２０１９年７月１日出版
文章编号：１０００⁃０８８７（２０１９）０７⁃０７１３⁃１５
ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ Ｖｏｌ．４０，Ｎｏ．７，Ｊｕｌ．１，２０１９
ⓒ应用数学和力学编委会，ＩＳＳＮ１０００⁃０８８７
一类具有非线性发生率与时滞的非局部扩散
ＳＩＲ模型的临界波的存在性
∗
张 秋１， 陈广生１，２
２．广西科技师范学院数学与计算机科学学院，广西来宾５４６１９９）
摘要： 研究了一类具有时滞的非局部扩散ＳＩＲ传染病模型的行波解．首先，利用反证法证明了Ｉ是有界的，并根据Ｉ的有界性研究了波速ｃ＞ｃ∗时行波解（波速大于最小波速的行波）的存在性．其次，利用ｃ＞ｃ∗的行波的存在性结果证明了临界波（波速等于最小波速的行波）的存在性．最后，讨论了Ｒ０对临界波存在性的影响．
关 键 词： 行波解； 临界波速； 非局部扩散； 基本再生数中图分类号： Ｏ１７５．１４ 文献标志码： Ａ
ＤＯＩ：１０．２１６５６／１０００⁃０８８７．３９０２０８
（１．西安电子科技大学数学与统计学院，西安７１００７１；
引 言
有大量的结果［１⁃１０］．例如，Ｗａｎｇ和Ｗｕ［１１］研究了一般的Ｋｅｒｍａｃｋ⁃ＭｃＫｅｎｄｒｉｃｋ模型行波解的存在性．Ｌｉ等［１２］研究了人口数量变化的非局部时滞ＳＩＲ传染病模型．文献［１３］研究了具有非线性发生率的时滞ＳＩＲ模型等等．
ìï∂Ｓ（ｘ，ｔ）＝ｄ１（Ｊ∗Ｓ（ｘ，ｔ）－Ｓ（ｘ，ｔ））－ｆ（Ｓ（ｘ，ｔ））ｇ（Ｉ（ｘ，ｔ－τ）），ï∂ｔïï∂Ｉ（ｘ，ｔ）
＝ｄ２（Ｊ∗Ｉ（ｘ，ｔ）－Ｉ（ｘ，ｔ））＋ｆ（Ｓ（ｘ，ｔ））ｇ（Ｉ（ｘ，ｔ－τ））－γＩ（ｘ，ｔ）， í（１）∂ｔï
ï∂Ｒ（ｘ，ｔ）
＝ｄ３（Ｊ∗Ｒ（ｘ，ｔ）－Ｒ（ｘ，ｔ））＋γＩ（ｘ，ｔ），ïï∂ｔ
î
其中ｄｉ＞０（ｉ＝１，２，３）表示扩散系数，γ表示恢复率，τ≥０表示疾病的潜伏时间，Ｊ∗ｕ（ｘ，ｔ）是关于空间ｘ的标准卷积．Ｊ∗Ｓ（ｘ，ｔ）－Ｓ（ｘ，ｔ），Ｊ∗Ｉ（ｘ，ｔ）－Ｉ（ｘ，ｔ），Ｊ∗Ｒ（ｘ，ｔ）－Ｒ（ｘ，ｔ）分别表示由易感者、感染者、恢复者的扩散导致的净增长率．假设Ｊ，ｆ和ｇ满足条件：
（Ｈ１）ｆ，ｇ∈Ｃ（（０，＋∞），（０，＋∞）），ｆ（０）＝ｇ（０）＝０，ｆ′（Ｓ）＞０，∀Ｓ≥０，且ｇ′（Ｉ）＞０，ｇ″（Ｉ）≤０，∀Ｉ≥０；
∗
传染病模型是生物数学中一类典型的数学模型，关于传染病模型行波解的存在性研究已
最近，邹霞和吴事良［１４］研究了以下具有时滞的非局部扩散ＳＩＲ传染病模型：
收稿日期： ２０１８⁃０７⁃２６；修订日期： ２０１８⁃１１⁃０９
基金项目： 国家自然科学基金（面上项目）（１１６７１３１５）
作者简介： 张秋（１９８９—），女，硕士生（通讯作者．Ｅ⁃ｍａｉｌ：１２０４１４２２３４＠ｑｑ．ｃｏｍ）；
陈广生（１９７９—），男，博士生（Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｃｇｓｗａｖｅｌｅｔｓ＠１２６．ｃｏｍ）．
７１３
７１４张 秋 陈 广 生
（Ｈ２）Ｊ∈Ｃ１（Ｒ），Ｊ（ｘ）＝Ｊ（－ｘ）≥０，
（ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０））／γ＞１时，系统（１）存在满足边界条件Ｓ（－∞）＝Ｓ－∞，Ｉ（±∞）＝０的行波解，并得到了当Ｒ０≤１或者Ｒ０＞１，０＜ｃ＜ｃ∗时，系统（１）不存在行波解的结论，其中σ０＝Ｓ－∞
在条件（Ｈ１）和（Ｈ２）下，邹霞和吴事良［１４］证明了当ｃ＞ｍａｘ{ｃ∗，（３／２）ｄ２σ０}，Ｒ０＝
∫Ｊ（ｘ）ｄｘ＝１且Ｊ具有紧支撑．
Ｒ
Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理和双边Ｌａｐｌａｃｅ变换建立了系统（１）的行波解的存在性与不存在性．文献［１４］是在大传播速度（即ｃ＞ｍａｘ{ｃ∗，（３／２）ｄ２σ０}）条件下得到系统（１）的行波解的存在性，文献［１５］是在小传播速度（即ｃ＞ｃ∗）条件下得到行波解的存在性．然而，文献［１４⁃１５］没有讨论当波速ｃ＝ｃ∗时，系统（１）的行波解的存在性问题．众所周知，反应扩散系统在ｃ＞ｃ∗参阅文献［９，１６⁃１８］，其中Ｗｕ［１８］在Ｆｕ等［６］研究的基础上，讨论了以下模型临界波的存在性：条件下行波解的存在性已有很多研究，但当ｃ＝ｃ∗时行波解的存在性讨论很少，相关结果可ìï∂Ｓｊ（ｔ）＝ｄ［Ｓ（ｔ）＋Ｓ（ｔ）－２Ｓ（ｔ）］－βＳ（ｔ）Ｉ（ｔ），
ｊ＋１ｊ－１ｊｊｊ
ï∂ｔ í（２）
∂Ｉ（ｔ）ïｊ
ï∂ｔ＝［Ｉｊ＋１（ｔ）＋Ｉｊ－１（ｔ）－２Ｉｊ（ｔ）］＋βＳｊ（ｔ）Ｉｊ（ｔ）－γＩｊ（ｔ）．î
Ｗｕ［１８］通过讨论系统（２）中Ｉ的有界性，证得了在波速ｃ＞ｃ∗条件下行波解的存在性，从而得到当ｃ＝ｃ∗时行波解的存在性．最近，Ｙａｎｇ等［１７］利用文献［１８］中的方法建立了以下模型临界波的存在性：
ìï∂Ｓ（ｘ，ｔ）＝ｄ１（Ｊ∗Ｓ（ｘ，ｔ）－Ｓ（ｘ，ｔ））－βＳ（ｘ，ｔ）Ｉ（ｘ，ｔ），ï∂ｔí
ï∂Ｉ（ｘ，ｔ）＝ｄ（Ｊ∗Ｉ（ｘ，ｔ）－Ｉ（ｘ，ｔ））＋βＳ（ｘ，ｔ）Ｉ（ｘ，ｔ）－γＩ（ｘ，ｔ）．
２ï∂ｔ
î
∫
＋∞－∞
Ｊ（ｙ）｜ｙ｜ｄｙ．随后，Ｚｈａｎｇ等［１５］也研究了系统（１）的行波解的存在性问题，他们利用
（３）
注意到，系统（３）是系统（１）的一个特例，那自然要问：系统（１）是否存在具有临界波速的行波解？回答是肯定的．
为了研究系统（１）的临界波，仅需考虑系统（１）的子系统（由于系统（１）的第三个方程与前两个方程不是耦合的）：
ìï∂Ｓ（ｘ，ｔ）＝ｄ１（Ｊ∗Ｓ（ｘ，ｔ）－Ｓ（ｘ，ｔ））－ｆ（Ｓ（ｘ，ｔ））ｇ（Ｉ（ｘ，ｔ－τ）），ï∂ｔ í（４）
∂Ｉ（ｘ，ｔ）ï＝ｄ２（Ｊ∗Ｉ（ｘ，ｔ）－Ｉ（ｘ，ｔ））＋ｆ（Ｓ（ｘ，ｔ））ｇ（Ｉ（ｘ，ｔ－τ））－γＩ（ｘ，ｔ）．ï∂ｔî
令（Ｓ（ｘ＋ｃｔ），Ｉ（ｘ＋ｃｔ））＝（Ｓ（ｚ），Ｉ（ｚ）），其中ｚ＝ｘ＋ｃｔ．将其代入系统（４）可得如下相应的行波系统：
{
ｃＳ′（ｚ）＝ｄ１（Ｊ∗Ｓ（ｚ）－Ｓ（ｚ））－ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ）），
