怀柔区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当x∈（﹣A．
D．
n*x
）时，f（x）=e+sinx，则（ ）
，
B．
3 C．
2． 二项式(x+1)(n?N)的展开式中x项的系数为10，则n=（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．
3． 已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3， =k﹣4，与垂直，k的值为（ ） A．﹣6
B．6
C．3
D．﹣3
4． 若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=1﹣x，则方程f（x）=log8|x|在[﹣10，10]内的根的个数为（ ） A．12
B．10
C．9
D．8
5． 在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（ ） A．120° B．60° C．45° D．30° 6． 已知点P（1，﹣A．
），则它的极坐标是（ ） B．
C．
D．
7． 等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a6=（ ） A．6
B．9
C．36
C．
D．72
+
+
=，且|
|=|
|，
在
方向上的投影为（ ）
D．3
8． △ABC的外接圆圆心为O，半径为2，A．﹣3 B．﹣
9． 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ） A．
10．已知椭圆C：
+y2=1，点M1，M2…，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）
B．
C．
D．
的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（ ）A．﹣
B．﹣
C．
D．﹣
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11．设Sn是等比数列{an}的前项和，S45S2，则此数列的公比q（ ）
A．-2或-1 B．1或2 C.1或2 D．2或-1
f(x5)x2x12．已知函数f(x)e2x2，则f(2016)（ ）
f(x)x2A．e B．e C．1 D．
21 e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
二、填空题
x13．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数fxe2的底数，则不等式fx2fx40的解集为________．
1，其中e为自然对数ex14．已知命题p：实数m满足m2+12a2＜7am（a＞0），命题q：实数m满足方程在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为 ．
+
=1表示的焦点
15．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h__________.
16．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是 ．
17．设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为 ．
18．记等比数列{an}的前n项积为Πn，若a4•a5=2，则Π8= ．
三、解答题
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc． （Ⅰ）求A的大小；
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（Ⅱ）如果cosB=
，b=2，求a的值．
20．已知函数f（x）=
sinωxcosωx﹣cos2ωx+（ω＞0）经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象
0 0 ，
]上的值域； ）=1，b+c=4，a=
，求△ABC的面
时，列表并填入的部分数据如下表： x ① π f（x） 0 1 π ﹣1 （Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f（x）在区间[﹣
（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（A+积．
21．已知f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行． （1）求函数的单调区间；
（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1﹣4c2恒成立，求实数c的取值范围．
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22．已知f（x）=|﹣x|﹣|+x|
2
（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a﹣3a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范围．
23．（本题满分14分）已知函数f(x)xalnx.
（1）若f(x)在[3,5]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；
（2）记g(x)f(x)(2a)lnx2(b1)x，并设x1,x2(x1x2)是函数g(x)的两个极值点，若b求g(x1)g(x2)的最小值.
24．在等比数列{an}中，a1a2a3=27，a2+a4=30试求： （1）a1和公比q；
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27， 2
（2）前6项的和S6．
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怀柔区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：由f（x）=f（π﹣x）知， ∴f（
）=f（π﹣
，＜
）=f（
），
∵当x∈（﹣∵∴f（∴f（
＜
＜）＜f（
x
）时，f（x）=e+sinx为增函数
， ）＜f（）＜f（
）， ），
）＜f（
故选：D
2． 【答案】B
3n=5，故选A． 【解析】因为(x+1)(n?N)的展开式中x项系数是C3n，所以Cn=10，解得
n*33． 【答案】B
【解析】解：∵ =（2+3）（k﹣4） =2k又∵故选B
+（3k﹣8）
﹣12
=0，
=0．∴2k﹣12=0，k=6．
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的
4． 【答案】D
【解析】解：∵函数y=f（x）为 偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x）， ∴偶函数y=f（x） 为周期为4的函数， 由x∈[0，2]时，
f（x）=1﹣x，可作出函数f（x）在[﹣10，10]的图象，
同时作出函数f（x）=log8|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求．
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数形结合可得交点个为8， 故选：D．
5． 【答案】A
【解析】解：根据余弦定理可知cosA=
222∵a=b+bc+c， 222
∴bc=﹣（b+c﹣a）
∴cosA=﹣
∴A=120° 故选A
6． 【答案】C
【解析】解：∵点P的直角坐标为再由1=ρcosθ，﹣
=ρsinθ，可得
，∴ρ=
=2．
，
，结合所给的选项，可取θ=﹣
即点P的极坐标为 （2，故选 C．
），
【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
7． 【答案】D
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
242
∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q+q）=21，解得q=2．
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6
则a2a6=9×q=72．
故选：D．
8． 【答案】C
【解析】解：由题意，
+
+
=，得到
=
；
，又|
|=|
|=|
|，△OAB是等边三角形，所以四边
形OCAB是边长为2的菱形， 所以
在
方向上的投影为ACcos30°=2×
故选C．
【点评】本题考查了向量的投影；解得本题的关键是由题意，画出图形，明确四边形OBAC的形状，利用向量解答．
9． 【答案】C
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q， ∵S3=a2+10a1，a5=9， ∴∴
．
，解得
．
故选C．
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．
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10．【答案】B
【解析】解：如图所示， 由椭圆的性质可得由椭圆的对称性可得∴同理可得
=﹣，
=
=
=﹣． =﹣
．
=，
=﹣
=﹣． ，
∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积=故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质可得难题．
11．【答案】D 【解析】
=﹣及椭圆的对称性，考查了推理能力和计算能力，属于
试题分析：当公比q1时，S45S20，成立.当q1时，S4,S2都不等于，所以
S4S2q24, S2q2,故选D.
