现代控制理论(刘豹版)第三章部分习题及解答

例3-3 有系统如下，判断其是否能控。

00Xa110a2000u

1xa31解：由A阵为友阵，设其特征根分别为1,2,3，有 （1）若1,2,3互异，其变换阵为一个范德蒙德矩阵：

1T121122213由T0123，与题设矛盾，故T0 231T从而得：

******323213，所以T1b13各行均不为0

2121因此系统是能控的。

（2）若12,13，则有：

1T121012211**1， 123**由T(31)0，得T13T231**11故Tb13各行均不为0，因此系统是能控的。

1（3）若123，则有：

1T12101220110，从而得T1221012200 101故Tb0最后一行元素不为0，因此系统是可控的。

13-6 已知系统的微分方程

611y6y6uyy

试写出其对偶系统的状态空间表达式,及其传递函数。

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答案自制

解：系统的传递函数为 Y(s)6 W(s)U(s)s3

6s211s6状态空间表达式为

010

0 x   0 0 1  x  0u

  1

61161 y600x

其对偶系统的状态空间表达式为 0066

x  

 1 0  11 6  x   0  u 02

01 y

001x由系统

2中，(sIA)121***s36s211S6***

6**故其传递函数为W(sIA12(s)c22)b62s36s211S6

3-7 【习题3-7 】已知能控系统的状态方程A，b为

12 Ab1

431试将该状态空间表达式化为能控标准型 解：

M   b Ab   

1 1  7 1  rankM  2  n ，所以系统是能控的。 

特征多项式：  I  A    1 2   2  5   10 即： a15,a010

34系统能控Ⅰ型：

T c 1   Ab b   1 0  a   1 1   1 0     6 161111117151 从而得 21T1c12182 ZQ 第 2 页

16答案自制

0~101~1bc1Tc1b Ac1Tc1ATc11051

系统能控Ⅱ型： 171111Tc211

8Tc2bAb

17

1010~11 ~bc2Tc2bAc2Tc2ATc2 015

3-8 已知能观系统的A，b，c为

112

Abc11

111

试将该状态空间表达式化为能观标准型 解：

c11 N  rankN  2  n ，所以系统是能观的。

cA02  

11特征多项式  I  A    2   2 即：a12.a02  211系统能观Ⅰ型：

1 11111211TNT o 1   从而得 o10201022

~011121~11ATATbTb01o122o1o10212 o1 ~121CCT1110o1o1

201

系统能控观Ⅱ型：

1a1cA120220110 T o 21              从而得 To201c011111212 ZQ 第 3 页

答案自制

~Co2CTo20102~1Ao2T02ATo2124~1bo2To2b13-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。

1000 230x1 uX

1132y001 x解：

MbAb013A2b1372511rankM23，系统为不能控系统，不能变换为能控标准型。

01C0113NCA2CA179rankN3，系统为能观系统，能变换为能观标准型。

3-11 试将下列系统按能控性进行分解

1210,b0,C111

0（1）A010431解：

Mb014 rankM=2<3，系统不是完全能控的。

AbA2b0009130103011构造奇异变换阵Rc： Rc001 从而得Rc100

130010 ZQ 第 4 页

答案自制

0321~~ bR1b0 ~ARc1ARc142CcRc121 c1000 (2)

221A0201400C111b01解：Mb012 rankM=2<3，系统不是完全能控的。

AbA2b0001010100011构造奇异变换阵Rc： Rc001 从而得Rc100

01010001401~~1bRbcARcARc122  CCRc111 0002

3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解

11210,b0,C111

0（1） A010431C111解： NCA132 rank N=2<3，该系统是不完全能观的

2CA4951构造非奇异变换矩阵R0，有

R01111311 从而得R1111

13202001002

0101xxo340xo2u1 oR1ARRbuoooxxoxoo1221

ycRo10x00xo ZQ 第 5 页

答案自制

2210,b0,C111

20（2） A01401C111解： NCA101 rank N=2<3，所以系统是不完全能观的

2CA2111构造非奇异变换矩阵R0，有

R01111011 从而得R110

10100101001001~~ b1 ~1AR01AR0230RbCCR0100 03141

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