其中边界条件为
ｃＩ′（ｚ）＝ｄ２（Ｊ∗Ｉ（ｚ）－Ｉ（ｚ））＋ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））－γＩ（ｚ），
（５）（６）
（Ｓ，Ｉ）（－∞）＝（Ｓ－∞，０），Ｉ（＋∞）＝０，
且Ｓ在＋∞处的取值是任意的．
现在，给定ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）＞γ，定义最小传播速度：
一类具有非线性发生率与时滞的非局部扩散ＳＩＲ模型的临界波的存在性
ｃ∗
λ＞０
ｉｎｆ
ｄ２
∫
７１５
＋∞－∞
Ｊ（ｙ）ｅ－λｙｄｙ－ｄ２＋ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）ｅ－λｃτ－γ
λ
．
本文受文献［１７⁃１８］的启发，主要研究系统（４）当ｃ＝ｃ∗时行波解的存在性．因此，首先利用反证法证明Ｉ是有界的，并根据Ｉ的有界性研究波速ｃ＞ｃ∗时行波解的存在性．其次，利用ｃ＞ｃ∗时行波的存在性结果证明临界波的存在性．最后，讨论Ｒ０对临界波存在性的影响．
这里需要指出的是，文献［１４］在证明行波解的存在性时，对建立Ｉ的有界性附加了一定
的条件，而本文使用文献［１７⁃１８］中的技巧，在没有限制的条件下，利用反证法证明了Ｉ的有界性，进而建立了当ｃ＞ｃ∗时行波解的存在性．由于时滞的存在和函数ｇ的性质的影响，在证明Ｉ的有界性时，很多证明细节与文献［１７⁃１８］是不同的．
本文的安排如下：第１节研究当ｃ＞ｃ∗时行波解的有界性；第２节证明当ｃ＝ｃ∗时行波解的存在性；第３节给出具体实例，验证了所得的临界波结果；最后，对全文内容进行总结．
１ 行波解的有界性
（４）存在满足０＜Ｓ＜Ｓ－∞，Ｉ＞０的解（Ｓ，Ｉ），且Ｓ（－∞）＝Ｓ－∞，Ｉ（－∞）＝０．Ｉ（ｚ
∫Ｊ（ｙ）Ｉ（Ｉｚ（ｚ）ｙ）ｄｙ，ｆ（Ｓ（ｚ））ｇＩ（（ｚ）
－
Ｒ
本节主要研究系统（４）行波解的有界性．由文献［１４］可得，当Ｒ０＞１和ｃ＞ｃ∗时，系统引理１ 若函数（Ｓ，Ｉ）是系统（５）波速为ｃ＞ｃ∗的行波解且０＜Ｓ＜Ｓ－∞，Ｉ＞０，则函数
－ｃτ））
，
Ｉ′（ｚ）
在Ｒ上有界．Ｉ（ｚ）
证明 首先，对方程（５）的第二个方程的两边同时除以Ｉ，可得
ｃ
Ｉ′（ｚ）Ｉ（ｚ－ｙ）ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））
＝ｄ２Ｊ（ｙ）－γ．ｄｙ－ｄ２＋Ｉ（ｚ）Ｉ（ｚ）Ｉ（ｚ）Ｒ
－
Ｒ
因为０＜Ｓ＜Ｓ－∞，可得Ｉ′／Ｉ的有界性与有关．
为了方便起见，记ｕ（ｚ）
ｕ（ｚ）＝
ｄ２ｃｄ２
ｄ２ｃ
∫
（７）
－ｃτ））
的有界性
Ｉ（ｚ
∫Ｊ（ｙ）Ｉ（Ｉｚ（ｚ）ｙ）ｄｙ，ｆ（Ｓ（ｚ））ｇＩ（（ｚ）
记κ
ｄ２ｃ
和Ｇ（ｚ）
所以Ｇ（ｚ）是非减的且ｌｉｍｚ→－∞Ｇ（ｚ）＝０．由条件（Ｈ２）可知，ｒ＞０，其中ｒ是ｓｕｐｐＪ的半径．因此，取０＜２ｒ０＜ｒ．对方程（８）从－∞到ｚ积分，可得
Ｇ（ｚ）≥κ
∫ｕ（ｓ）ｄｓ)．因此，对Ｇ（ｚ）关于ｚ求导，有
Ｇ′（ｚ）＝（μ＋ｕ（ｚ））Ｇ（ｚ）≥κ∫Ｊ（ｙ）ｅ∫ｄｙＧ（ｚ）≥０．
ｅｘｐμｚ＋
ｃ∫
∫
Ｒ
Ｊ（ｙ）ｅ∫ｚＪ（ｙ）ｅ∫ｚ
∫
Ｒ
Ｊ（ｙ）
Ｉ（ｚ－ｙ）ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））
＝ｄｙ－μ＋
Ｉ（ｚ）ｃＩ（ｚ）
ｕ（ｓ）ｄｓ
Ｉ′／Ｉ和μ＝（ｄ２＋γ）／ｃ．则式（７）为
ｚ－ｙ
ｄｙ－μ＋ｄｙ－μ．
ｚ０
ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））
≥
ｃＩ（ｚ）
ｚ－ｙ
ｕ（ｓ）ｄｓ
Ｒ
(
ｚ－ｙｚ
ｕ（ｓ）ｄｓ
Ｒ
（８）
∫∫
ｚ－∞
Ｒ
Ｊ（ｙ）ｅ∫ｘ
ｘ－ｙ
ｕ（ｓ）ｄｓ
ｄｙＧ（ｘ）ｄｘ＝
７１６
κＪ（ｙ）ｅμｙ
Ｒ
则
然后，对方程（８）关于ｘ从ｚ－ｒ０到ｚ积分，可得
∫
∫∫Ｇ（ｘ－ｙ）ｄｘｄｙ≥κ∫Ｊ（ｙ）ｅ∫Ｇ（ｘ－ｙ）ｄｘｄｙ≥κｒ∫Ｊ（ｙ）ｅＧ（ｚ－ｒ－ｙ）ｄｙ，
ｚ－∞μｙ
ｚ
Ｒ
ｚ－ｒ０
０
μｙ
Ｒ
０
张 秋 陈 广 生
０－∞
Ｊ（ｙ）ｅμｙ
Ｇ（ｚ－ｒ０－ｙ）
Ｇ（ｚ）
ｄｙ≤（κｒ０）－１．
（９）
Ｇ（ｚ）∫
－Ｇ（ｚ－ｒ０－ｙ）≥κ
κμｙ
∫ｚ
ξ－ｒ０∫
Ｒ
Ｊ（ｙ）ｅ∫ｘ－ｙ
ｘ
ｕ（ｓ）ｄｓ
ｄｙＧ（ｘ）ｄｘ＝
Ｒ
Ｊ（ｙ）ｅ
≥
κｒ－２ｒ∫
ｚｚ－ｒ０
Ｇ（ｘ－ｙ）ｄｘｄｙ０
０μｙ－∞Ｊ（ｙ）ｅＧ（ｚ－ｒ０－ｙ）ｄｙ≥ κｒ∫－２ｒ０
０－∞
Ｊ（ｙ）ｅμｙｄｙＧ（ｚ＋ｒ０）．因为ｒ＞２ｒ－∫２ｒ０
和∫
０－∞
Ｊ（ｙ）ｅμｙ１
ｄｙ＞０且
ω０
κｒ－２ｒ０
０－∞
所以，∫
Ｊ（ｙ）ｅμｙｄｙ
，
对任意的 Ｇ（ｚ＋ξｒ∈Ｒ，有由于
０）≤ω０Ｇ（ｚ）．
∫
Ｒ
Ｊ（ｙ）
Ｉ（Ｉｚ（－ｚ）
ｙ）
ｄｙ＝
∫
Ｒ
Ｊ（ｙ）ｅμｙ
Ｇ（Ｇｚ（－ｚ）
ｙ）
ｄｙ，
结合式（９）和（１０）可得
Ｊ（ｙ）Ｉ（∫Ｉｚ（－
Ｒ
ｚ）ｙ）ｄｙ＝
∫ ０Ｊ（ｙ）ｅμｙ
Ｇ（ｚ－ｙ）
＋∞
Ｊ（ｙ）ｅμｙ
Ｇ（Ｇｚ（－ｚ）
ｙ）
ｄｙ≤
∫
－∞
Ｇ（ｚ）ｄｙ＋
０Ｊ（ｙ）ｅ
Ｇ（０μｙ
∫∞
－∞
Ｇｚ（－ｚ）
ｙ）
ｄｙ＋
（ｙ）ｅμｙｄｙ≤
ω００（ｙ）ｅ
μｙ
Ｇ（ｚ－ｒ０－ｙ∫
＋）
０
Ｊ－∞
Ｇ（ｚ）
ｙ＋
＋∞
０
Ｊ（ｙ）ｅμｙｄｙ≤
ωκｒ０
∫
Ｊ＋
又因为０
∫
ｄ＋∞
０
Ｊ（ｙ）ｅμｙｄｙ．
∫
整理得
Ｇ（Ｇｚ）（ｚ是非减的）≥Ｇ（ｚ，－故
ｃτ）．（１０）
一类具有非线性发生率与时滞的非局部扩散ＳＩＲ模型的临界波的存在性
则
因此
ｅｘｐμｚ＋
((
∫ｕ（ｓ）ｄｓ)≥ｅｘｐ(μｚ－μｃτ＋∫
ｚ０
７１７
ｚ－ｃτ
０
ｕ（ｓ）ｄｓ，
)
ｅｘｐμｃτ－ｅｘｐ
由条件（Ｈ１）知，对任意的ｔ∈［０，Ｉ（ｚ－ｃτ）］，有
ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））Ｉ（ｚ－ｃτ）
＝ ≤
Ｉ（ｚ）Ｉ（ｚ－ｃτ）Ｉ（ｚ）
ｚｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））
ｆ（Ｓ－∞）ｅｘｐｕ（ｓ）ｄｓ≤
Ｉ（ｚ－ｃτ）ｚ－ｃτ
ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）ｅｘｐ（μｃτ），
(∫
∫
ｚ－ｃτｚ
ｕ（ｓ）ｄｓ≥１．
)
ｚ－ｃτｚ
ｕ（ｓ）ｄｓ≤ｅｘｐ（μｃτ）．
)
（１１）
(∫
)
则
所以
ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））
≤ｅｘｐ（μｃτ）ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）．
Ｉ（ｚ）｜ｕ（ｚ）｜≤κＪ（ｙ）
ｄ２＋γｅｘｐ（ｃμτ）Ｉ（ｚ－ｙ）
＋ｄｙ＋ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）．
Ｉ（ｚ）ｃｃＲ
Ｉ′Ｉ（ｚ－ｙ）
因此，Ｊ（ｙ）ｄｙ和是有界的．
ＩＩ（ｚ）Ｒ
下面介绍几个引理用于证明Ｉ的有界性．
引理２ 任取ｃｋ∈（ｃ∗，ｃ∗＋１）且（ｃｋ，Ｓｋ，Ｉｋ）是系统（５）波速为ｃ＝ｃｋ的一序列行波解，且０＜Ｓｋ＜Ｓ－∞，Ｉｋ＞０．如果存在一个序列{ｚｋ}使得当ｋ→＋∞时Ｉｋ（ｚｋ）→＋∞，则Ｓｋ（ｚｋ）→０．
∗
中，ｋ∈Ｎ和ε＞０．由式（５）的第一个方程，可得Ｓ′．因此，Ｓｋ（ｚ）≥ε／２，∀ｚｋ（ｚ）≤２ｄ１Ｓ－∞／ｃ∈［ｚｋ－δ，ｚｋ］．由引理１得，存在实数Ｌ１＞０满足｜Ｉ′ｋ／Ｉｋ｜≤Ｌ１．因此，对所有的ｋ∈Ｎ，有
∫
∫
□
证明 反证法．假设不成立，则存在一个序列{ｚｋ}（仍用ｚｋ表示）使得Ｓｋ（ｚｋ）≥ε，其
Ｉｋ（ｚｋ）Ｉｋ（ｚ）
Ｉｋ（ｓ）当ｋ→＋∞时，Ｉｋ（ｚｋ）→＋∞，则
Ｉｋ（ｚ）≥ｅ－δＬ１Ｉｋ（ｚｋ）→＋∞．又因为
ｚ
＝ｅｘｐ
{∫
ｚｋ
Ｉ′ｋ（ｓ）
Ｌδ
ｄｓ≤ｅ１， ∀ｚ∈［ｚｋ－δ，ｚｋ］．
}
因此，当ｋ→＋∞，有
ｍｉｎＩｋ（ｚ－ｃτ）≥ｅ－ｃτＬ１Ｉｋ（ｚ）≥ｅ－ｃτＬ１ｅ－δＬ１Ｉｋ（ｚｋ）→＋∞．注意到
ｚ∈［ｚｋ－δ，ｚｋ］
Ｉｋ（ｚ－ｃτ）
Ｉｋ（ｚ）
＝ｅｘｐ
{∫
ｚｚ－ｃτ
Ｉ′ｋ（ｓ）Ｉｋ（ｓ）
ｃτＬ
ｄｓ≤ｅ１．
}
ｇ（Ｉｋ（ｚ－ｃτ））－ｇ（０）
Ｉｋ（ｚ－ｃτ）－０
＝ｇ′（ｔ０）， ｔ０∈［０，Ｉｋ（ｚ－ｃτ）］．
７１８张 秋 陈 广 生
根据条件（Ｈ１）可知０＜ｇ′（Ｉｋ（ｚ－ｃτ））＜ｇ′（ｔ０）＜ｇ′（０）．则由式（５）的第一个方程得这与Ｓｋ（ｚ）＜Ｓ－∞矛盾．证毕．
ｚ∈［ｚｋ－δ，ｚｋ］
ｍａｘＳ′ｋ（ｚ）≤
２ｄ１Ｓ－∞
ｃ∗
εö
－ｆæç÷ｇ′（ｔ０）Ｉｋ（ｚ－ｃτ）→－∞．
２èø
□
引理３ 若（Ｓ，Ｉ）是系统（５）波速为ｃ＞ｃ∗时的行波解且０＜Ｓ（ξ）＜Ｓ－∞，Ｉ＞０，如果
ｌｉｍｓｕｐｚ→＋∞Ｉ（ｚ）＝＋∞，那么ｌｉｍｚ→＋∞Ｉ（ｚ）＝＋∞．
∞
＝＋∞和ｌｉｍｉｎｆｚ→＋∞Ｉ（ｚ）＜＋∞．则存在点列{ｚｋ}ｋ＋＝１满足ｌｉｍｋ→＋∞ｚｋ
Ｉ（ｚｋ）→ｍ．因此，对任意的ｋ∈Ｎ，有Ｉ（ｚｋ）≤ｍ＋１．
再者，对每一个ｋ∈Ｎ，假设存在一个点ｙｋ∈［ｚｋ，ｚｋ＋１］使得Ｉ（ｙｋ）＝ｍａｘｚ∈［ｚｋ，ｚｋ＋１］Ｉ（ｚ）．
证明 假设ｍ
又因为ｌｉｍｓｕｐｚ→＋∞Ｉ（ｚ）＝＋∞，则当ｋ→＋∞时，Ｉ（ｙｋ）→＋∞．因为Ｌ１是引理１中给定的常数，所以，对所有的ｋ∈Ｎ，有Ｉ（ｙｋ）＞（ｍ＋１）ｅＬ１ｒ，其中ｒ是ｓｕｐｐＪ的半径．那么，当｜ｙ－ｙｋ｜≤ｒ时，有
ｙｋＩ′（ｚ）æö＝ｅｘｐçｄｚ÷≤ｅＬ１ｒ， ∀ｋ∈Ｎ，
Ｉ（ｙ）èｙＩ（ｚ）ø
可得［ｙｋ－ｒ，ｙｋ＋ｒ］⊂（ｚｋ，ｚｋ＋１）．因此，由式（５）的第二个方程可得出
０＝ｃＩ′（ｙｋ）＝
Ｉ（ｙｋ）
∫
ｆ（Ｓ（ｙｋ））ｇ（Ｉ（ｙｋ－ｃτ））－γＩ（ｙｋ）．（１２）由ｌｉｍｋ→＋∞Ｉ（ｙｋ）＝＋∞和引理２，所以ｌｉｍｋ→＋∞Ｓ（ｙｋ）＝０．因此，ｌｉｍｚ→＋∞Ｉ（ｚ）＝＋∞．证毕．□一个可测函数且满足
的特征根．
ｃＺ（ｚ）＝ｃψ＝
引理４［１９］ 假设ｃ＞０，Ｂ（·）是一个连续函数满足Ｂ（±∞）
ｌｉｍｚ→±∞Ｂ（ｚ）．令Ｚ（ｚ）为
ｄ２Ｊ（ｙ）（Ｉ（ｙｋ－ｙ）－Ｉ（ｙ））ｄｙ＋ｆ（Ｓ（ｙｋ））ｇ（Ｉ（ｙｋ－ｃτ））－γＩ（ｙｋ）≤
Ｒ
∫
因此，Ｚ是一致连续和一致有界．再者，ψ±
定理１ 若函数（Ｓ，Ｉ）是系统（５）波速为ｃ＞ｃ∗时的行波解且Ｓ（－∞）＝Ｓ－∞，Ｉ＞０，则Ｉ在Ｒ上有界．
证明 反证法．假设Ｉ在Ｒ上无界，则ｌｉｍｓｕｐｚ→＋∞Ｉ（ｚ）＝＋∞．因此由引理２和引理３，可得Ｉ（＋∞）＝＋∞和Ｓ（＋∞）＝０．
记ｕ（ｘ）＝Ｉ′（ｘ）／Ｉ（ｘ）．对式（５）的第二个方程两边同除以Ｉ，则有
ｄ２ｄ２＋γｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））Ｉ（ｚ－ｙ）
＋ ｕ（ｚ）＝Ｊ（ｙ）ｄｙ－．
ｃＲＩ（ｚ）ｃＩ（ｚ）
因为Ｓ（＋∞）＝０和Ｓ（－∞）＝Ｓ－∞，所以由引理４可得ｌｉｍｚ→＋∞ｕ（ｚ）存在，且满足
ｄ２
定义连续函数：
∫Ｊ（ｙ）ｅ
Ｒ
ｊ
∫
Ｒ
Ｊｊ（ｙ）ｅ∫ｚ
－ψｙ
ｚ－ｙ
Ｚ（ｓ）ｄｓ
ｄｙ＋Ｂ（ｚ）．
ｄｙ＋Ｂ（±∞） （ｊ＝１，２）
ｌｉｍｚ→±∞Ｚ（ｚ）存在且是方程
(∫Ｊ（ｙ）ｅ
Ｒ
∫
－λｙ
ｄｙ－１－ｃλ－γ＝０．
－λｙ
)
（１３）
ｈ（ｃ，λ）＝ｄ２
(∫Ｊ（ｙ）ｅ
Ｒ
ｄｙ－１－ｃλ－γ．
)
一类具有非线性发生率与时滞的非局部扩散ＳＩＲ模型的临界波的存在性７１９
因此，ｈ满足ｈ（０，ｃ）＝－γ＜０且
∂ｈ∂λ
∂２ｈ
＝－ｃ＜０，＝ｄ２Ｊ（ｙ）ｙ２ｅ－λｙｄｙ＞０，ｌｉｍｈ（λ，ｃ）＝＋∞． ２λ→＋∞Ｒ∂λλ＝０
所以方程（１３）存在唯一的正根λ０．因为Ｉ（ｚ）＞０和ｌｉｍｚ→＋∞Ｉ（ｚ）＝＋∞，因此ｌｉｍｚ→＋∞ｕ（ｚ）≥０，则ｌｉｍｚ→＋∞ｕ（ｚ）＝λ０．由文献［１４］，可得Ｉ（ｚ）≤ｅλ１ｚ，其中０＜λ１＜λ２是方程
ｄ２ｄ２
的两个特征根．将λ２代入方程（１４），整理得
∫
∫∫
＋∞－∞
