEDBCDADE又

BDC，

AEAD1， BCBD2BCACAEEC， AE1，即AEEC， AEEC2AE1， EC故答案为：1；

（2）由（1）已证：

AEADk， BCBDBCACAEEC， AEk， AEECAEk解得； EC1kADk0BD（3）由题意得：，

AEk0EC1k解得0k1，

0AD1，即0ADBD， BD1ACB30， 2当AD0，即点D与点A重合时，DCBACB60， 当ADBD，即点D是AB的中点时，DCB30DCB60， 又AEDDCB， 30AED60，

综上，AED的取值范围为30AED60，“类似比”【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．

27．如图，直线yx2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线yx2bxc的顶点为A，且经过点B．

（1）求该抛物线所对应的函数表达式；

（2）点C是抛物线上的点，ABC是以AB为直角边的直角三角形，请直接写出点C的坐标．

AEAE0． 的取值范围为

ECEC

解析：（1）y【分析】

12x2x2；（2）（-4，0）或（-6，-8）． 2（1）先利用一次函数解析式确定A、B点的坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）分情况讨论：点A是直角顶点或B是直角顶点，根据题意设出点C的坐标，再将点C代入到函数解析式，最后，解一元二次方程即可求解． 【详解】

解：（1）当y=0时，-x-2=0，解得x=-2，则A（-2，0）， 当x=0时，y=-x-2=-2，则B（0，-2）， 设抛物线解析式为yax2，

把B（0，-2）代入得a022，解得a所以抛物线解析式为y即y221， 212x2 212x2x2； 2（2）如图，当∠BAC=90时 ∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45，

过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC=90， ∴∠DAC=∠DCA=45， 令点C的坐标为（-2-a，-a） 将点C代入到y12x2， 2a122a2 ， 2解得，a10（不合题意，舍去），a22 ∴点C的坐标为（-4，-2）

若∠ABC=90，如图，

过点C作CF⊥y轴于点F，易证△CBF∽△ABO， ∵OA=OB， ∴BF=CF，

设点F（0，-2-a），则点C（-a，-2-a）， 将点C的坐标代入得，

2a12a2 2解得， a10（不合题意，舍去），a26， ∴点C的坐标为（-6，-8）；

综上，点C的坐标为（-4，0）或（-6，-8）； 【点睛】

本题是二次函数的综合题，考察了点的坐标，一次函数 ，二次函数，解一元二次方程，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用待定系数法求二次函数的解析式及分类讨论思想．

28．如图，△ABC中，E、F分别是边AB、AC的中点，EF＝a，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q， （1）当CQ＝（2）当CQ＝

1CE时，求EP+BP的值． 21CE时，求EP+BP的值． 31（3）当CQ＝CE时，直接写出EP+BP的值．

n

解析：（1）2a；（2）4a；（3）2an﹣2a． 【分析】

（1）延长BQ交EF的延长线于点G，根据三角形中位线定理求出BC，证明

△BQC∽△GQE，根据相似三角形的性质得到EG=BC=2a，根据角平分线的定义、平行线的性质得到PB=PG，得到答案； （2）（3）仿照（1）的解法解答． 【详解】

解：（1）如图1，延长BQ交EF的延长线于点G，

∵E、F分别是边AB、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴BC=2EF=2a，EF∥BC， ∴△BQC∽△GQE，

EGEQ1， ∴

BCQC∴EG=BC=2a，

∵BQ是∠CBP的平分线， ∴∠PBQ=∠CBQ， ∵EF∥BC， ∴∠EGQ=∠CBQ， ∴∠PBQ=∠EGQ， ∴PB=PG，

∴PE+PB=PE+PG=EG=2a；

（2）如图2，延长BQ交EF的延长线于点M，

由（1）可知，△BQC∽△MQE，

∴.BCCQ1， EMEQ2∴EM=2BC=4a， ∴PE+PB=PE+PM=EM=4a；

1CE时，则EQ=（n-1）CQ， n由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，

（3）如图2，当CQ∴

EMEQn1， BCQC∴EM=（n-1）BC=2a（n-1），即EP+BP=2an-2a． 【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键．