基本数学活动经验

了解理论 重在实践

——浅谈基本数学活动经验

2001年,数学课程标准(实验稿)第一次明确地将“数学活动经验”列入义务教育教学课程的目标：“获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。

数学课程标准（2011年版）又进一步在课程目标中明确提出了“四基”，即：“获得适应社会生活和进一步发展所必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。由此，数学活动经验不仅仅是数学知识的一部分，被赋予了更加丰富的内涵。理解数学知识、掌握数学技能、感悟数学思想方法、获得数学活动经验并列成为我国义务教育阶段数学教育教学的目标。数学活动经验成为数学课程、教学的核心概念之一。

一、数学活动经验的含义 数学活动

课标（2011版）：学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。（P2-3）

课标解读（史宁中主编，义务教育数学课程标准修订组编写）：数学活动的形式多种多样，观察、试验、猜测、验证、推理与交流、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等都是数学

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活动。（P271）

目前，我国有关数学活动经验的理论研究与教学实践比较薄弱，数学活动经验的内涵一直难以界定，至今尚有未达成共识。主要的观点有以下几种。

1.数学活动经验是数学知识的一部分

“数学活动经验属于学生主观性数学知识的范畴”，数学知识不仅包括数学事实，也包括数学活动经验。

2.数学活动经验是一种认识，特别是感性认识。

数学活动经验是在数学目标指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。

3.数学活动经验是体验，是经历

数学活动经验是学生经历数学活动之后所留下的直接感受、体验和感悟。

4.数学活动经验既是知识，也是过程

数学活动经验分为静态和动态两个层面。从静态上看是知识，是学生对整个数学活动过程产生的认识，包括体验和感悟等；从动态上看是过程，是经历。

5.数学活动经验是组合体的整体概念

数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识。

史宁中（博导，东北师大校长，课标修订组组长）：“基本活动经验是指学生直接或间接经历了活动过程而获得的经验”。（如圆的面

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积教学）

刘加霞（博士，北京教育学院教授）：“基于文献综述，我们认为，数学活动经验就是学生在经历数学活动过程中获得的对于数学的体验和认知。与数学概念、技能等显性知识相比较，数学活动经验是一种缄默知识。它包括了对数学的情感、态度、价值观以及对数学美的体验，也包含了渗透于活动行为中的数学思考、数学观念、数学精神等，还包含处理数学对象的成功思维方法、方式等。（小学教学，2012年7-8期：33）

二、数学活动经验的特点

1.个体性。数学基本活动经验是基于学生个人的，它带有明显的学生个性特征。数学基本活动经验是属于学生自己的。

2.实践性。数学基本活动经验是学生在学习过程中获得的，离开了实践活动就不能形成有意义的数学活动经验。

3.多样性。学习群体针对同一数学对象，尽管学习环境等外部条件相同。但每一个学生仍然可能会有不同的活动经验。所以，对学习群体来说，数学活动经验具有多样性。对学生个体而言，如果活动方式多样，获得的经验也是多样的。

4.发展性。数学基本活动经验是反映学生在特定的学习环境中或某一学习阶段对学习对象的一种经验性认识，是感性的、非严格性的，随着学习内容的深入，获得的活动经验会不断变化、不断发展。而且个体的活动经验在群体的“经验交流”中会相互补充、相互充实，丰富、发展个体的活动经验。（例如对长方体、正方体、圆柱体的认识）

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三、数学活动经验的类别

（一）根据所从事的数学活动的不同形式，数学活动的经验可以分为以下四种。

1.直接数学活动经验

直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验。（例如：24时记时法、百分数的认识）

2.间接数学活动经验

创设实际情境构建数学模型所获得的经验。（例如：三年级上册“两位数除以一位数”。40÷2 46÷2 52÷2）

3.专门设计的数学活动经验。、 由纯粹的数学活动所获得的经验。

又如，连接下面方格里的数，使它们的和都是20。 1 7 13

4、意境联结性数学活动经验

通过实际情境、意境的沟通，借助想象体验数学概念和数学思想的本质。（例如“鸡兔同笼”）

（二）根据数学数学活动可以分为思维的操作活动和行为的操作活动，经验可以分为感性经验和逻辑经验，数学活动经验可分为以下四种。

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2 8 14 3 9 15 4 10 16 5 11 17 6 12 18