Ｊ（ｙ）ｅ－λｙｄｙ－ｄ２－ｃλ＋ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）ｅ－λｃτ－γ＝０
（１４）
＋∞－∞
则０＜λ１＜λ２＜λ０．因为ｌｉｍｚ→＋∞θ（ｚ）＝λ０，从而存在ｚ∗和Ｌ满足 Ｉ（ｚ）≥Ｌｅ（（λ０＋λ２）／２）ｚ∗．
这与λ１＜（λ２＋λ０）／２矛盾．因此，Ｉ有界．证毕．
Ｊ（ｙ）ｅ－λ２ｙｄｙ－ｄ２－ｃλ２－γ＝－ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）ｅ－λ２ｃτ＜０，
定理２ 如果Ｒ０＞１和ｃ＞ｃ∗，那么式（５）存在行波解（Ｓ（ｚ），Ｉ（ｚ））满足０＜Ｓ（ｚ）＜Ｓ－∞，０＜Ｉ（ｚ），Ｓ（＋∞）＝σ＜Ｓ（－∞）＝Ｓ－∞和Ｉ（±∞）＝０，其中σ＞０．同时
证明 由文献［１４］中定理２．１，可得式（５）存在一个解（Ｓ（ｚ），Ｉ（ｚ））且满足０＜Ｓ（ｚ）＜Ｓ－∞，０＜Ｉ（ｚ），Ｓ（＋∞）＝σ，Ｓ（－∞）＝Ｓ－∞和Ｉ（±∞）＝０．对任意的φ，υ∈Ｒ，有
因此
因此
正如文献［１４］中所描述的，只要Ｉ有界，下面的结果都成立．因此在这里只给出部分证明．
□
∫ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））ｄｚ＜＋∞，∫Ｉ（ｚ）ｄｚ＜＋∞．
Ｒ
Ｒ
φυ
φυ
＋∞－∞φυ
∫（Ｊ∗Ｓ（ｚ）－Ｓ（ｚ））ｄｚ＝
∫∫Ｊ（ｙ）［Ｓ（υ－ｙ）－Ｓ（υ）］ｄｙｄξ＝ －∫∫Ｊ（ｙ）ｙ∫Ｓ′（υ－ｔｙ）ｄｔｄｙｄξ＝
∫Ｊ（ｙ）ｙ∫［Ｓ（υ－ｔｙ）－Ｓ（φ－ｔｙ）］ｄｔｄｙ．
＋∞－∞
１０
＋∞－∞
１０
再对式（５）的第一个方程从υ到φ积分，可得
φυ
∫ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））ｄｚ＝
ｄ∫（Ｊ∗Ｓ（ｚ）－Ｓ（ｚ））ｄｚ＋ｃＳ（υ）－ｃＳ（φ）≤ｄＣ
φυ１
１
∫
φυ
（Ｊ∗Ｓ（ｚ）－Ｓ（ｚ））ｄｚ＜２Ｓ－∞
∫
＋∞－∞
Ｊ（ｙ）｜ｙ｜ｄｙ
Ｃ０．
０
＋２ｃＳ－∞．
又因Ｉ（ｚ）有界，所以存在实数Ｍ使得Ｉ（ｚ）≤Ｍ成立．对式（５）的第二个方程从ζ到η积分，有
γ
∫ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））ｄｚ＜＋∞．
Ｒ
∫
ηζ
Ｉ（ｚ）ｄｚ＝ｄ２Ｊ（ｙ）（－ｙ）
Ｒ
ηζ
∫ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））ｄｚ－ｃ（Ｉ（η）－Ｉ（ζ））．
∫∫［Ｉ（η－θｙ）－Ｉ（ζ－θｙ）］ｄθｄｙ＋
１０
（１５）
７２０张 秋 陈 广 生
因此
所以
γ
２ 临界波行波解的存在性
因为Ｉ（ｚ）在Ｒ上有界，所以，由式（５）的第二个方程可得｜Ｉ′（ｚ）｜＜＋∞且Ｉ（＋∞）＝０．最后，类似于文献［１４］，可得Ｓ（＋∞）＝σ，其中，σ＞０．因此，定理２成立．证毕．□
本节考察当ｃ＝ｃ∗和Ｒ０＞１时，系统（５）的行波解的存在性．为了证明当ｃ＝ｃ∗时的行波解
∫Ｉ（ｚ）ｄξ
Ｒ
∫Ｉ（ｚ）ｄｚ≤２ｄＭ∫Ｊ（ｙ）｜－ｙ｜ｄｙ＋∫ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））ｄｚ＋２ｃＭ．
ηζ
２
Ｒ
Ｒ
＜＋∞．
的存在性，取一列严格递减序列{ｃｋ}使得ｌｉｍｋ→＋∞ｃｋ＝ｃ∗．不失一般性，假设ｃｋ∈［ｃ∗，ｃ∗＋１］且（Ｓｋ，Ｉｋ）是式（５）的行波解．
引理５ {Ｉｋ}在Ｒ上一致有界．
证明 反证法．假设不成立，则存在一个序列{ｚｋ}使得当ｋ→＋∞时，有Ｉｋ（ｚｋ）→＋∞．由引理２可得，Ｓｋ（ｚｋ）→０．又因为对每一个ｋ，均有Ｉｋ（±∞）＝０和Ｉｋ（ｚ）有界．因此，假设Ｉｋ（ｚｋ）＝ｍａｘＲＩｋ（ｚ）．则Ｉ′＝０．因此ｋ（ｚｋ）
＝ ０＝ｃｋＩ′ｋ（ｚｋ） ｆ（Ｓｋ（ｚｋ））ｇ（Ｉｋ（ｚｋ－ｃτ））－γＩｋ（ｚｋ）．
这与足够大的ｋ矛盾，故{Ｉｋ}是一致有界的．证毕．
ｄ２Ｊ（ｙ）（Ｉｋ（ｚｋ－ｙ）－Ｉｋ（ｚｋ））ｄｙ＋ｆ（Ｓｋ（ｚｋ））ｇ（Ｉｋ（ｚｋ－ｃτ））－γＩｋ（ｚｋ）≤
Ｒ
∫
□
证明 因为ｃ∗＜ｃｋ＜ｃ∗＋１，所以０＜Ｓｋ（ｚ）＜Ｓ－∞和０＜Ｉｋ（ｚ）＜＋∞．并且，Ｓｋ（－∞）＝Ｓ－∞，Ｉｋ（±∞）＝０和Ｓｋ（＋∞）＝σ＜Ｓ－∞．又因为（Ｓｋ，Ｉｋ）满足
ì＝ｄ１Ｊ（ｙ）（Ｓｋ（ｚ－ｙ）－Ｓｋ（ｚ））ｄｙ－ｆ（Ｓｋ（ｚ））ｇ（Ｉｋ（ｚ－ｃｋτ）），ïｃｋＳ′ｋ（ｚ）
Ｒï
ï í＝ｄ２Ｊ（ｙ）（Ｉｋ（ｚ－ｙ）－Ｉｋ（ｚ））ｄｙ＋ｋ（ｚ）ïｃｋＩ′Ｒ
ïï ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））－γＩ（ｚ）．îｋｋｋｋ
对式（１６）的第二个方程在Ｒ上积分，可得
则
定理３ 假设Ｒ０＞１和ｃ＝ｃ∗．则方程（５）存在行波解（Ｓ∗（ｚ），Ｉ∗（ｚ））满足０＜Ｓ∗（ｚ）＜Ｓ－∞，Ｉ∗（ｚ）＞０，Ｓ∗（－∞）＝Ｓ－∞和Ｉ∗（±∞）＝０，其中σ≥０．
∫∫
（１６）
∫
＋∞－∞
（ｆ（Ｓｋ（ｚ））ｇ（Ｉｋ（ｚ－ｃｋτ））－γＩｋ（ｚ））ｄｚ＝０，
γＩｋ（ｚ）
， ∀ｋ∈Ｚ．
ｇ（Ｉｋ（ｚ－ｃｋτ））
因为｜Ｉ′ｋ／Ｉｋ｜≤Ｋ和条件（Ｈ１），因此
γＩｋ（ｚ）
＝ ｉｎｆｆ（Ｓｋ（ｚ））＜
ｚ∈Ｒｇ（Ｉｋ（ｚ－ｃｋτ））
Ｉｋ（ｚ）Ｉｋ（ｚ－ｃｋτ）１
γ≤γｅｃｋＫτ， ∀ｔ∈［０，Ｉｋ（ｚ－ｃｋτ）］．
Ｉｋ（ｚ－ｃｋτ）ｇ（Ｉｋ（ｚ－ｃｋτ））ｇ′（ｔ）
ｚ∈Ｒ
ｉｎｆｆ（Ｓｋ（ｚ））＜
一类具有非线性发生率与时滞的非局部扩散ＳＩＲ模型的临界波的存在性７２１
又因为Ｉｋ是一致有界的，所以存在一个常数Ｍ使得Ｉｋ（ｚ－ｃτ）＜Ｍ．所以
由条件（Ｈ１）可得ｆ（ｘ）是单调递增且ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）＞γ，则存在ｚｋ满足ｆ（Ｓｋ（ｚｋ））＝γｅｃｋＫτ（１／ｇ′（Ｍ））．经过平移，可得ｆ（Ｓｋ（０））＝γｅｃｋＫτ（１／ｇ′（Ｍ））．又因为０＜Ｓｋ＜Ｓ－∞且{Ｉｋ}Ｉｋ→Ｉ∗在Ｃ１ｌｏｃ（Ｒ）上成立且满足
以及
