检测试卷（带解析）
高三年级第二次月考 数学试题
一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．设集合.,则实数a的取值范围是() A．B.C．D．
2．命题：“”，则是（） A．B. C．D．
3.若，，，则（） A．B．C．D．
4．已知向量，若，则实数的值为（） A．-3B．C．D．2 5.函数的图象可能是（）
A．（1）（3）B．（1）（2）（4）
C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4） 6．已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是()
A．[1,2]B．C．D．(0,2]
7．函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（） A．B． C．D．
8．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（） A．B．C．D．
9．如果对定义在上的函数，对任意，都有则称函数为“函数”.给出下列函数: ①；②；③；④.
其中函数是“函数”的个数为（） A.B.C.D.
11．设函数的导函数为，且，，则下列不等式 成立的是（） A．B． C．D．
12．已知函数.若,对存在，存在，使成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卷中的横线上.） 13．已知，则的值为. 14.已知，则的值是.
15.如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高．
16．已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 17．（本小题满分10分） 已知命题，；命题，.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为. （1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域. 19．（本小题满分12分）
如图已知中，，点是边上的动点，动点满足（点按逆时针方向排列）． （1）若，求的长；
（2）若，求△面积的最大值． 20.（本小题满分12分）
定义：若在上为增函数，则称为“k次比增函数”，其中.已知其中e为自然对数的底数.
（1）若是“1次比增函数”，求实数a的取值范围； （2）当时，求函数在上的最小值. 21．（本小题满分12分） 已知函数。
（1）求函数的单调区间；
（2）若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围。 22．（本小题满分12分）
已知函数，函数在处的切线与直线垂直. （Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围； （Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值. 高三年级第二次月考 数学试题答案及解析 一、选择题： 1.【答案】C
【解析】,因为或或，故选C.
考点：1.含绝对值不等式的解法；2.集合的运算. 2.【答案】D
【解析】由全称命题的否定为特称命题可知：的否定为， 故选D
考点：全称命题的否定. 3.【答案】A
【解析】∵．∴．故选A．
考点：对数函数与指数函数的性质． 4.【答案】A
【解析】由，得，又由，故，得，故选项为A. 考点：平面向量数量积坐标表示. 5.【答案】C
【解析】取，可知（4）正确；取，可知（3）正确；取，可知（2）正确；无论取何值都无法作出（1）.故选C. 考点：1、函数的图象和性质；2、选择题的“特殊值法”. 6.【答案】C
【解析】因为已知函数是定义在R上的偶函数，所以，所以，又因为函数在区间上单调递增，所以，故选C. 考点：函数的奇偶性与单调性. 7.【答案】D
【解析】,由得或，所以函数的两个极值点为和，所以函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是,故选D. 考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数的图象与
性质. 8.【答案】B
【解析】因,故,由于函数在上单调递增；在上单调递减,且,故当时,函数的图象与直线有两个交点,应选B. 考点：三角函数的图象与性质． 9.【答案】B
【解析】由已知得，，即，故在定义域内单调递增.,其值不恒为正，故①不满足；，故②满足；，③满足；由分段函数的图象，④不满足.
考点：1、函数单调性的定义；2、利用导数判断函数的单调性；3、分段函数.
10．已知，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 10.【答案】C
【解析】由题意得，函数，令，函数单调递减，即，函数单调递减，由且，解得，故选C. 考点：三角函数的单调性及其应用. 11.【答案】B
【解析】构造辅助函数，则，因为，所以，所以函数为实数集上的单调递减函数，则，因为，，又，所以，所以，故选B.
考点：利用导数研究函数的单调性及其应用. 12.【答案】A
【解析】对存在，存在，使，∴，在上单调递增，∴，在上单调递减，则，∴，则，故选A.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应用. 二、填空题： 13.【答案】3 【解析】因为,所以. 考点：分段函数. 14.【答案】
【解析】若，故答案为.
考点：1、诱导公式的应用；2、“拆角”技巧的应用. 15.【答案】
【解析】由题意可知，所以，在三角形中，由正弦定理得，所以，故应填.
考点：解三角形应用举例. 16.【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，作出函数的图象如图所示： 因为存在实数，，，，满足，且，所以由图象知：，，，，
因此根据二次函数图像得其取值范围是
考点：函数图像与性质 三、解答题： 17.【解析】
设，，则，当时，，故函数在为增函数，，则.……………………………………2分 因为，，故，故若为真，则.………………3分 （1）若为真，则实数满足故， 即实数的取值范围
为.…………………………………………6分 （2）若为真命题，为假命题，则、一真一假， 若真假，则实数满足即； 若假真，则实数满足即.
综上所述，实数的取值范围为.…………………………10分
考点：1、真值表的应用；2、特称命题与全称命题及不等式恒成立问题.
18.【解析】（1）由题意可得：
因为相邻两对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，
所以，因为，所以，函数为. 要使单调减，需满足，即 当时，；当时，
又∵
所以函数的减区间
为，.……………………………………6分 （2）由题意可得：， ∵，∴，
∴，即函数的值域为.………………12分 考点：（1）函数的图象变换；（2）函数的性质. 19.【解析】（1）由，得点在射线上，， ，即………………………………5分
（2）设，则，因为的面积等于△与△面积的和，所以， 得：…………………………………………7分 又,所以,即， 所以△的面积
即…………………………10分 （其中：为锐角），
所以当时，△的面积最大，最大值是…………………………12分
考点：1.解三角形的知识.2.余弦定理.3.向量共线.4.三角函数的最值求法.
20.【解析】（1）由题意知上为增函数，因为在上 恒成立.又，则在上恒成立， 即在上恒成立.而当时，，所以，
于是实数a的取值范围
是.………………………………………………5分 （2）当时，，则. 当，即时，； 当，即时，.
则的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）.………………………7分 因为，所以，
①当，即时，在[]上单调递减， 所以.………………………………8分 ②当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，所以.……………………………………9分
③当时，在[]上单调递增，所以.………………10分 综上，当时，； 当时，；
当时，.………………………………12分
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的最值.
21.【解析】（1）求导可得………………………………1分
①时，令可得，由于知；令，得
∴函数在上单调递减，在上单调递增………………………………3分 ②时，令可得；令，得或，由于知或 ∴函数在上单调递减，在，上单调递增…………………………5分
③时，，函数在上单调递增………………………………6分
④时，令可得；令，得或，由于知或 ∴函数在上单调递减，在，上单调递增……………………8分 （2）时，，舍去
时，在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，所以函数对定义域内的任意恒成立时，只需要即可
∴…………………………………………………………12分
考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式. 22.【解析】（Ⅰ）∵∴
∵切线与直线垂直，∴∴………………2分 （Ⅱ）∵
∴………………………………3分 由题知在上有解
∵∴设
而，所以要使在上有解，则只需
即，所以的取值范围为.………………………………5分 （Ⅲ）∵ 令，得
∵是函数的两个极值点∴是的两个根 ∴，…………………………………………6分 …………8分 令，则 ∵∴
又，所以，所以 整理有，解得
∴…………………………………………11分 而，所以在单调递减
故的最小值是.…………………………12分
考点：导数几何意义，利用导数研究函数单调性，利用导数求函数最值
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