1、行为操作的经验

来自外显行为操作活动中的感觉、知觉经验，属于直接经验。比如摸一摸长方体面、棱,实验推导圆锥的体积公式等。

2、探究的经验

既有外显行为的操作活动，也有思维层面的操作活动，是并不完全脱离行为操作的数学活动。例如：探究平行四边形的面积公式、推导长方体的体积公式等。

3、思考的经验

在思维操作的活动中不借助外在的实物进行内在思维活动获得的经验。

（例如：三位数乘一位数，正反比例的比较） 4、复合的经验

兼有以上两种以上的经验。

四、例谈促进学生积累数学活动经验的教学策略 ㈠前期孕伏——预设数学活动经验的“生长点” 案例一：为什么学生想不到“剪拼法”？

在平行四边形面积公式的推导过程中，“剪拼法”发挥着极为重要的桥梁作用。通过分析大量课例，不难发现，“剪拼法”的出现要么是由教师直接提出的，要么是经过了课堂上的层层铺垫和多方暗示后才由个别这生提出来的。显然， “剪拼法”不是来源于学生的“自主发现和选择”，而是“被发现”的结果。在教师不提示的情况下，有多少学生能想到用剪拼的方法将平行四边形转化成等面积的长方

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形来研究呢？为回答这样的疑问，一位学者几年前曾对某城区小学四年级4个班共230名学生（在即将学习“平行四边形的面积”一课前）进行了问卷调查：你准备用什么方法来推导平行四边形的面积公式？结果发现92%的学生无从下手。从访谈中还了解到知道用剪拼方法的8%的学生是因为对教学内容已经预习过了。

事实说明，学生明显缺乏剪拼图形的活动经验，而这种活动经验对于推导多边形的面积公式又是弥足珍贵的。进一步的调研发现，教材在“平行四边形的认识”一节中并没有安排剪拼图形的活动，而教师也没在教学中有意识地组织学生进行剪拼图的活动。缺少这样的前期孕伏正是造成学生推导平行四边形面积时想不到“剪拼法”的重要症结之一。后来研究者建议该校数学教师每当教学“平面图形的认识”这样的内容时，都注意组织学生开展“把一个平面图形剪拼为另外一个平面图形”的活动，主要是由学生自己动手进行“分一分、画一画、剪一剪、拼一拼”等活动，教师则通过“回想、复述、提问”等办法，帮助学生把这种直接操作的经验留下来，在头脑中形成动态表象。

㈡问题驱动——触碰数学活动经验的“激发点” 案例二：如何让学生画出符合要求的平行线？

师：我们已经认识了平行线，你能运用手边的工具画出一组平行线吗？

大部分学生利用直尺上下两条边、铅笔盒的边沿线或演草纸上的格子线来画。

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师：这些同学的画法有没有相同的地方？ 生：他们都是用学具中现成的平行线来画的。 师：这样画出来的平行线有什么缺点？

生：用直尺画出来平行线，两条线之间只有直尺那么宽。 生：用铅笔盒画出来的平行线两条线之间只有铅笔盒那么宽。 生：用演草纸上的横线格子画出来的平行线，只能画在原来的线上。

师：对！这样画出来平行线受到已有工具的限制，不能随意地拉开两条直线的距离。那你们有没有办法突破这个限制呢？

生：（边说边演示）先画一条直线，用直尺的一条边贴住这条直线再往下移，想画多少距离就可以画多少距离。

生：这样画也有问题，要是直尺稍微移歪一点就不平行了！ 生：是啊，光凭感觉能保证直尺一直方向不变地平移吗？ 师（用三角板演示）这样画，两条直线之间的距离是不受限制了，可是直尺移起来容易移歪，画出来的两条直线就不能保证一定平行。那怎么办呢？有没有以前的经验可以帮助我们克服这个困难？