}有界．因此，根据Ａｒｚｅｌａ⁃Ａｓｃｏｌｉ定理，当ｋ→＋∞时，有Ｓｋ→Ｓ∗和是一致有界的，所以{Ｉ′ｋ
ì＝ｄ１Ｊ（ｙ）（Ｓ∗（ｚ－ｙ）－Ｓ∗（ｚ））ｄｙ－ｆ（Ｓ∗（ｚ））ｇ（Ｉ∗（ｚ－ｃτ）），ïｃ∗Ｓ′∗（ｚ）
Ｒï
ï
íｃＩ′（ｚ）＝ｄＪ（ｙ）（Ｉ（ｚ－ｙ）－Ｉ（ｚ））ｄｙ＋
２∗∗ï∗∗Ｒ
ïï ｆ（Ｓ（ｚ））ｇ（Ｉ（ｚ－ｃτ））－γＩ（ｚ），î∗∗∗
∗Ｋτ
ｚ∈Ｒ
ｉｎｆｆ（Ｓｋ（ｚ））＜γｅｃｋＫτ
１
．
ｇ′（Ｍ）
∫∫
（１７）
类似于ｃ＞ｃ∗，可得Ｉ∗（±∞）＝０．
ｆ（Ｓ∗（０））＝γｅｃ
１
， ０≤Ｓ∗≤Ｓ－∞，０≤Ｉ∗≤＋∞．ｇ′（Ｍ）
因此，式（１７）的第一个方程为Ｊ（ｙ）Ｓ∗（ｙ０－ｙ）ｄｙ＝０．所以，Ｓ∗≡０且ｆ（Ｓ∗）≡０．这与ｆ（Ｓｋ（０））矛盾．因此，Ｓ∗＞０．
Ｒ
＝０．首先，证明Ｓ∗＞０．反证法，假设存在常数ｙ０∈Ｒ使得Ｓ∗（ｙ０）＝０成立，则Ｓ′∗（ｙ０）
∫
明，可得Ｉ∗≡０．则式（１７）的第一个方程为
因为
记
Ｈ（ｖ）
ｄ１
其次，证明Ｉ∗＞０．反证法，假设存在ｙ∈Ｒ使得Ｉ∗（ｙ）＝０成立．类似于Ｓ∗（ｚ）＞０的证
＝ｄ１Ｊ（ｙ）（Ｓ∗（ｚ－ｙ）－Ｓ∗（ｚ））ｄｙ．ｃ∗Ｓ′∗（ｚ）
Ｒ
(∫Ｊ（ｙ）ｅ
Ｒ
ｖ＝０
∫
（１８）
－ｖｙ
ｄｙ－１－ｃ∗ｖ．
∗
)
因此，Ｈ（ｖ）＝０有两个实根０和ｖ０．由式（１８）、文献［１９］中性质３．６和Ｓ∗（ｚ）在Ｒ上有界，可得Ｓ∗（ｚ）≡Ｃ，其中Ｃ∈［０，Ｓ－∞］．因为ｆ（Ｓ∗（０））＝γｅｃγｅｃ
∗Ｋτ
∗Ｋτ
∂Ｈ
Ｈ（０）＝０，
∂ｖ
＝－ｃ
∂２Ｈ
＜０，２＝ｄ１Ｊ（ｙ）ｙ２ｅ－ｖｙｄｙ＞０，ｌｉｍＨ（ｖ）＝＋∞．
ｖ→＋∞Ｒ∂ｖ
∫
（１／ｇ′（Ｍ））．再者，因为ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（Ｍ）＞γｅｃ
ｆ（Ｓｋ（ｚ））＞ｆ（Ｓｋ（ρｋ））＝
ｆ（Ｓ－∞）＋γｅｃ
∗Ｋτ
∗Ｋτ
＞γ，所以，选择ρｋ＜０使得
（１／ｇ′（Ｍ）），因此ｆ（Ｃ）≡
成立．
ｆ（Ｓ－∞）＋γｅｃ
∗Ｋτ
２
（１／ｇ′（Ｍ））
２
（１／ｇ′（Ｍ））
， ∀ξ＜ρｋ，
义两个函数；
接下来，证明存在一个正常数Ｔ０使得ρｋ≥－Ｔ０．反证法，当ｋ→＋∞时，有ρｋ→＋∞．定
７２２张 秋 陈 广 生
Ｉｋ（ρｋ）
则对每一个ｋ∈Ｎ，有（Ｕｋ（ｚ），Ｖｋ（ｚ））满足
Ｕｋ（ｚ）＝Ｓｋ（ρｋ＋ｚ），Ｖｋ（ｚ）＝
Ｉｋ（ρｋ＋ｚ）
， ∀ｚ∈Ｒ．
因为
ì＝ｄ１Ｊ（ｙ）（Ｕｋ（ｚ－ｙ）－Ｕｋ（ｚ））ｄｙ－ｆ（Ｕｋ（ｚ））ｇ（Ｉｋ（ρｋ＋ｚ－ｃτ）），ïｃｋＵ′ｋ（ｚ）
Ｒï
ïïｃＶ′（ｚ）＝ｄＪ（ｙ）（Ｖ（ｚ－ｙ）－Ｖ（ｚ））ｄｙ－
２ｋｋ（１９）íｋｋ
Ｒ
ï
ｇ（Ｉｋ（ｚ＋ρｋ－ｃτ））ï
－γＶｋ（ｚ）．ï ｆ（Ｕｋ（ｚ））
Ｉｋ（ρｋ）î
Ｉｋ（ρｋ）
＝
ｇ（Ｉｋ（ｚ＋ρｋ－ｃτ））Ｉｋ（ｚ＋ρｋ－ｃτ）
Ｕｋ（ｚ－ｃτ）＝ｇ′（ｔ１）Ｕｋ（ｚ－ｃτ），
∫∫
ｇ（Ｉｋ（ｚ＋ρｋ－ｃτ））
则式（１９）的第二个方程为
又因为
∀ｔ１∈［０，Ｉｋ（ｚ＋ρｋ－ｃτ）］，
＝ｄ２Ｊ（ｙ）（Ｖｋ（ｚ－ｙ）－Ｖｋ（ｚ））ｄｙ－ｆ（Ｕｋ（ｚ））ｇ′（ｔ１）Ｖｋ（ｚ－ｃτ）－γＶｋ（ｚ）．ｃｋＶ′ｋ（ｚ）
Ｒ
æｚ＋ρｋＩ′öｋ（ｘ）＝ ｅｘｐçｄｘ÷，Ｉｋ（ρｋ）èρｋＩｋ（ｘ）ø
则Ｖｋ（ｚ）在Ｒ上局部一致有界．又因为对所有的ｋ∈Ｎ，均有Ｕｋ（ｚ）＜Ｓ－∞．因此，当ｋ→＋∞
Ｖｋ（ｚ）＝
Ｉｋ（ｚ＋ρｋ）
∫
∫
１
时，有Ｕｋ（ｚ）→Ｕ＋∞（ｚ）和Ｖｋ（ｚ）→Ｖ＋∞（ｚ），其中Ｕ＋∞（ｚ）∈Ｃ１ｌｏｃ（Ｒ），Ｖ＋∞（ｚ）∈Ｃｌｏｃ（Ｒ）．因为ｌｉｍｋ→＋∞Ｉｋ（ρｋ）＝０，所以（Ｕ＋∞（ｚ），Ｖ＋∞（ｚ））满足
ｃ∗Ｕ′＋∞（ｚ）＝ｄ１Ｊ（ｙ）（Ｕ＋∞（ｚ－ｙ）－Ｕ＋∞（ｚ））ｄｙ，
Ｒ
Ｃ１是任意常数．因为
所以
ｆ（Ｕ＋∞（ｚ））ｇ′（０）Ｖ＋∞（ｚ－ｃτ）－γＶ＋∞（ｚ）．（２１）类似地，由文献［１９］中性质３．６、式（１９）和Ｕ＋∞（ｚ）有界，可得Ｕ＋∞（ｚ）≡Ｃ１成立，其中
ｆ（Ｕｋ（０））＝ｆ（Ｓｋ（ρｋ））＝ｆ（Ｕ＋∞（ｚ））＝
ｆ（Ｓ－∞）＋ｅｃ
∗Ｋτ
∗Ｋτ
ｃ∗Ｖ′＋∞
∫（ｚ）＝ｄ∫Ｊ（ｙ）（Ｖ
２Ｒ
（２０）
＋∞
（ｚ－ｙ）－Ｖ＋∞（ｚ））ｄｙ＋
２
（γ／ｇ′（Ｍ））
．
２
将ｆ（Ｕ＋∞（ｚ））代入到方程（２１），整理得
ｆ（Ｓ－∞）＋ｅｃ
ｆ（Ｓ－∞）＋ｅｃ（γ／ｇ′（Ｍ））
．
ｃ∗Ｖ′＋∞（ｚ）＝ｄ２Ｊ（ｙ）（Ｖ＋∞（ｚ－ｙ）－Ｖ＋∞（ｚ））ｄｙ＋
Ｒ
∗Ｋτ
令
∫
２
（γ／ｇ′（Ｍ））
ｇ′（０）Ｖ＋∞（ｚ－ｃ∗τ）－γＶ＋∞（ｚ）．
Ｑ（χ）ｄ２
(∫Ｊ（ｙ）ｅ
Ｒ
－χｙ
ｄｙ－１－ｃ∗χ＋
)
一类具有非线性发生率与时滞的非局部扩散ＳＩＲ模型的临界波的存在性７２３
因为Ｓｋ（－∞）＝Ｓ－∞和引理４，因此，由式（５）的第二个方程可得
Ｉ′ｋ（ｚ）
ψｋｌｉｍ
ｚ→－∞Ｉ（ｚ）ｋ存在且是方程
ｄ２Ｊ（ｙ）ｅ－ψｙｄｙ－ｃ∗ψ＋ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）ｅ－ｃ
Ｒ
ｆ（Ｓ－∞）＋ｅｃ
∗Ｋτ
２
（γ／ｇ′（Ｍ））
ｇ′（０）ｅ－
χｃ∗τ
－γ．
的一个特征根{ψ±}，则当ｋ→＋∞时，ψ±→ψ∗且满足
ｄ２Ｊ（ｙ）ｅ－ψｙｄｙ－ｃ∗ψ＋ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）ｅ－ｃ
Ｒ
∫∫
∗ψτ
－γ＝０
∗ψτ
－γ＝０．（２２）
因此
ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）ｅ－ψｃτ－ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）ｅ－ψｃτ＝０．
所以Ｑ（χ）＝０有两个根χ１，χ２，且０＜χ１＜χ２．类似地，再由文献［１９］中性质３．６和式（２１），
∗∗
∗∗
γ－（ｆ（Ｓ－∞）ｇ′（０）ｅ－ψ
Ｑ（ψ）＝
∗
ｆ（Ｓ－∞）＋ｅｃ
∗Ｋτ
２
（γ／ｇ′（Ｍ））
∗ｃ∗τ
ｇ′（０）ｅ－ψ