考点：等比数列的性质. 12．【答案】B
【解析】f(2016)f(2016)f(54031)f(1)e，故选B．
二、填空题
13．【答案】3，2
x【解析】∵fxe11x1x,xR，∴fxeexexexe第 9 页，共 16 页
fx，即函数fx为奇函数，精选高中模拟试卷
xx2又∵fxee0恒成立，故函数fx在R上单调递增，不等式fx2fx40可转化为
fx2f4x2，即x24x2，解得：3x2，即不等式fx2fx
240的解集为
2，故答案为3，2. 3，14．【答案】 [，] ．
22
【解析】解：由m﹣7am+12a＜0（a＞0），则3a＜m＜4a 即命题p：3a＜m＜4a， 实数m满足方程
+
=1表示的焦点在y轴上的椭圆，
则，
，解得1＜m＜2，
若p是q的充分不必要条件， 则解得
，
，
故答案为[，]．
【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p，q的等价条件是解决本题的关键．
15．【答案】 【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA底面ABC，且ABC为直角三角形，且
11AB5,VAh,AC6，所以三棱锥的体积为V56h5h20，解得h4.
32
考点：几何体的三视图与体积.
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16．【答案】 异面 ．
【解析】解：把展开图还原原正方体如图，
在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面． 故答案为：异面．
17．【答案】
【解析】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N），
*
．
∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=当n=1时，上式也成立， ∴an=∴∴数列{==
．
}的前10项的和为
．
．
． =2
}的前n项的和Sn=
．
．
∴数列{
故答案为：
18．【答案】 16 ．
【解析】解：∵等比数列{an}的前n项积为Πn，
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44
∴Π8=a1•a2a3•a4•a5a6•a7•a8=（a4•a5）=2=16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
222222
【解析】解：（Ⅰ）∵b+c=a+bc，即b+c﹣a=bc，
∴cosA=
又∵A∈（0，π）， ∴A=
；
=，
（Ⅱ）∵cosB=∴sinB=
，B∈（0，π）， =
，
由正弦定理=，得a===3．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）①处应填入
．
=∵T=∴即∵
，∴
．
，
，
，
．
，∴
，
，
．
从而得到f（x）的值域为（Ⅱ）∵
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又0＜A＜π，∴得
，
．
，
222
由余弦定理得a=b+c﹣2bccosA==（b+c）2﹣3bc，
即
∴△ABC的面积
，∴bc=3．
．
【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意：f′（x）=3x2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为﹣3； 由已知
所以
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
所以由f′（x）=3x2﹣6x＞0得心x＜0或x＞2； 所以当x∈（0，2）时，函数单调递减；
当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）由（1）知，函数在x∈（1，2）时单调递减，在x∈（2，3）时单调递增； 所以函数在区间[1，3]有最小值f（2）=c﹣4要使x∈[1，3]，f（x）＞1﹣4c2恒成立 只需1﹣4c2＜c﹣4恒成立，所以c＜故c的取值范围是{c|c
或c＞1．
或c＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．
22．【答案】
22
【解析】解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a﹣3a恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a﹣3a恒成立．
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由于f（x）=|﹣x|﹣|+x|=，故f（x）的最小值为﹣2，
2
∴﹣2≥a﹣3a，求得1≤a≤2．
（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2， 若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤﹣，∴m+n＜﹣5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了利用导数研究函数的单调问题，利用导数研究函数的最值，但本题对函数的构造能力及运算能力都有很高的要求，判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点，本题综合性很强，难度大，但有梯次感.
（2）∵g(x)xalnx(2a)lnx2(b1)xx2lnx2(b1)x，
22
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24．【答案】
【解析】解：（1）在等比数列{an}中，由已知可得：
…（3分）
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解得：（2）∵∴当当
或…（6分）
．…（10分）
时，时，
…（14分）
【点评】本题主要考查了利用等比数列的通项公式求解等比数列的基本量，及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是熟练应用公式．
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