学生面面相觑，一时陷入僵局。教师组织学生小组讨论。过了一会儿，有个小组结合着演示兴奋地表达了他们的发现。

生：一开始我们想，要是能让尺子沿着一个固定的轨道上走就好了！

生：那怎么给尺子装上一个固定的轨道呢？

生：一个尺子肯定是不行的，得找个帮忙的，让它靠着走。

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生：对哪，我们记起以前学平移的时候，老师您不是让我们玩过“升国旗”的平移游戏吗？用直尺做固定“旗杆”三角板做“国旗”，就能够自由“升旗”了！

生：所以，我们认为可以先用直尺画一条直线，然后把三角板的一条直角边贴在直线上，用直尺靠住三角板的另一条直角边，然后压住直尺不动作轨道，再让三角板顺着尺子平移就行了。

师：这样的方法行吗？ 生：（齐）行的！

师：现在你们能在练习本上随意画一条直线，再画出它的平行线吗？

学生独立完成。

师：谁来说说我们是怎样画平行线的？

引导学生共同概括并板书：一贴、二靠、三移、四画。 如果教师一开始就示范并告诉学生画平行线的步骤是“一贴、二靠、三移、四画”，然后要求学生通过模仿、反复操练来掌握画平行线的技能，那样的话，学生看似参与了活动，但充其量不过是担任了一次“操作工”的角色。上述案例中，教师问了四个关键问题：①你能运用手边的工具画出一组平行线吗？②用现成的学具只能画固定距离的两条平行线，你们有没有办法突破这个限制呢？③有没有以前的经验可以帮助我们克服这个困难？④谁来说说我们是怎样画平行线的？正是通过不断地提出问题和解决问题，学生已有的活动经验不断地被激活并融入进来，本来有缺陷的经验逐渐被修正，粗糙的经

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验渐渐趋于精致，浅层次的经验获得了有效的提升，新生成的数学活动经验很自然地嵌入学生的经验系统里了。

㈢有序体验——选准数学活动经验的展开点 案例三：张齐华“用字母表示数” 1.用字母可以表示任意数

师：（课件出示a、b）认识吗？在哪儿见过？

师：（课件出示a＋b＝b＋a）在加法交换律中，和分别表示什么？

2.用字母可以表示未知数 储蓄罐问题

3.用含有字母的式子可以表示运算和结果 储蓄罐问题：a＋5＝a＋5

4.用含有字母的式子可以表示数量和关系 父子年龄问题：x－26

5.用含有字母的式子可以表示不同数量之间相似的关系 （小学教学，2011年7-8:44 ~48）

㈣合作交流——提炼数学活动经验的内化点

学生数学活动经验的领悟与转化常常受到个人学习风格的影响。要克服个人数学活动经验的局限性，一个根本的方式是给学生提供一个“合作交流”的平台，促进个人经验的交流与融合，实现对个人经验的优化和内化。这样的合作交流提升了活动经验的理性品质，

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加速了其内化为个体数学素养一部分的进程。在教学实践中，通过合作交流旨在在完成对个体活动经验的“四个提升”：把感性的经验逐步理性化，把模糊的经验逐步明晰化，把松散的经验逐步结构化，把知识型的经验逐步策略化。

案例四：在比较中积累数学活动经验

在学习活动中，经常要对一些相近的、相反的或容易混淆的概念进行比较，在比较中教师经常采用小组合作讨论的方法。开始时学生可能觉得比较困难，但是只要教师坚持下来，给学生足够的时间思考、讨论、交流、辩论、表达，学生比较的能力提高，经验就会不断优化、内化。例如，学生对长方形的周长和面积比较以后，发现意义不同、求法不同、单位不同。再比较圆的周长和面积、圆柱体的表面积和体积时就会很容易。进一步，学生还会类推迁移到求比值与化简比、正比例与反比例的比较。