∗ｃ∗τ
－
－γ）≤
可得
Ｖ＋∞（ｚ）＝Ｔ３ｅ１＋Ｔ４ｅ２，
其中Ｔｊ（ｊ＝３，４）是常数．
另一方面，当ｋ→＋∞时，有
χ
χ
（２３）
Ｖｋ（ｚ）＝
∗ｚ
Ｉｋ（ρｋ＋ｚ）Ｉｋ（ρｋ）
ｋ
＝ｅ∫ρｋ
ρ＋ｚ
（Ｉ′ｋ（ｓ）／Ｉｋ（ｓ））ｄｓ
则Ｖ＋∞（ｚ）＝ｅψ成立．因此
．因为χ１＜ψ∗＜χ２，这与式（２２）矛盾．所以，存在一个Ｔ０＞０使得ρｋ≥－Ｔ０
ｆ（Ｓ－∞）＋ｅｃ
⇒
２∗
ｆ（Ｓ－∞）＋ｅｃＫτγ（１／ｇ′（Ｍ））
２
∗Ｋτ
→ｅ
ψ∗ｚ
，
ｆ（Ｓｋ（－Ｔ０））＞
γ（１／ｇ′（Ｍ））
这与ｆ（Ｓｋ（ｚ））≡ｅｃ＝０且Ｓ∗（）满足
ｆ（Ｓ∗（－Ｔ０））≥
∗Ｋτ
．
使得Ｓ∗（）＝Ｓ－∞．从而，Ｓ′）∗（
－ｃτ））≤
接下来，可证Ｓ∗（ｚ）＜Ｓ－∞在Ｒ上成立．假设存在实数 ０＝ｃ∗Ｓ′）＝ｄ１Ｊ（ｙ）（Ｓ∗（∗（
－ｆ（Ｓ∗（））ｇ（Ｉ∗（
Ｒ
γ（１／ｇ′（Ｍ））矛盾．因此，可得Ｉ∗（ξ）＞０．
∫
这与Ｉ∗＞０矛盾．
－ｃτ））．
－ｙ）－Ｓ∗（））ｄｙ－ｆ（Ｓ∗（））ｇ（Ｉ∗（
最后，证明Ｓ∗（－∞）＝Ｓ－∞．尽管证明的思想与文献［１７］中给定的相似，但为了文章的
完整性还是给出详细的证明．设＝ｌｉｍｉｎｆｘ→－∞Ｓ∗（ｘ）＝Ｓ－∞．反证法，假设＜Ｓ－∞，则存在点
＋∞
列{ηｎ}ｎ成立．定义函数：＝１使得ｌｉｍｎ→＋∞ηｎ＝－∞和ｌｉｍｎ→＋∞Ｓ∗（ηｎ）＝
ϕｎ（ｘ）Ｓ∗（ｘ＋θｎ），ψｎ（ｘ）Ｉ∗（ｘ＋θｎ）， ｘ∈Ｒ．
７２４张 秋 陈 广 生
因此，当ｎ→＋∞时，ψｎ（ｘ）→０．提取子序列（仍然用{θｎ}表示），当ｎ→＋∞时，ｌｉｍｎ→＋∞θｎ＝－∞且ϕｎ→ϕ＋∞，其中ϕ＋∞∈Ｃ１
ｌｏｃ（Ｒ）．因此ϕ＋∞满足所以，ϕ＋∞≡．因此
ｌｉｍＳ∗（ｘ＋θｎ）＝．
ｎ→＋∞
ｃ∗ϕ′＋∞（ｚ）＝ｄ１Ｊ（ｙ）（ϕ＋∞（ｚ－ｙ）－ϕ＋∞（ｚ））ｄｙ．
Ｒ
∫
又因为（ｃｋ，Ｓｋ，Ｉｋ）是系统（１６）的行波解，所以
（２４）（２５）
对式（１９）的第一个方程从－∞到θｎ积分，可得
＝ｄ１Ｊ（ｙ）（Ｓｋ（ｚ－ｙ）－Ｓｋ（ｚ））ｄｙ－ｆ（Ｓｋ（ｚ））ｇ（Ｉｋ（ｚ－ｃτ））．ｃｋＳ′ｋ（ｚ）
Ｒ
∫
ｃθｎ
ｋ［Ｓ∫
ｋ（θｎ）－σ］＝ｄ１
－
θ∞
Ｒ
ｋ
ｚ－ｙ）－Ｓｋ
（ｚ））ｄｙｄｚ－
ｎ
－∞
ｆ（Ｓｋ（ｚ））ｇ（Ｉｋ（∫ｚ－∫Ｊ（ｙ）（Ｓ（ｃτ））ｄｚ，
其中ｎ∈Ｎ∫．又因为θｎ－∞
∫ＳｋＲ
Ｊ（ｙ）（Ｓ（ｋ
（－ｚ∞－）ｙ）＝Ｓ－∞且Ｊ（ｘ）＝Ｊ（－ｘ），可得
－Ｓｋ
θ（ｚ））ｄｙｄｚ＝
ｎ
Ｒ
－∞
ｋ
ｋ
∫Ｊ（ｙ）∫（Ｓ（θｚ－ｙ）－Ｓ（ｚ））ｄｚｄｙ＝ ｎ
１ ∫∫Ｒ
Ｊ（ｙ）（－ｙ）Ｊ（ｙ）（－ｙ）∫∫Ｓ′（ｚ－ｔｙ）ｄｔｄｚｄｙ＝
１∫１－∞
［Ｓ′０
ｋ
Ｒ
０ｋ
（θｎ
－ｔｙ）－Ｓ－∞
］ｄｔｄｙ＝ 因此，对ｋ取极限∫Ｒ
Ｊ（ｙ）ｙ，有
∫０
Ｓｋ
（θｎ
＋ｔｙ）ｄｔｄｙ．
ｃ∗
［Ｓ∗（θｎ）－Ｓ－∞］＝ｄ１Ｊ（ｙ）ｙ１∫
Ｒ
Ｓ∗θ（θｎ＋ｔｙ）ｄｔｄｙ－
ｎ
∫
０
－∞
ｆ（Ｓ∗因为Ｓ∗，Ｉ∗均有界且∫
（ｚ））ｇ（Ｉ∗（ｚ∫
－ｃτ））ｄｚ．
ｆ（Ｓ∗（ｚ））ｇ（因此 Ｉ∗（ｚ－ｃτ））ｄｚ＜＋∞．则对ｎ取极限，有，Ｓ ３ 应∗（０－＞ｃ∗
［－Ｒ
∞）＝Ｓ－Ｓ－∞］≥０．∞．证毕．
这一节主要通过具体的生物模型进一步验证临界波的存在性用实例
．在系统（５）中，令ｆ（Ｓ）＝Ｓ，ｇ（Ｉ）＝βＩ／（１＋αＩ），则
ｆ（Ｓ（ｘ，ｔ））ｇ（Ｉ（ｘ，ｔ－τ））＝βＳ（ｘ，ｔ）Ｉ（ｘ，ｔ－τ）
那么，系统（５）就变为如下具有非线性发生率的时滞反应扩散方程１＋αＩ（ｘ，ｔ－τ）
，
ìï ï
ｃＳ′（ｚ）＝ｄí
１（Ｊ∗Ｓ（ｚ）－Ｓ（ｚ））－βＳ（ｚ）Ｉ（ｚ－ｃτ）：
ï１＋αＩ（，ïî
ｃＩ′（ｚ）＝ｄ２（Ｊ∗Ｉ（ｚ）－Ｉ（ｚ））＋βＳ（ｚ）１＋Ｉ（αＩｚ（－ｚｃτｚ－－）ｃτ）ｃτ）－γＩ（ｚ），□
（２６）
一类具有非线性发生率与时滞的非局部扩散ＳＩＲ模型的临界波的存在性７２５
其中β＞０表示感染率，γ表示恢复率，对于系统（２６），条件（Ｈ１）和（Ｈ２）显然成立．边界条件：（Ｓ（－∞），Ｉ（－∞））＝（Ｓ－∞，０）是初始无病平衡点，（Ｓ（＋∞），Ｉ（＋∞））＝（Ｓ＋∞，０）是某一个无病平衡点，且Ｓ（＋∞）为任意实数．显然，系统（２６）是在文献［２０］的基础上考虑到霍乱具有潜伏期且易感者与感染者的活动可能是非局部的因素下建立的模型．
对系统（２６）的第二个方程在初始无病平衡点线性化，则特征方程为
ｃλ＝ｄ２
显然，给定βＳ－∞＞γ，则系统（２６）的最小传播速度为
ｃ∗
ｉｎｆｄ２
∫
＋∞－∞
Ｊ（ｙ）ｅ－λｙｄｙ－ｄ２＋βＳ－∞ｅ－λｃτ－γ．
＋∞－∞
λ＞０
∫
Ｊ（ｙ）ｅ－λｙｄｙ－ｄ２＋βＳ－∞ｅ－λｃτ－γ
λ
．
因为ｇ′（Ｉ）＝β／（１＋αＩ）２，所以ｇ′（Ｉ）＞０且ｇ′（０）＝β．又Ｓ（ｚ）≤Ｓ－∞，因此ｆ（Ｓ（ｚ））≤Ｓ－∞，则由系统的（２６）的第二个方程可得
ｄ２Ｉ′≤Ｉｃ
所以引理１成立．由此可知引理２、引理３和引理４都成立，则Ｉ（ｚ）是有界的，所以定理１成立．因此，类似于文献［１４］的方法，易得当波速ｃ＞ｃ∗时，系统（２６）存在满足边界条件的行波解，所以定理２成立．
存在满足边界条件的行波解．不失一般性，假设ｃｋ∈［ｃ∗，ｃ∗＋１］且（Ｓｋ，Ｉｋ）是系统（２６）的行波解．则（Ｓｋ，Ｉｋ）满足下面的模型：
其中
Ｉｋ（ｚ－ｃｋτ）ìïｃＳ′（ｚ）＝ｄ（Ｊ∗Ｓ（ｚ）－Ｓ（ｚ））－βＳ（ｚ），ｋｋ１ｋｋｋï１＋αＩｋ（ｚ－ｃｋτ）ïí
Ｉｋ（ｚ－ｃｋτ）ï
＝－＋－γＩｋ（ｚ），ｃＩ′（ｚ）ｄ（Ｊ∗Ｉ（ｚ）Ｉ（ｚ））βＳ（ｚ）２ｋｋｋïｋｋ
＋－１αＩ（ｚｃτ）îｋｋ
任意选取一列严格递减序列{ｃｋ}使得ｌｉｍｋ→＋∞ｃｋ＝ｃ∗．由于当波速ｃ＞ｃ∗时，系统（２６）
∫
ｄ２＋γｅｘｐ（τ（ｄ２＋γ））Ｉ（ｚ－ｙ）
＋＋Ｊ（ｙ）ｄｙβＳ－∞，
Ｉ（ｚ）ｃｃＲ
（２７）
成立，因而{Ｉｋ}是一致有界的，即总可以找到一个Ｍ＞０使得Ｉｋ≤Ｍ．又因为Ｉｋ有界，则由系统（２７）的第二个方程可得，｜Ｉ′ｋ／Ｉｋ｜有界，则存在一个常数Ｋ＞０使得｜Ｉ′ｋ／Ｉｋ｜≤Ｋ．的行波解，即定理３对于模型（２６）依然成立．
