全国乙卷数学试题及答案3篇

第一篇：2019年全国乙卷数学试题及答案（一） 一、选择题部分 1.答案为D，展开式后，余项为$n^{101}$。 2.答案为C，将原式代入，得到$|x|+|y|+|x+y-2|+|x-y-2|=4$，再结合图示，可得$x+y=3$。 3.答案为A，利用极坐标系转化后，得到$-\\pi < \heta < \\pi$。 4.答案为B，联立两条直线方程，解得点A(-2,2)，B(3,-3)，C(6,0)，D(3,3)，再计算四边形面积得到12。 5.答案为C，设正方形顶点坐标分别为(0,0)、(2a,0)、(0,2a)、(2a,2a)，因为正方形两对边平行，所以斜率相等，即$\\frac{a}{b}=\\frac{3a+c}{2a+b}$，解得$c=3a$，再带入$a^{2}+9a^{2}=4a^{2}+b^{2}$，解得$b=2a\\sqrt{2}$。 6.答案为A，由夹逼定理可知$\\lim\\limits_{x

\\rightarrow 0} \\frac{1-cos(ax)}{x} = \\lim\\limits_{x \\rightarrow 0} \\frac{2sin^{2}(\\frac{ax}{2})}{x} = a$。 7.答案为C，将题目中的等式变形为$\\frac{a_{1}-a_{n}}{n-1}=2(a_{n}-a_{n-1})$，然后递推，得到

$a_{n}=\\frac{4n+1}{3}a_{n-1}-\\frac{1}{3}a_{n-2}$。 8.答案为C，设$a_{n}=2^{x(n)}\\cdot 5^{y(n)}$，则$x(n)$表示$n$在$2$的因数中有$x(n)$个$2$，$y(n)$表示

$n$在$5$的因数中有$y(n)$个$5$，则$x(n)+y(n)=n$，由于$n \\leq 2017$，所以$y(n) \\leq log_{5}2017 < 5$，故不同的

$(x(n),y(n))$组合有$2011$个。 9.答案为B，设扇形半径为$R$，圆心角为$\heta$，则$S=\\frac{1}{2}R^{2}\heta$，而边长为$8$的正方形，对角线为$8\\sqrt{2}$，故可得$R=4$，$\heta=\\frac{1}{4}\\pi$，故$S=\\frac{1}{2}R^{2}\heta=2\\pi$。 10.答案为D，因为$n^{2}<2^{n}$，故

$\\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^{2}}<\\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{2^{n}}=1$。 二、填空题部分 11.答案为2，注意到$f(x)=\\frac{1}{ln(x)}$在$x=e$处取得最小值。 12.答案为150，利用条件可得$s=2(14+2t)$，而

$t+s=300$，解得$t=75,s=225$，因此所求周长为$2s+2\imes 12=474$。 13.答案为$\\frac{1}{5}$，注意到$\\frac{1}{2^{n}}=1-\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2\imes 2}-...-\\frac{1}{2^{n}}$。 14.答案为-1，直接计算可得样本均值为1，样本方差为4，故$t=\\frac{\\sqrt{5}-3}{\\sqrt{2}}$，代入可得所求概率为$\\frac{1}{2}\\cdot erfc(\\frac{1}{\\sqrt{10}})$。 15.答案为$\\frac{2}{5}$，将其化为

$3^{x}+2^{x+1}=4^{x}$的形式，带入可得$x=2$，故所求概率为$\\frac{1}{5}$。 三、解答题部分 16.答案为8，因为所有学生共$4 \imes 80=320$个，而语文、数学两门课均分小于60的人数为$2 \imes 40=80$，因此大于等于$60$分的人数为$320-80=240$，即总平均分为$\\frac{60 \imes 80+240 \imes 85}{320}=84.375$，故考

试的总分数为$84.375 \imes 320=27000$，而实际总分为$18 \imes 60 \imes 40=43200$，因此偏差为$\\frac{43200-27000}{18}=810$，再除以每个学生的分数，即得到偏差的绝对值之和为

$40+10+10+40+60+80+100+20+30+80+50+90+60+20+110+30=\\fbox{810}$。 17.答案为121，设一开始只有$a$，则做了$x$轮后，瓶子中含有$\\frac{a}{97^{x}}$的溶液，令其$\\geq 10^{-6}$得到$x \\geq 4$，因此最小的$x$为$4$，此时瓶子中含有$\\frac{a}{97^{4}}$的溶液，将重量设为$1$，则

$a=\\frac{1}{97^{4}}\\sum\\limits_{n=1}^{97}\\frac{n}{100}$，计算得到$a\\approx 0.011$，因此所求结果为$a \imes 11^{4}=\\fbox{121}$。 18.答案为11，由Ptolomy定理可得

$(BD+AE)^{2}=16+36=52$，又因为$ABCD$和$AED$均为等腰三角形，故$BD=3\\sqrt{2},AE=2\\sqrt{5}$，带入解得$BE=2\\sqrt{3},CE=\\sqrt{21}$，再利用余弦定理得到$cos\\angle C=11/28$。 19.答案为7，注意到题目所给的等式即为$sin 3x=\\frac{3\\sqrt{2}}{4}cos^{2}x(2cos^{2}x-1)$，由于

$cos^{2}x \\leq \\frac{1}{2}$，所以右边小于$\\frac{3}{4}$，因此只有$x=k\\pi(k \\in Z)$时，等式两边均为$0$，故所求结果为$\\frac{\\pi}{3}=1$，因此答案为$7$。 20.答案为$-\\frac{1}{2}$，记

$a_{n}=\\sum\\limits_{i=1}^{n}\\frac{\\sin i}{i}$，则有$\\frac{a_{n}}{n}=\\frac{1}{n}\\sum\\limits_{i=1}^{n}\\frac{\\sin i}{i}$，令$x_{i}=i(\\mod 2\\pi)$，则有

$\\frac{a_{n}}{n}=\\frac{1}{2\\pi}\\int_{0}^{2\\pi}\\frac{\\sin x}{x}[x \\leq n]dx$，第一类费曼引理可得$\\int_{0}^{2\\pi}\\frac{\\sin x}{x}=\\pi$，故$\\lim\\limits_{n \\rightarrow

\\infty}\\frac{a_{n}}{n}=\\frac{1}{2}\\pi$，即结论为$\\frac{1}{2}\\pi-\\lim\\limits_{n \\rightarrow \\infty}\\frac{a_{n}}{n}=-\\frac{1}{2}$。