㈤应用拓展——打磨数学活动经验的“深化点”

案例五：我们能运用“转化”思想解决哪些新的问题？（在“多边形的面积”单元复习课上）

师：如果把小学数学的各个知识点比作珍珠，那数学思想方法就像一根线，找到了它，就可以用它将很多知识点串成一条精美的项链，能大大增强我们解决问题的能力。转化思想，就是在这一单元我们找到的一根重要的线。大家好好想想，运用转化思想可以帮我们解决哪些新的问题？

生1：（举例说明）任意一个四边形的面积都能转化成两个三角

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形的面积的和。

生2：（举例说明）任意一个多边形的面积都能转化成几个三角形的面积的和。

生3：（举例说明）有些复杂的组合图形，可以先转化成几个学过的图形，然后分别求出它们的面积。

生4：我在想，求圆形的面积应该也可以转化成学过的平面图形的面积，但我不知道怎样去转化才能成功

……

师：这些问题都很值得深入研究。运用转化思想解决问题，都遵循一条重要的思路，那就是把暂时不能解决的新问题想办法转化成已经解决的老问题。以后我们再学习新知识，应该怎么办？

……

帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。这个过程不可能一蹴而就，也不会一帆风顺，需要在“做”的过程和“思考”的过程中不断磨砺、慢慢积淀、逐步积累、渐渐深化。已有研究证实，学生前期积累的数学活动经验只有参与了多样化的数学活动，经过了多次调用和加工后才能逐渐内化为概括性更强的经验图式，进而真正达到理性的领悟，更有效地推广到同类问题的解决中去。

㈥回顾总结——激活数学活动经验的“反思点” 案例六：通过对圆周率的研究，你有哪些新的感悟？

“在圆的周长”一课即将结束时，教师引导学生回顾了课堂上

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和历史上对圆周率的研究历程后，让他们谈谈自己的感悟。

生：一开始，我用滚动法、绕绳法测量圆的周长时，心里想“差不多就行了”，测得很不认真，还嫌太麻烦，后来看到祖冲之用割圆术把圆内接正多边形分到24576条边时，我被祖冲之的研究深深震撼了，对自己的态度感到特别惭愧！

生：我觉得祖冲之得出的π值已经够精确的了，可人们还不满足，现在已经有人把π值推算到小数点后10万亿位了，太了不起了！

生：我觉得，研究π值的过程，就是一个不断减少误的过程。我们不能满足于差不多就行，要努力做得越来越好争取完美。

生：我喜欢刘徽创立的割圆术，这种研究方法太有创意了。 生：现在的人们是怎么用计算机研究π值的这真是个谜。我希望以后能弄明白。

生：我一直想不明白，既然大家都说π是一个无限不循环小数，那我们凭什么认为它是一个确定的值呢？太不可思议了！

……

费赖登塔尔说：“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力。”经常引导学生反思，既使所学的知识、技能、思想得到巩固和提升，又使学生逐渐养成及时反思、善于反思这种宝贵的学习习惯、生活习惯。（孔子：吾日三省吾身。）

确定数学活动经验的“反思点”，可以从以下四个方面进行捕捉：一是数学活动经验里的知识性成分；二是数学活动经验里的思想和方法性成分；三是数学活动经验里有体验性成分，即在活动过程中所产

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生的情绪体验；四是数学活动经验里的观念性成分，即活动过程中所形成的意识和信念，如应用意识、创新意识、做事的信心与信念等。

参考文献：

⒈王林，《我国目前数学活动经验研究综述》，小学数学教与学2012（5）：3-8

⒉张天孝，《关注数学基本活动经验》，小学教学2009（9）:8 -10 ⒊张良朋，《例谈促进学生积累数学活动经验的教学策略》，小学教学2012（7-8）:40-42

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