因此由理论结果可知，当Ｒ０＞（１＋αＭ）２ｅｃ
∗Ｋτ
又因为引理２和定理１成立，所以对每一个ｋ，都有Ｉｋ有界且Ｉｋ（±∞）＝０，则证得引理５
（Ｓｋ（－∞），Ｉｋ（－∞））＝（Ｓ－∞，０），（Ｓｋ，Ｉｋ）（＋∞）＝（Ｓ＋∞，０）．
且ｃ＝ｃ∗时，系统（２６）存在满足边界条件
４ 总 结
本文研究了一类具有非线性发生率与时滞的非局部扩散ＳＩＲ模型的临界波的存在性，文
∗
献［１４⁃１５］中没有讨论当ｃ＝ｃ∗时，系统（５）的行波解是否存在．受到文献［１７⁃１８］的启发，本文证明了系统（５）在Ｒ０＞ｇ′（０）ｅｃＫτ／ｇ′（Ｍ）和ｃ＝ｃ∗时，存在行波解．而对于１＜Ｒ０≤ｇ′（０）ｅｃＫτ／ｇ′（Ｍ）和ｃ＝ｃ∗，同样认为其是临界波存在的条件，这将是笔者下一步需要研究
∗
的问题．
７２６张 秋 陈 广 生
参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：
［１］ ［２］ ［３］ ［４］ ［５］ ［６］ ［７］ ［８］ ［９］
ＶＡＮＤＥＮＤＲＩＥＳＳＣＨＥＰ，ＷＡＴＭＯＵＧＨＪ．Ｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｓｕｂ⁃ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｅｎｄｅｍｉｃ２００２，１８０（１／２）：２９⁃４８．１９６９⁃１９９３．
ｅｑｕｉｌｉｂｒｉａｆｏｒｃｏｍｐａｒｔｍｅｎｔａｌｍｏｄｅｌｓｏｆｄｉｓｅａｓｅｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ［Ｊ］．ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＢｉｏｓｃｉｅｎｃｅｓ，ＹＡＮＧＦＹ，ＬＩＹ，ＬＩＷＴ，ｅｔａｌ．ＴｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｉｎａｎｏｎｌｏｃａｌｄｉｓｐｅｒｓａｌＫｅｒｍａｃｋ⁃ＭｃＫｅｎｄｒｉｃｋ
ｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌ［Ｊ］．ＤｉｓｃｒｅｔｅａｎｄＣｏｎｔｉｎｕｏｕｓＤｙｎａｍｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓ（ＳｅｒｉｅｓＢ），２０１３，１８（７）：
ＷＡＮＧＨＹ．Ｓｐｒｅａｄｉｎｇｓｐｅｅｄｓａｎｄｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｆｏｒｎｏｎ⁃ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅｒｅａｃｔｉｏｎ⁃ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｓｙｓ⁃ｔｅｍｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｉｅｎｃｅ，２０１１，２１（５）：７４７⁃７８３．
ＷＡＮＧＨＹ，ＷＡＮＧＸＳ．ＴｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｐｈｅｎｏｍｅｎａｉｎａＫｅｒｍａｃｋ⁃ＭｃｋｅｎｄｒｉｃｋＳＩＲｍｏｄｅｌ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓ＆ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，２０１６，２８（１）：１４３⁃１６６．
ＷＡＮＧＪＢ，ＬＩＷＴ，ＹＡＮＧＦＹ．ＴｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｉｎａｎｏｎｌｏｃａｌｄｉｓｐｅｒｓａｌＳＩＲｍｏｄｅｌｗｉｔｈｎｏｎ⁃ｔｉｏｎｓ，２０１５，２７（１／３）：１３６⁃１５２．
ＦＵＳＣ，ＧＵＯＪＳ，ＷＵＣＣ．Ｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒａｄｉｓｃｒｅｔｅｄｉｆｆｕｓｉｖｅｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｎｌｉｎｅａｒａｎｄＣｏｎｖｅｘＡｎａｌｙｓｉｓ，２０１６，１７（９）：１７３９⁃１７５１．
ＺＨＡＮＧＴＲ，ＷＡＮＧＷＤ，ＷＡＮＧＫＦ．Ｍｉｎｉｍａｌｗａｖｅｓｐｅｅｄｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎ⁃ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅｄｉｆ⁃ｆｕｓｉｏｎ⁃ｒｅａｃｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，２０１６，２６０（３）：２７６３⁃２７９１．ＷＡＮＧＸＳ，ＷＡＮＧＨＹ，ＷＵＪＨ．Ｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｆｄｉｆｆｕｓｉｖｅｐｒｅｄａｔｏｒ⁃ｐｒｅｙｓｙｓｔｅｍｓ：ｄｉｓｅａｓｅｏｕｔｂｒｅａｋｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ＆ＣｏｎｔｉｎｕｏｕｓＤｙｎａｍｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓ，２０１７，３２（９）：３３０３⁃３３２４．
ＬＩＹ，ＬＩＷＴ，ＹＡＮＧＦＹ．ＴｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｆｏｒａｎｏｎｌｏｃａｌｄｉｓｐｅｒｓａｌＳＩＲｍｏｄｅｌｗｉｔｈｄｅｌａｙａｎｄｅｘｔｅｒｎａｌｓｕｐｐｌｉｅｓ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０１４，２４７：７２３⁃７４０．ｎｉｃａｔｉｏｎｓｏｎＰｕｒｅ＆ＡｐｐｌｉｅｄＡｎａｌｙｓｉｓ，２０１５，１４（３）：１００１⁃１０２２．
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一类具有非线性发生率与时滞的非局部扩散ＳＩＲ模型的临界波的存在性
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７２７
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ｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｅｇｅｎｅｒａｔｅｍｏｎｏｓｔａｂｌｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，
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ＥｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆＣｒｉｔｉｃａｌＴｒａｖｅｌｉｎｇＷａｖｅｓｆｏｒＮｏｎｌｏｃａｌ
ＤｉｓｐｅｒｓａｌＳＩＲＭｏｄｅｌｓＷｉｔｈＤｅｌａｙａｎｄ
ＮｏｎｌｉｎｅａｒＩｎｃｉｄｅｎｃｅ
（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＸｉｄｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，
Ｘｉ’ａｎ７１００７１，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ；
２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＧｕａｎｇｘｉＳｃｉｅｎｃｅ＆
ＺＨＡＮＧＱｉｕ１， ＣＨＥＮＧｕａｎｇｓｈｅｎｇ１，２
ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｉｂｉｎ，Ｇｕａｎｇｘｉ５４６１９９，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｎｏｎｌｏｃａｌｄｉｓｐｅｒｓａｌＳＩＲｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｓｗｉｔｈｄｅｌａｙｗａｓｓｔｕｄｉｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓｏｆＩｗａｓｐｒｏｖｅｄｂｙｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎａｃ⁃ｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓｏｆＩ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｗｉｔｈｃ＞ｃ∗ｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｒｏｕｇｈｆｕｒｔｈｅｒａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｗｉｔｈｓｕｐｅｒ⁃ｃｒｉｔｉｃａｌｓｐｅｅｄｓ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｗｉｔｈｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌｓｐｅｅｄｗａｓｄｅｒｉｖｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｂａｓｉｃｒｅｐｒｏｄｕｃ⁃ｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒＲ０ｏｎｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｃ＞ｃ∗ｗａｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．
ｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒ
Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｉｔｅｍ：ＴｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａ（ＧｅｎｅｒａｌＰｒｏｇｒａｍ）
（１１６７１３１５）
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｃｒｉｔｉｃａｌｗａｖｅｓｐｅｅｄ；ｎｏｎｌｏｃａｌｄｉｓｐｅｒｓａｌ；ｂａｓｉｃｒｅｐｒｏｄｕｃ⁃
张秋，陈广生．一类具有非线性发生率与时滞的非局部扩散ＳＩＲ模型的临界波的存在性［Ｊ］．应用数学
和力学，２０１９，４０（７）：７１３⁃７２７．
ＺＨＡＮＧＱｉｕ，ＣＨＥＮＧｕａｎｇｓｈｅｎｇ．ＥｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｃｒｉｔｉｃａｌｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｆｏｒｎｏｎｌｏｃａｌｄｉｓｐｅｒｓａｌＳＩＲ７１３⁃７２７．
ｍｏｄｅｌｓｗｉｔｈｄｅｌａｙａｎｄｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｎｃｉｄｅｎｃｅ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ，２０１９，４０（７）：
引用本文／Ｃｉｔｅｔｈｉｓｐａｐｅｒ：
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